数学物理方法 课件 08分离变量法

目录第8章

分离变量法8.1直角坐标系中的分离变量法8.2平面极坐标系中的分离变量法8.3柱坐标系中的分离变量法8.4球坐标系中的分离变量法第2篇

数学物理方程8.5施图姆-刘维尔型方程的本征值问题8.1直角坐标系中的分离变量法1.齐次波动方程我们以细弦的振动方程为例,来介绍如何采用分离变量法求解齐次波动方程。对于两端固定的一根细弦的自由振动问题,其定解问题归结为泛定方程:边界条件:初始条件:其中ϕ(x)及ψ(x)为已知函数。由于方程(8.1-1)是一个齐次方程,这样可以把波函数u(x,t)分解成如下形式其中

X(x)和T(t)仅是空间变量x

和时间变量t的函数。

将式(8.1-4)代入方程(8.1-1),且两边同除以

X(x)T(t),则可以得到1.齐次波动方程由于上式左边仅是空间变量x

的函数,而右边仅是时间变量t的函数,这说明仅当等式两边都等于同一个常数时,上式才能成立。设这个常数为-λ,则有这样就把原来一个偏微分方程的求解问题转化成两个常微分方程的求解问题。从数学的角度来看,求解常微分方程要比求解偏微分方程简单得多,但同时也要注意到,在此转化过程中引入了一个待定的常数λ。此外,式(8.1-4)还要满足边界条件(8.1-2),即因为T(t)≠0(否则只有零解),则有这样由常微分方程(8.1-5)和边界条件(8.1-7)就构成了空间函数

X(x)的定解问题。实际上,在确定函数X(x)的过程中,同时还要把待定常数λ确定出来。下面分三种情况进行讨论。1.齐次波动方程(1)假设λ<0,则方程(8.1-5)的解为其中A

及B

为常数,由边界条件(8.1-7)来确定由此可以得到A=0及B=0,从而导致一个平庸的解u(x,t)=0,所以就排除了λ<0。(2)假设λ=0,则方程(8.1-5)的解为常数A

及B

由边界条件(8.1-7)来确定,即(3)假设λ>0,则方程(8.1-5)的解为1.齐次波动方程再由边界条件(8.1-7),可以得到由于常数B≠0,否则只有平庸解u(x,t)=0。因此,只有一种可能,即这样常数λ

的取值为相应地,函数

X(x)的形式为其中Bn

是一个常数。由此可见,在给定的第一类齐次边界条件下,常数λ不能为负数或零,甚至不能取任意的正数,只能取由式(8.1-8)给出的离散的正整数。

通常称常数λn

为本征值,函数Xn(x)为本征函数。方程(8.1-5)和条件(8.1-7)则构成所谓的本征值问题。1.齐次波动方程将本征值λn

代入方程(8.1-6),则该方程变为它的解为其中Cn

及Dn

为常数。这样根据式(8.1-9)和式(8.1-10),就得到了泛定方程(8.1-1)在边界条件(8.1-2)下的特定解其中已把

Xn(x)中的常数Bn

归结到Cn

和Dn

中。

叠加后的函数仍是方程(8.1-1)的解,且满足初始条件(8.1-3)。我们称式(8.1-12)为泛定方程(8.1-1)的一般解,其中系数Cn

及Dn

由初始条件确定。1.齐次波动方程将式(8.1-12)代入初始条件(8.1-3),则有

则可以得到1.齐次波动方程这样给定初始条件,即函数ϕ(x)和ψ(x)的形式,我们就可以确定系数Cn和Dn,进而确定了函数u(x,t)的形式。至此,我们已经完成了对泛定方程(8.1-1)的求解过程。这里需要强调的是,采用分离变量法求解数学物理方程,必须满足如下两个条件:①

