2024-2025学年哈工大深圳实验学校九年级(上)期中数学试题及答案

初中2024-2025学年广东省深圳市南山区哈工大（深圳）实验学校九年级（上）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共24分）1．（3分）黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同2．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式2027﹣a﹣b的值为（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．20243．（3分）如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．（3分）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（）A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝5205．（3分）如图矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧分别交于G，H两点，作直线GH交CD于点E，连接AE，点D关于AE的对称点为点M，作射线AM交BC于点N，则CNA．253 B．4 C．2566．（3分）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD．若点C的坐标为（﹣1，−23A．（23，2） B．（2，3） C．（3，23）7．（3分）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为（）A．2 B．3 C．1 D．28．（3分）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=3，AD＝1．以下结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC=3−32；④在旋转过程中，当线段MB最短时，△A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每题3分，共15分）9．（3分）若xy=3410．（3分）如图，菱形ABCD的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形ABCD的对称中心O处，此时这个直角的两边分别交边BC，CD于M，N，若ON⊥CD，且ON＝2，则MN的长为．11．（3分）摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝．12．（3分）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若3人患了流感，经过两轮传染后共有108人患了流感，每一轮传染中平均一个人传染了人．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边的四等分点（AE＞ED），连接BE，将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，BC′与AD交于点F，连接C′E．若BC＝4，AB＝2，则点F到C'E的距离为．三、计算题14．（16分）解下列方程：（1）x（2x+1）＝2x+1；（2）（x﹣2）2﹣196＝0；（3）x2+4x﹣5＝0；（4）4x2﹣3x＝x+1．四、解答题15．（7分）为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数；（2）将两个统计图补充完整；（3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率．16．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12AC，连接AE（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝60°，求AE的长．17．（8分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．通过调查市场行情发现销售该水果不会亏本．（1）当售价为60元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？（3）若某个月的水果销售量不少于400千克，当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？18．（6分）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表．主题跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度测量方案及示意图测量步骤步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米；步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝22.5米．（以上数据均为近似值）（1）嘉嘉发现当BD＝60米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度．（2）依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB．19．（9分）【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如x2+2x﹣35＝0，可变形为x（x+2）＝35．如图1，构造一个长为x+2、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为（x+x+2）的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，也可表示为4×35+22，由此可得新方程：（x+x+2）2＝144，易得这个方程的正数解为x＝5．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根!（1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整：第一步：将原方程变为x2+32x−1=0第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长）第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个根为；（2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程x2+bx＝c（b＞0，c＞0）的正数解（用含b，c的代数式表示）．

2024-2025学年广东省深圳市南山区哈工大（深圳）实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案ABCBCDDD一、填空题（每题3分，共24分）1．（3分）黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同【分析】根据三视图的定义求解即可．【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．故选：A．【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．2．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式2027﹣a﹣b的值为（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024【分析】根据方程的解的定义，求出a+b＝4，可得结论．【解答】解：将x＝1代入ax2+bx﹣4＝0，得a+b﹣4＝0，∴a+b＝4，∴2027﹣a﹣b＝2027﹣（a+b）＝2027﹣4＝2023，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，先将x＝1代入ax2+bx﹣4＝0，求出a+b的值，再代入2027﹣a﹣b即可．3．（3分）如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】通过证明△POM∽△BON，得出PM：BN＝OM：ON＝5：3，即可解答．【解答】解：根据题意可得：∠PMO＝∠BNO＝90°，∵∠POM＝∠BON，∴△POM∽△BON，∴PM：BN＝OM：ON＝5：3，∵PM＝10cm，∴BN＝6cm，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．4．