数学物理方法 课件 06普拉斯变换

目录第6章

拉普拉斯变换

6.1拉普拉斯变换的定义6.2拉普拉斯变换的性质6.3拉普拉斯变换的反演6.4拉普拉斯变换的应用第1篇复变函数及应用6.1拉普拉斯变换的定义6.1拉普拉斯变换的定义由上一章的讨论可以知道，对于傅里叶积分变换，要求原函数

f(x)在区间-∞，∞上分段光滑，而且绝对可积。这个条件相当苛刻，以至于许多常见的函数(如多项式、三角函数等)都不满足这个条件。下面我们将看到，对于拉普拉斯变换，对原函数的要求要宽松得多。拉普拉斯变换的定义为其中

f(t)是原函数，F(p)是像函数，e-pt

是积分变换的核，p=s+iσ

为复数，且要求Re(p)=s>0。这里需要说明的一点是，在式(6.1-1)的积分变换中，要求

f(t)在t<0时刻的值为零，即这样才能保证式(6.1-1)的积分变换有意义。拉普拉斯变换存在的条件是：(1)f(t)在区间0≤t<∞中是分段连续的，而且导数处处连续；(2)存在正常数

M>0及s0

≥0，使得对于任何t值，有在实际应用中，所遇到的大多数函数都能满足上述要求。为了熟悉拉普拉斯变换的方法，我们先举例计算一些简单函数的拉普拉斯变换。6.1拉普拉斯变换的定义求函数f(t)=1的拉普拉斯变换。解：按照拉普拉斯变换的定义，有所以有求函数f(t)=eαt

的拉普拉斯变换。解：按照拉普拉斯变换的定义，有其中要求Rep>Reα。这样有6.1拉普拉斯变换的定义求函数

f(t)=tn

的拉普拉斯变换。解：按照拉普拉斯变换的定义，有即类推，有6.1拉普拉斯变换的定义求函数

f(t)=sinωt(ω

为实数)的拉普拉斯变换。解：按照拉普拉斯变换的定义，有即类似地，还有6.1拉普拉斯变换的定义求函数

f(t)=sinhωt(ω

为实数)的拉普拉斯变换。解：按照拉普拉斯变换的定义，有即类似地，还有记住上述简单函数的拉普拉斯变换式非常有用，因为在拉普拉斯反演时要经常用到它们。6.2拉普拉斯变换的性质6.2拉普拉斯变换的性质与傅里叶积分变换一样，拉普拉斯变换也有一些重要的性质。利用这些性质，可以简化一些拉普拉斯变换过程。1.线性定理如果f1(t)⇌F1(p)及f2(t)⇌F2(p)，则有其中α

和β

为常数。求函数cosωt+isinωt的拉普拉斯变换。解：令f1(t)=cosωt及f2(t)=sinωt，则按照线性定理，有6.2拉普拉斯变换的性质2.导数定理

Ⅰ设

f(t)在t=0时刻的值为

f(0)，则它的导数f(1)(t)的拉普拉斯变换为证明：根据拉普拉斯变换的定义，有推广到高阶导数f(n)(t)，则有由此可以看出，在拉普拉斯变换下，一个常微分方程将会变成一个代数方程，而且还把初始值考虑了进去。6.2拉普拉斯变换的性质已知函数f(t)满足如下二阶常微分方程其中ω

为常数，初始条件为

f(0)=1及

f(1)(0)=0。试用拉普拉斯变换的导数定理

Ⅰ

求解该方程。解：根据导数定理

Ⅰ，有即由式(6-1.7)可以知道，该像函数对应的原函数为

f(t)=cosωt6.2拉普拉斯变换的性质3.导数定理

Ⅱ证：根据拉普拉斯变换的定义式，则有即类似地，可以证明：利用导数定理

Ⅱ，求函数tsinωt的拉普拉斯变换。

6.2拉普拉斯变换的性质4.积分定理

其中利用了g(0)=0。再利用

f(t)=g(1)(t)⇌F(p)，则有即5.相似性定理其中a为常数。6.2拉普拉斯变换的性质6.位移定理利用这个定理，就可以得到7.延迟定理证明：由于在拉普拉斯变换中要求原函数

f(t)在t<0的时刻为零，则有

6.2拉普拉斯变换的性质8.卷积定理设原函数

f1(t)及

f2(t)对应的像函数分别为F1(p)及F2(p)，则它们的卷积对应的拉普拉斯变换为证明：根据拉普拉斯变换的定义及卷积的定义，有这是一个二重积分，其中先从τ=0到τ=t进行积分，然后再从t=0到t=∞进行积分，积分区域如图6-1所示。现在改变积分顺序，先从t=τ

