专题02 函数的概念与基本初等函数（七大题型）（解析版）

专题02函数的概念与基本初等函数题型一：已知奇偶性求参数1．（2025·四川绵阳·一模）已知，若为偶函数，则．【答案】/0.5【解析】函数有意义，则，，解得或，所以函数定义域为，由于为偶函数，则有，解得，所以，，由，有，则有，所以.故答案为：2．（2025·四川遂宁·一模）已知函数为偶函数，则实数.【答案】【解析】函数的定义域是，定义域关于原点对称；，由于为偶函数，得到恒成立；即对于恒成立，所以.故答案是：.3．（2025·四川成都·一模）函数是偶函数，则.【答案】/【解析】由于，该函数的对称轴为直线，由于函数为偶函数，则，解得.故答案为：.4．（2025·内蒙古包头·一模（文））已知是奇函数，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】由函数是奇函数，可得，解得，即函数，又由函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，所以符合题意.故选：D.5．（2025·内蒙古包头·一模（理））已知是奇函数，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】由于，则函数的定义域为，即是定义在上的奇函数，则，则，所以.经检验，当时，为奇函数，满足题意.故选：D.题型二：函数图像的识别6．（2025·四川南充·一模（文））已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A：函数的定义域为，明显不符合题意，故A错误；对于B：函数的定义域为，明显不符合题意，故B错误；对于C：函数的定义域为，又为奇函数，又在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误；对于D：定义域为，又为奇函数，且在上函数是上凸递增，故D正确.故选：D7．（2025·四川南充·一模（理））如图1是函数的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中的部分图象，则（

）A． B．的解集为，C． D．方程有4个不相等的实数解【答案】B【解析】由图知，的图象可看作将的图象先向右平移一个单位，再把全部点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到的，，对于A，，故A错误；对于B，要使，则，解得，故B正确；对于C，的最小正周期为，，故C错误；对于D，在单调递减，且的图象过点和，函数与函数的图象有个交点，如图所示，方程有个不相等的实数解，故D错误.故选：B.8．（2025·四川自贡·一模）函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，解得,所以函数的定义域为,所以,所以为偶函数，函数的图象关于轴对称，排解选项B，而，排解选项C，，排解选项A，故选：D.9．（2025·四川乐山·一模）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函数，可得函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排解A项，又由，排解B项，当时，，排解C项，所以选项D符合题意.故选：D.10．（2025·陕西西安·一模（理））已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，则，则，可知函数为周期函数，最小正周期，又当时，，可知函数的图象如图所示，且的值域为，关于的方程至少有两解，可得函数与函数的图象至少有两个交点，如图所示，可知当时，，解得，即，当时，，解得，即，综上所述，故选：C.11．（2025·陕西·一模（文））已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依据函数的图象，知，而对A选项排解A；对B选项，由于，则，则，但图象中函数值可以大于1，排解B；依据C选项的解析式，，而依据函数的图象，知，排解C.故选：D.12．（2025·四川成都·一模）已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可以为（

）

A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，当时，，无意义，故A错误；对于B，，，则是奇函数，当时，，则；对于C，当时，，则，故C错误；对于D，，则，则是偶函数，故D错误，综上，B正确.故选：B.13．（2025·四川·一模）函数的图象大致是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】由函数，可得其定义域为，关于原点对称，且，可知为偶函数，其函数的图象关于轴对称，可排解C，D；当时，可得，若时，，则；若时，可得，则，此时B不符题意.故选：A题型三：函数的实际应用14．（2025·内蒙古呼和浩特·一模（理））如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此连续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【解析】由题意可知，是周期为的函数，所以.由题意可得，当时，点恰好在轴上，所以，所以.故选：A.15．（2025·内蒙古赤峰·一模（文））在下列四个图形中，点P从点O动身，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，点在第一条边上时，，但点在其次条边上运动时，是随的增大先减小（减到最小时即为三角形的其次条边上的高的长度），然后再增大，对比图象可知，A错误；对于B，y与x的函数图形肯定不是对称的，B错误；对于C，一开头与的关系不是线性的，C错误；对于D，由于函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为，点在第一条边上时（即时），，点在其次条边上运动时（即时），，照旧单调递增，点在第三条边上运动时（即时），，单调递减，点在第四条边上运动时（即时），，单调递减，且已知与的图象关于（其中）对称，D正确.故选：D.16．（2025·四川乐山·一模）地处长江上游的四川省乐山市，多年来始终树立上游意识，落实上游责任，不断提升水环境治理体系和治理力量现代化水平，为守护好这一江清水作出乐山贡献（摘自：人民网四川频道）.为了解过滤净化原理，某中学科创实践小组的同学自制多层式分级过滤器，用于将含有沙石的大渡河河水进行净化.假设经过每一层过滤可以过滤掉五分之一的沙石杂质，若要使净化后河水中沙石杂质含量不超过最初的三分之一，则最少要经过多少层的过滤？（