泛定方程和边界条件都必须是齐次的,否则无法进行变量分离;②

泛定方程必须是线性的,否则无法利用叠加原理得到一般的解。最后,我们分析一下上述结果的物理意义。可以将特解(8.1-11)改写成如下形式其中

由于弦的两端是固定的,将使得波在两个端点之间往复反射,造成入射波和反射波的叠加,从而形成驻波现象。虽然弦的振动是一个特殊的问题,但它却能比较直观地反映出波动问题的基本特征,并能形象地说明一些相关的物理概念,如驻波、节点及本征频率等。2.齐次输运方程下面我们以细杆的热传导方程为例,来介绍如何采用分离变量法求解齐次输运方程。考虑一个长为l的均匀细杆,其一端的温度保持为零,另一端与外界绝热,初始温度为

f(x),求该细杆上的温度分布。设细杆上的温度分布为u(x,t),则根据上述条件,对应的泛定方程和定解条件分别为由于该泛定方程和边界条件都是齐次的,因此可以直接进行分离变量。与先前的做法一样,令u(x,t)=X(x)T(t),则对上述泛定方程及边界条件进行分离变量后,可以得到如下常微分方程及2.齐次输运方程这样,方程(8.1-21)就构成了一个本征值问题。可以验证,仅当λ>0时,方程(8.1-21)才存在着不为零的本征解,而且对应的本征值λn

和本征函数Xn(x)分别为及其中An

为常数。我们再看方程(8.1-22)的解。将式(8.1-23)代入方程(8.1-22),可以得到其解为其中Bn

为常数。这样根据式(8.1-24)及式(8.1-25),方程(8.1-18)的特解为其中Cn=AnBn

为常数。2.齐次输运方程根据以上结果,方程(8.1-18)的一般解为其中常数Cn

由初始条件(8.1-20)来确定。利用三角函数的正交性,则可以得到这样,一旦初始温度分布函数

f(x)的具体形式确定,就可以确定出常数Cn,进而可以确定出细杆上任一点在任意时刻(t>0)的温度分布。对于由式(8.1-27)给出的温度场分布,需要做如下两点说明:(1)对于给定t=0时刻的初始温度分布,利用热传导方程和边界条件,只能确定出t>0以后时刻的温度场分布,而不能反推出t<0以前时刻的温度场分布。从数学上看,当t<0时,式(8.1-27)中的指数项随着t→∞而发散,即温度场变得无限大,这是不可能的。关于这一点,输运过程(包括热传导和扩散)不同于振动过程。(2)从式(8.1-27)可以看出,在t>0时刻,细杆上的温度随着时间的增加而快速地下降,而且当t→∞时,温度下降为零。这是因为没有热源维持的结果。3.拉普拉斯方程下面以横截面为矩形的散热片为例,来说明用分离变量法求解稳态二维热传导方程(即拉普拉斯方程)的过程。设散热片的横截面的长和宽分别为a和b,而且在y=b处保持恒温u0,而在其他三边x=0,x=a

及y=0处均保持为零温。这样二维稳态温度场u(x,y)所遵从的泛定方程及定解条件为其中式(8.1-30)对应于第一类齐次边界条件。由于泛定方程(8.1-29)和边界条件(8.1-30)都是齐次的,我们可以直接进行变量分离。令u(x,y)=X(x)Y(y),则可以得到其中λ为待定的常数。

方程(8.1-32)就构成了本征值问题,其本征值λn

和本征函数Xn(x)分别为3.拉普拉斯方程其中An

为常数。将本征值λn

代入方程(8.1-33),则可以得到该方程的解为其中Cn

及Dn

为常数。再根据式(8.1-35)及式(8.1-36),则方程(8.1-29)的特解为其中已把常数An

并入常数Cn

及Dn

中。这样,方程(8.1-29)的一般解为其中常数Cn

及Dn

由边界条件(8.1-31)来确定。根据式(8.1-31),并利用三角函数的正交性,则可以得到3.拉普拉斯方程由此可以解得这样,最后得到散热片的温度场分布为对于三维拉普拉斯方程,也可以做类似地处理。3.拉普拉斯方程本节分别介绍了在直角坐标系中采用分离变量法求解三类不同形式的齐次方程的基本过程。分离变量法的基本步骤为:(1)采用分离变量法,将原来的偏微分方程转化成两个或多个常微分方程,并引入了一些待定的常数,即本征值。同时,对齐次边界条件进行分离变量。(2)将齐次边界条件与所对应的常微分方程联立,确定出本征值和本征函数。对于一维情况,表8.1给出了不同齐次边界条件下的本征值和本征函数。(3)将本征值代入其余的常微分方程中,确定出该常微分方程的解,进而确定出泛定方程的特解。(4)将泛定方程的特解进行线性叠加,给出它的一般解,并根据初始条件或其他非齐次边界条件确定出一般解中的叠加系数。8.2平面极坐标系中的分离变量法1.拉普拉斯方程我们首先以拉普拉斯方程为例,来介绍如何在平面极坐标系中进行分离变量。在平面极坐标系(r,φ)中,拉普拉斯方程的定解问题为