到t=∞进行积分，然后再从τ=0到τ=∞进行积分。可以看出，两种积分顺序给出的积分结果是相同的。这样有6.2拉普拉斯变换的性质再进行变量代换，令ζ=t-τ，则有可见，两个函数的卷积在拉普拉斯变换下变成了它们对应的像函数的乘积。在解决实际问题中，这种卷积定理非常有用。例如，一个像函数可以分解成两个简单像函数的乘积，则它的反演就可以用这两个简单像函数对应的原函数的卷积来表示。6.3拉普拉斯变换的反演6.3拉普拉斯变换的反演前面讨论的是在已知原函数的情况下，求出它对应的像函数，这叫拉普拉斯变换。反过来，若已知像函数，来求出它对应的原函数，这叫作拉普拉斯变换的反演。在一般的情况下，拉普拉斯变换的反演过程是非常复杂的。但对于一些特殊情况，如：(1)一个像函数可以分解成几个简单的像函数之和；(2)一个像函数可以分解为两个简单的像函数的乘积；(3)经过其他的数学操作，这个像函数可以用一些简单的像函数来表示。这样就可以利用一些已知的简单原函数(如：tn，sinωt，cosωt及eαt等)所对应的像函数及上节介绍的拉普拉斯变换的性质，来完成反演过程。下面举例进行说明。6.3拉普拉斯变换的反演

解：有两种方法，如下：方法一：可以把这个像函数分解为

6.3拉普拉斯变换的反演

解：6.3拉普拉斯变换的反演

6.3拉普拉斯变换的反演

在一般情况下，可以采用所谓的黎曼

梅林反演公式来计算像函数的反演，其中积分路径是p

平面上一条平行于虚轴的直线，且要求像函数F(p)在这条直线的右半平面没有奇点。由于这个公式涉及复平面上的积分，因此计算反演的过程比较复杂，这里不再进行详细介绍。6.4拉普拉斯变换的应用1.求解常微分方程对于电感

电阻串联回路，见图6-2，当开关

K合上之前，回路中没有电流流动，其中E为直流电源的电动势，R为电阻，L为电感。

求开关合上之后，电路中的电流i(t)。解：回路电流i(t)所满足的方程为初始条件为i(0)=0。这是一个典型的一阶常微分方程。根据拉普拉斯变换，则有由此得到所以回路中的电流为该电流包含了两部分，即稳恒部分E/R

和暂态部分Ee-Rt/L/R。1.求解常微分方程对于如图6-3所示的电感-电容串联回路，电容器上的初始电荷为±q0。当电容器进行放电时，回路中的电流i(t)是多少?

这是一个典型的微分

积分方程。根据拉普拉斯变换的导数定理和积分定理，则有由于初始电流i(0)为零，则有很显然，它对应的原函数，即瞬时电流为

1.求解常微分方程在如图6-4所示的电感

阻回路中，交变电源的电压为E(t)=E0sinωt。当开关闭合时，求回路中的电流i(t)。已知初始电流为零，即i(0)=0。解：回路中电流所满足的微分方程为根据拉普拉斯变换，则有由此可以得到由于所以由卷积定理，可以得到1.求解常微分方程一个质量为m、弹性系数为k的弹簧振子在外界强迫力

f(t)=f0sinωt的作用下，其运动方程为其中

f0

为强迫力的振幅，ω

为强迫振动的圆频率。初始位移及速度均为零，即x(0)=0，x(1)(0)=0。求弹簧振子的运动规律x(t)。

由此可以得到像函数为假设ω≠ω0(即不会发生强迫共振)，则可以把上式改写为利用可以得到1.求解常微分方程利用拉普拉斯变换方法求解如下微分方程组其中初始条件为y(0)=1及z(0)=3。解：对上述方程组进行拉普拉斯变换，则变成如下线性代数方程组：由此得到像函数为进行反演后，可以得到2.计算特殊积分的值利用拉普拉斯变换方法，除了可以求解微分方程(或微分

积分方程)外，它还可以用来计算某些特殊的积分，不过需要与留数定理联合来使用。下面举例进行说明。在

§4.4节中，利用留数定理，我们曾得到了如下积分的值见式(4.4-8)。如果令a=t，则可以把上式写成对上式两边进行拉普拉斯变换，有下面计算式(6.4-2)左边的积分，则有2.计算特殊积分的值

或这是一个非常重要的拉普拉斯变换的公式。实际上，也可以直接由拉普拉斯的普遍反公式[见式(6.3-1)]得到式(6.4-3)，但计算过程非常复杂。由式(6.4-3)，还可以得到这也是一个重要的拉普拉斯反演公式，我们将在第十章中用到它。2.计算特殊积分的值利用拉普拉斯变换方法计算积分的值，其中a>0。解：利用拉普拉斯变换则有再利用留数定理，可以得到然后再进行反演，可以得到2.计算特殊积分的值利用拉普拉斯变换方法计算积分的值，其中t>0。解：利用拉普拉斯变换则可以得到再利用留数定理，可以进一步完成对x

的