）（参考数据：，）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】由题知，设最少要经过层的过滤，沙石杂质含量最初为，则，即，所以，故最少要经过层的过滤.故选：C17．（2025·四川德阳·一模）小明同学过生日时，他和好伴侣小天一起共享一个质地均匀但外形不规章的蛋糕，他们商量 打算用刀把蛋糕平均分成两份（蛋糕厚度不计），你认为下面的推断中正确的是（

）A．无论从哪个位置（某个点）切一刀都可以平均分成两份B．只能从某个位置（某个点）切一刀才可以平均分成两份C．无论从哪个位置（某个点）切一刀都不行以平均分成两份D．至少要切两刀才可以平均分成两份【答案】A【解析】如图，在外形不规章的蛋糕上任取一点，则这一刀可转化为，点的任意一条直线，过点的直线将图像分为两部分，其面积为，将直线以以为旋转中心，以轴正方向的夹角记为，，得连续函数，作帮助函数，则为连续函数，设，则，依据零点定理，存在一点，使得，即，即过点作直线，使之以轴正方向的夹角为，改直线即为所求；即无论从哪个位置（某个点）切一刀都可以平均分成两份.故选：A18．（2025·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【解析】由题可知，，所以，经过天，数量变为原来的16倍，即，则有，解得，故选:C.题型四：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性19．（2025·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是．【答案】【解析】易知函数在上为单调性递增，即可得是上的增函数，令，则是上的增函数，易知，可得,即的图象关于点成中心对称，由可得，即，由可得；所以，利用是上的增函数可得，解得.即的取值范围是.故答案为：20．（2025·四川达州·一模）已知函数，则的值为.【答案】【解析】由于函数，则.故答案为：21．（2025·四川达州·一模）函数，且，则的值为.【答案】0【解析】令，定义域为或且，关于原点对称，则，故为奇函数，又，故，解得.故答案为：022．（2025·四川雅安·一模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：．①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是．【答案】（答案不唯一）【解析】例如，可知其定义域为，则，即为偶函数；明显的最大值为2；且的最小正周期为；所以符合题意.故答案为：（答案不唯一）.23．（2025·陕西·一模）已知定义在上的函数，满足，且．若，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于定义在上的函数，满足，所以在上单调递减，由于，所以，由于，所以，由，得，所以．由于在上单调递减，所以，得，故选：A．24．（2025·西藏拉萨·一模）已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意可得在区间上单调递减，则在区间上恒成立.由于，所以在区间上恒成立，而在区间上单调递减，∴，的取值范围是.故选：B25．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（

）A．4 B．16 C． D．【答案】B【解析】由于.故选：B.26．（2025·四川·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意是奇函数，所以，即，则，，当时，令，解得或，依据对称性，当时，，故满足的的取值范围是．故选：C．27．（2025·四川德阳·一模）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函数，当时，，可得，要使得在为单调递增函数，则恒成立，即在恒成立，即在恒成立，可得；当时，，可得，要使得在为单调递增函数，则恒成立，即在恒成立，即在恒成立，可得，综上可得，实数的取值范围.故选：D.题型五：分段函数问题28．（2025·四川南充·一模）已知函数为上的奇函数，且，则．【答案】【解析】由题意，在中，，∵为上的奇函数，∴，故答案为：.29．（2025·四川甘孜·一模）设函数，则.【答案】3【解析】，，所以.故答案为：330．（2025·四川宜宾·一模）设函数，则（