为了将变量r

和φ

分离开,令将上式代入方程(8.2-1),则可以得到上式左边仅是r

的函数,与φ

无关;右边仅是φ

的函数,与r

无关。要使上式左右两边相等,只有它们等于同一个常数。记这个常数为λ,则有1.拉普拉斯方程常微分方程(8.2-4)的本征值问题由周期性条件

Φ(φ)=Φ(φ+2π)来确定,其本征值和本征函数为其中Am

及Bm

为常数。当λ=m2

时,方程(8.2-5)是一个典型的欧拉方程,其解为其中Cm

及Dm

为常数。这样,对上面的特解Rm(r)Φm(φ)进行线性叠加,就可以得到拉普拉斯方程在平面极坐标系中的一般解把式(8.2-7)和式(8.2-8)代入上式,并对系数进行重新组合,则可以得到拉普拉斯方程在平面极坐标系中的一般解1.拉普拉斯方程其中Am

、Bm

、Cm

及Dm

为叠加系数。这里需要说明一点,对于拉普拉斯方程在平面极坐标系中的定解问题,不需要其径向上的边界条件是齐次的,因为本征值问题是由周期性条件确定的。当所考虑的问题位于半径为ρ0

的圆形区域内(r<ρ0)时,由于拉普拉斯方程的解在r

→0处应有界,则式(8.2-10)中的系数Dm

应为零,因此有其中C0

→A0/2,AmCm

→Am

及BmCm

→Bm

。利用三角函数的正交性,叠加系数可以由边界条件u|r=ρ0=f(φ)来确定在第二章中,我们曾把柯西公式应用到一个半径为a的圆形区域中,并得到了一个解析函数的实部或虚部,其形式与式(8.2-11)完全相同,见式(2.4-15)和式(2.4-16)。1.拉普拉斯方程求解在环形区域a

≤r

≤b

内拉普拉斯方程的定解问题其中a

和b

为常数。解：在环形区域内,拉普拉斯方程的一般解应为式(8.2-10)。

但根据边界条件的形式,可以把该方程的解简化为利用边界条件,可以得到比较两边的系数,则可以得到1.拉普拉斯方程由此解得所以式(8.2-13)的定解为1.拉普拉斯方程可以近似地认为带电云层与大地之间的静电场是均匀分布的,且电场强度E0

的方向竖直向下。现将一个半径为a的无限长直导线水平架设在该电场中,求导线周围的电场分布。解：当导线处于均匀电场E0

中时,将会在其表面产生感应电荷,因此导线周围的电场应为感应电荷产生的电场与原来的均匀电场之和。这时导线周围的电场不再是均匀分布的。取导线的轴线为z轴,由于导线是无限长的,因此导线周围的电场和电势分布与变量z

无关。这样,在如下讨论中只考虑导线某一个横截面周围的电场和电势分布就可以了。由于在导线的外部没有电荷存在,因此电势u(r,φ)满足拉普拉斯方程由于电势只具有相对意义,因此可以假设导体表面上的电势为零,即

1.拉普拉斯方程根据前面的讨论,方程(8.2-16)的一般解应为式(8.2-10)。但为了便于确定叠加系数,可以把该解改写为如下形式(对系数进行重新组合)根据边界条件(8.2-17),有对上式两边进行比较,可以得到1.拉普拉斯方程由此解得当r→∞时,式(8.2-19)中含有lnr和r-m

的项远小于含有rm

的项,因此式(8.2-19)在r

→∞时变为根据边界条件(8.2-18),则有比较上式两边的系数,则得到1.拉普拉斯方程根据以上结果,最后可以得到导线外部的电势分布为

很容易看到,当φ=±π/2时,电势的值为零;径向电场在φ=0,π及r=a处最大,其值为是原来均匀电场的两倍。这说明在这两处电场很强,导线容易被击穿。2.齐次波动方程在平面极坐标系(r,φ)中,波动方程为