（3分）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（）A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：若设停车场内车道的宽度为xm，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形，根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．（3分）如图矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧分别交于G，H两点，作直线GH交CD于点E，连接AE，点D关于AE的对称点为点M，作射线AM交BC于点N，则CNA．253 B．4 C．256【分析】如图，延长AE交BC的延长线于点T．利用全等三角形的性质证明AD＝CT＝6，再证明AN＝TN，利用勾股定理，可得结论．【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于点T．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC＝6．AD∥CB，∴∠T＝∠DAE，由作图可知DE＝EC，在△ADE和△TCE中，∠DAE=∠T∠AED=∠CET∴△ADE≌△TCE（AAS），∴AD＝CT＝6，∵D，M关于AT对称，∴∠DAE＝∠NAT，∴∠T＝∠NAT，∴AN＝NT＝6+CN，在Rt△ABN中，AN2＝AB2+BN2，∴（6+CN）2＝102+（6﹣CN）2，∴CN=25故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图，矩形的性质，轴对称变换，线段的垂直平分线等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（3分）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD．若点C的坐标为（﹣1，−23A．（23，2） B．（2，3） C．（3，23）【分析】根据位似变换的性质解答即可．【解答】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，C（﹣1，−∴点A的坐标为（﹣1×（﹣3），−2故选：D．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．7．（3分）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为（）A．2 B．3 C．1 D．2【分析】连接AF，根据正方形ABCD得到AB＝BC＝BE，∠ABC＝90°，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得∠BFE＝45°，再证明△ABF≌△EBF，求得∠AFC＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出OF的长度．【解答】解：如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BE＝BC，∠ABC＝90°，AC=2AB＝22∴∠BEC＝∠BCE，∴∠EBC＝180°﹣2∠BEC，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝2∠BEC﹣90°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠EBF=12∠ABE＝∠∴∠BFE＝∠BEC﹣∠EBF＝45°，在△BAF与△BEF中，AB=EB∠ABF=∠EBF∴△BAF≌△BEF（SAS），∴∠BFE＝∠BFA＝45°，∴∠AFC＝∠BFA+∠BFE＝90°，∵O为对角线AC的中点，∴OF=12AC故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征，作出正确的辅助线，求得∠BFE＝45°是解题的关键．8．（3分）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=3，AD＝1．以下结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC=3−32；④在旋转过程中，当线段MB最短时，△A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】证明△BAD≌△CAE可判断①，由三角形的外角的性质可判断②，证明∠DCM∽∠ECA，有MC3=3−12，即可判断③；以A为圆心，AD为半径画圆，当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，可得四边形AEMD是正方形，在Rt△MBC【解答】解：∵△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，∴BA＝CA，DA＝EA，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，故①正确；设∠ABD＝∠ACE＝x，∠DBC＝45°﹣x，∴∠EMB＝∠DBC+∠BCM＝∠DBC+∠BCA+∠ACE＝45°﹣x+45°+x＝90°，∴BD⊥CE，故②正确；当点E在BA的延长线上时，如图：同理可得∠DMC＝90°，∴∠DMC＝∠EAC，∵∠DCM＝∠ECA，∴△DCM∽△ECA∴MCAC∵AB=3=AC，AD＝1＝∴CD=AC−AD=3−1，∴MC3∴MC=3−32④以A为圆心，AD为半径画圆，如图：∵∠BMC＝90°，∴当CE在⊙A的下方与⊙A相切时，MB的值最小，∴∠ADM＝∠DME＝∠AEM＝90°，∵AE＝AD，∴四边形AEMD是正方形，∴MD＝AE＝1，∵BD=A∴CE＝BD=2，BM＝BD﹣MD=∴MC＝CE+ME=2∵BC=2AB=∴MB=B∴△MBC的面积为12×（2+1）×（2−1）故选：D．【点评】本题考查等腰直角三角形的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，最短路径等知识，解题的关键是掌握旋转的性质．二、填空题（每题3分，共15分）9．（3分）若xy=34，则x+y【分析】根据xy=34，设x＝3k，【解答】解：∵xy∴设x＝3k，y＝4k，∴x+y2y故答案为：78【点评】本题考查了比例的性质的应用，能选择适当的方法进行计算是解此题的关键．10．（3分）如图，菱形ABCD的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形ABCD的对称中心O处，此时这个直角的两边分别交边BC，CD于M，N，若ON⊥CD，且ON＝2，则MN的长为13．【分析】如图，连接BD，根据菱形的性质得到OB＝OD，由题意可知，∠MON＝90°，根据平行线的判定定理得到OM∥CD，根据三角形中位线定理得到OM=12【解答】解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，由题意可知，∠MON＝90°，∴OM⊥ON，∵ON⊥CD，∴OM∥CD，∵OD＝OB，∴BM＝CM，∴OM是△BCD的中位线，∴OM=12在Rt△MON中，由勾股定理得：MN=O故答案为：13．【点评】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．11．（3分）摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝25+2【分析】设AB＝x，根据正方形的性质可得AB＝BC＝x，则BE＝x+4，然后根据黄金矩形的定义可得ABBE=5【解答】解：设AB＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝x，∵CE＝4，∴BE＝BC+CE＝x+4，∵四边形ABEF是黄金矩形，∴ABBE∴xx+4解得：x＝25+经检验：x＝25+∴AB＝25+故答案为：25+【点评】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．12．（3分）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若3人患了流感，经过两轮传染后共有108人患了流感，每一轮传染中平均一个人传染了5人．【分析】根据题意设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：3（1+x）+3x（1+x）＝108，再解方程即可．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得3（1+x）+3x（1+x）＝108，即3（1+x）2＝108，解得：x＝5或x＝﹣7（舍），故答案为：5．【点评】本题考查的是一元二次方程的实际应用．