）A．8 B．9 C．22 D．26【答案】C【解析】,由于，所以,所以.故选：.31．（2025·四川绵阳·一模）若，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，满足对任意，都有成立，所以在上单调递减，则，解得，即的取值范围是.故选：C32．（2025·四川成都·一模）已知函数，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】由于函数，所以，则.故选：B.题型六：函数的定义域、值域、最值问题33．（2025·四川成都·一模）与有相同定义域的函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于函数，有，即函数的定义域为，对于A选项，函数的定义域为，A不满足；对于B选项，函数的定义域为，B不满足；对于C选项，对任意的，，即函数的定义域为，C不满足；对于D选项，函数的定义域为，D满足.故选：D.34．（2025·四川德阳·一模）是神经网络中重要的激活函数，又称Sigmoid函数.则下列对该函数图象和情质的描述中正确的是（

）A．的值域是B．的图象不是中心对称图形C．在上不单调D．（其中是的导函数【答案】D【解析】由函数，定义域为，，，则，A错误；由于，所以，所以Sigmoid雨数的图象的对称中心为，B错误；求导得：，，，则Sigmoid函数是单调增函数，C错误；，D正确.故选：D题型七：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用35．（2025·四川德阳·一模）已知函数的定义域为且，，那么（

）A．为偶函数 B．C．是函数的极大值点 D．的最小值为【答案】D【解析】令，得，即，①令，结合，则，②结合①②可得，用代替得，，③对于中，取得，把变为，结合，得，④联立③④，可得,对于A，，故A错误；对于B，,故B错误；对于C,，故C错误；对于D,易得最小值为，故D正确，故选：D.36．（2025·四川泸州·一模）已知，都是定义在上的函数，对任意，满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则C．函数的图像关于直线对称 D．【答案】D【解析】对于A，令，可得，得，令，，代入已知等式得，可得，结合得，所以，故A错误；对于D，由于，令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数.令，，代入已知等式，得，由于，所以，又由于，所以，由于，所以，故D正确；对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有，即，有，即，所以为周期函数，且周期为，由于，所以，所以，，所以，所以，故B错误；对于C，取，，满足及，所以，又，所以函数的图像不关于直线对称，故C错误；故选：D.37．（2025·四川乐山·一模）已知函数定义域为R，且满足，，，给出以下四个命题：①；

②；③；④函数的图象关于直线对称.其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】对于，令，则，即，①错误；令，则，即，而对于，令，则，冲突，故②错误；由题意知，，令，则，令，则，故，③错误；又可得，设，则，即，即函数的图象关于直线对称即函数的图象关于直线对称，④正确，故选：B38．（2025·四川乐山·一模）已知函数与其导函数为定义域均为，且满足，，，给出以下四个命题：①

②③函数的图象关于直线对称

④其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】对两边同时求导：，令，即，故①正确；令，则有，即，不满足，故②错误；由得，令，则有，若，则，所以关于直线对称，故③正确；令，则，对方程两边同时求导可得：，即，由于，所以，从而得.当时，，当时，，，即，当时，是以为首项，公差为4的等差数列，所以，；当时，，则，又，所以，即，进而得；综上所述，，故④正确.故选：D.39．（2025·四川自贡·一模）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上全部零点的和为（

）A．16 B．32 C．36 D．48【答案】A【解析】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称，由于，所以的图象关于对称，，所以是周期为的周期函数.令，得，函数的图象关于对称，的图象也关于点对称，画出函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有个交点，且交点关于对称，所以全部零点和为.故选：A40．（2025·四川宜宾·一模）已知函数的定义域为的图像关于对称，且为奇函数，，则下列说法正确的个数为（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由于为奇函数，所以，则，所以对称中心为，又由于的图像关于对称，则，所以，则，所以的周期，①，所以①正确；②由于，，对称中心为，所以，所以，所以②正确；③由于，所以，由于，所以，则，所以，所以③错误；④由于且周期，所以，则的周期为，由于，，，，所以，所以，所以④正确.故选：C.41．（2025·陕西西安·一模（理））已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若为偶函数，，且，则（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】由于为偶函数，所以，两边同时求导得，即，所以，令，得，令，得，又由于，所以，由，所以，所以的周期为6，则，而，所以，所以．故选：B42．（2025·陕西西安·一模（文））已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（

）A．B．是周期函数，且2是其一个周期C．D．【答案】C【解析】选项A，由于是定义在上的奇函数，所以，即，所以选项A正确，选项B，由，知是周期函数，且2是其一个周期，所以选项B正确，选项C，由于，又，，得到，所以选项C错误，选项D，，所以选项D正确，故选：C.43．（2025·内