将它代入方程(8.2-26),可以得到由于上式左边仅是时间变量t的函数,而右边仅是空间变量r的函数。若要上式成立,只有两边都等于同一个常数。设这个常数为-k2,则可以得到如下两个方程后面将会看到,k2

为本征值,且是实数。2.齐次波动方程偏微分方程(8.2-29)为亥姆霍兹方程。下面继续对亥姆霍兹方程进行分离变量。令将上式代入方程(8.2-29),则可以得到上式左边仅是r

的函数,与φ

无关;右边仅是φ

的函数,与r

无关。要使上式左右两边相等,只有它们等于同一个常数。记这个常数为λ,则有对于常微分方程(8.2-31),可以由周期性边界条件确定本征值和本征函数其中Am

及Bm

为常数。2.齐次波动方程当λ=m2

时,并令x=kr,则方程(8.2-32)变为该方程称为m

阶的贝塞尔方程。在第十三章我们将看到,贝塞尔方程的一般解为其中Jm(kr)和

Nm(kr)分别为第一类和第二类m

阶贝塞尔函数,Cm

和Dm

为常数。为了确定常数k,要求波动方程(8.2-26)在径向上的边界条件必须是齐次的。

将式(8.2-36)与该齐次边界条件联立,就可以确定出贝塞尔方程的本征值我们将在第十三章对此进行详细地讨论。当k为离散的本征值kn

时,方程(8.2-28)的解为其中En

和Fn

为常数。这样,对上面得到的特解进行线性叠加,就可以得到波动方程在平面极坐标系中的一般解2.齐次波动方程注意:在对波动方程进行分离变量的过程中,引入了6个叠加系数Am,Bm,Cm,Dm,En

和Fn。实际上,这些叠加系数并不是都独立地出现在式(8.2-39)中,这取决于所考虑的区域。例如,当所考虑的区域是一个半径为ρ0的区域时,即r<ρ0,由于第二类贝塞尔函数Nm

(kr)在r=0处为无穷,则要求式(8.2-36)中的

Dm=0。这时把式(8.2-34),式(8.2-36)及式(8.2-38)代入式(8.2-39),并对叠加系数进行重新组合,有

3.齐次输运方程在平面极坐标系下,输运方程为与前面的讨论一样,先将时间变量t和空间变量r={r,φ}进行分离,可以得到如下两个方程同理,k2

为本征值,且仅可能是实数。可以看出方程(8.2-43)也是一个亥姆霍兹方程。与上面的做法相同,进一步对变量r

和变量φ

进行分离变量,可以得到本征函数Φm(φ)和

Rm(r),见式(8.2-34)和式(8.2-36)。对于常数k,仍需要由径向上的齐次边界条件来确定。当k

为分立的本征值kn

时,方程(8.2-42)的解为3.齐次输运方程在输运方程的分离变量过程中,引入了5个叠加系数:Am,Bm,Cm,Dm

和En。同样,这些叠加系数也并不是都独立地出现在式(8.2-45)中。当所考虑的区域是一个半径为ρ0

的区域时(r<ρ0),可以把式(8.2-45)转化成

对上面得到的特解进行线性叠加,就可以得到输运方程在平面极坐标系中的一般解为8.3柱坐标系中的分离变量法1.拉普拉斯方程在柱坐标系中,拉普拉斯方程为

下面对方程(8.3-1)进行分离变量,令并将它代入式(8.3-1),可以得到以下三个方程其中λ及μ

为两个待定的常数。1.拉普拉斯方程与前面的讨论一样,常微分方程(8.3-4)与自然周期性边界条件构成本征值问题,对应的本征值和本征函数分别为其中Am

及Bm

为常数。当λ=m2时,方程(8.3-6)为下面分两种情况来讨论方程(8.3-5)和(8.3-9)的解。(1)侧面为齐次边界条件当柱的侧面为齐次边界条件时,可以取μ>0,方程(8.3-9)为m