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边的四等分点（AE＞ED），连接BE，将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，BC′与AD交于点F，连接C′E．若BC＝4，AB＝2，则点F到C'E的距离为11515【分析】过点F作FH⊥C′E于H点，由矩形的性质及折叠性质得BF＝EF，进而在Rt△ABF中，由勾股定理建立方程求得BF，从而求得FC′，再根据相似三角形色性质进行计算即可，即可求得FH．【解答】解：过点F作FH⊥C′E于H点，如图：∵CD＝AB＝2，∠A＝90°，AD＝BC＝4，AD∥BC；∴∠FEB＝∠CBE；由折叠知：C′E=D′E2+C′D′2=5，CD＝2，BC′＝∴∠FEB＝∠C′BE，∴BF＝EF；∵E为AD边的四等分点，且AE＞ED，∴AE＝3；设BF＝EF＝x，则AF＝3﹣x；∵AB2+AF2＝BF2，即22+（3﹣x）2＝x2，∴x=13即BF=13∴FC′=BC−BF=4−13∵∠C′FH+∠FC′H＝∠FC′H+∠D′C′E＝90°，∴∠C′FH＝∠D′C′E∴△C′FH∽△D′C′E，∴C′FC′E∴11FH=11故答案为：115【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边等知识，利用勾股定理建立方程是解题的关键．三、计算题14．（16分）解下列方程：（1）x（2x+1）＝2x+1；（2）（x﹣2）2﹣196＝0；（3）x2+4x﹣5＝0；（4）4x2﹣3x＝x+1．【分析】（1）先化简，再用因式分解法求解即可；（2）先变形为（x﹣2）2＝196，再用直接开平方法求解即可；（3）直接用因式分解法求解即可；（4）先变形为4x2﹣4x＝1，再用配方法求解即可．【解答】解：（1）x（2x+1）＝2x+1，化简得：2x2﹣x﹣1＝0，（2x+1）（x﹣1）＝0，2x+1＝0或x﹣1＝0，解得x1=−12（2）（x﹣2）2﹣196＝0，（x﹣2）2＝196，x﹣2＝±14，x1＝16，x2＝﹣12．（3）x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，x1＝﹣5，x2＝1．（4）4x2﹣3x＝x+1，4x2﹣4x＝1，4x2﹣4x+1＝2，（2x﹣1）2＝2，2x−1=±2x1=1+【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法，根据方程的特点选择恰当的解法是解本题的关键．四、解答题15．（7分）为促进师生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某学校就学生对A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种体育活动项目喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）请计算本次被调查的学生总人数和喜欢“跑步”的学生人数；（2）将两个统计图补充完整；（3）随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率．【分析】（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数，再用抽查的总人数减去A、B、D的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数；（2）根据四个项目的百分比之和为1求出C对应的百分比，补全统计图即可；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到2名女生情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）由图形可知：A实心球的人数是15人，占学生总人数的10%，∴被调查的学生总人数为15÷10%＝150（人），∴喜欢“跑步”的学生人数为150﹣（15+45+30）＝60（人）；（2）喜欢“跑步”的学生占学生总人数1﹣（10%+30%+20%）＝40%，补全统计图如下：（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，刚好抽到2名女生的有2种情况，∴刚好抽到2名女生的概率为212【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，画树状图法求概率，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息以及掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．16．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12AC，连接AE（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝60°，求AE的长．【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC＝90°，即可得出结论；（2）证△BCD是等边三角形，得BD＝BC＝4，再由勾股定理得OC，求得AC＝2OC，然后由矩形的性质得CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，最后由勾股定理即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC=12∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE=12∴DE＝OC，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵∠DOC＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD＝4，OB＝OD，AO＝OC=12∵∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝4，∴OD＝OB＝2，∴OC=CD2∴AC＝2OC＝43，由（1）得：四边形OCED为矩形，∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=AC2即AE的长为213．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键．17．（8分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．通过调查市场行情发现销售该水果不会亏本．（1）当售价为60元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？（3）若某个月的水果销售量不少于400千克，当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解；（2）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；（3）设获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）当售价为60元/千克时，每月销售水果为500﹣10×（60﹣50）＝400（千克）；答：每月销售水果400千克；（2）设每千克水果售价为x元，由题意可得：8000＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，整理得，解得：x1＝60，x2＝80，答：每千克水果售价为60元或80元；（3）由题意得，500﹣10（x﹣50）≥400，解得x≤60，∴40≤x≤60，设获得的月利润为y元，由题意可得：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10（x﹣70）2+9000，∴当x＝60时，y有最大值为8000元，答：当每千克水果售价为60元时，获得的月利润最大值为8000元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质．18．（6分）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表．主题跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度测量方案及示意图测量步骤步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD＝3米；步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF＝4米，PD＝22.5米．（以上数据均为近似值）（1）嘉嘉发现当BD＝60米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB的高度．（2）依据嘉嘉方法的启