阶贝塞尔方程,其一般解为其中Cm

和Dm

为常数。与先前的讨论一样,这时本征值μ

应由圆柱侧面的齐次边界条件来确定,有μ=μn(n=1,2,3,…)。当μ>0时,方程(8.3-5)的一般解为其中En

及Fn

为常数。1.拉普拉斯方程(2)两端为齐次边界条件当柱的上下两端为齐次边界条件时,可以取μ<0。令μ=-ν2,并令x=νr,则方程(8.3-9)变为该方程为m阶虚宗量贝塞尔方程,它的一般解为其中Im(νr)和

Km(νr)分别为第一类和第二类m

阶虚宗量贝塞尔函数,Cm

和Dm

为常数。我们将在第十三章中详细讨论虚宗量贝塞尔函数的性质。当μ=-ν2<0时,方程(8.3-5)与圆柱体上下两端的齐次边界条件将构成一个本征值问题,对应的本征函数为其中En

及Fn

为常数。对于不同的齐次边界条件,本征值νn

及常数En(或Fn)的取值是不同的。例如,对于第一类边界条件,本征值为1.拉普拉斯方程而且常数Fn=0。对于以上两种情况,可以把拉普拉斯方程(8.3-1)的一般解统一地表示为对于上面两种不同的情况,Rm(r)和Zn(z)的形式是不一样的。由上面的讨论可以看出,对于不同的边界条件,拉普拉斯方程解的形式是不一样的。如果柱的侧面上是齐次边界条件,由此可以确定出本征值μn,而且径向函数所遵从的方程为贝塞尔方程;反之,如果两端为齐次边界条件,由此可以确定出本征值μ=-ν2,而且径向函数所遵从的方程为虚宗量贝塞尔方程。因此,在求解柱坐标系中的拉普拉斯方程时,首先要分辨清楚是柱侧面为齐次边界条件,还是两端为齐次边界条件,以便确定本征值问题。2.波动方程在柱坐标系(r,φ,z)下,齐次波动方程为与前面的做法一样,首先将空间变量和时间变量进行分离,可以将方程(8.3-17)转化成如下两个方程其中k2为待定的实常数。下面进一步对变量r,φ

及z

进行分离。令并引入两个常数λ和ν2,则很容易得到如下三个常微分方程2.波动方程如同前面的讨论一样,方程(8.3-21)与周期性边界条件构成了本征值问题,本征值和本征函数分别为由于方程(8.3-22)和(8.3-23)各含一个待定的常数,分别为ν和k,因此在这种情况下,必须要求圆柱的侧面和两端都是齐次边界条件。这样,方程(8.3-23)与圆柱侧面的齐次边界条件构成了一个本征值问题,对应的本征值和本征函数分别为其中Cm

和Dm

为叠加系数。同样,方程(8.3-22)与圆柱两端的齐次边界条件也构成了一个本征值问题,对应的本征函数为2.波动方程其中νn

为本征值,En

和Fn

为叠加系数。同样,对于不同的齐次边界条件,本征值νn

及常数En(或Fn)的取值是不一样的。

其中Gnj

和Hnj

为叠加系数。这样,可以把波动方程(8.3-17)在柱坐标系中的一般解表示为由以上讨论可以看出,对于波动方程在柱坐标系中的定解问题,存在三个本征值,即λ,ν2

及μ=k2-ν2,它们分别由周期性条件,圆柱两端的齐次边界条件和圆柱侧面的齐次边界条件来确定。3.输运方程我们以一个半径为ρ0、高度为h

的圆柱体的热传导问题为例。在柱坐标系下,输运方程为与前面的做法一样,首先将空间变量和时间变量进行分离,可以得到如下两个方程

这样,输运方程(8.3-31)的一般解为8.4球坐标系中的分离变量法1.拉普拉斯方程在球坐标系(r,θ,φ)下,拉普拉斯方程为

可以从有关微积分教科书中找到它的形式。我们首先将径向变量r

分离出来,令将上式代入方程(8.4-1),则可以得到该方程左边仅是r的函数,而右边则是θ和φ的函数,要使得它们相等,仅有它们等于同一个常数。通常把这个常数取为λ,这样可以得到1.拉普拉斯方程偏微分方程(8.4-5)被称为球函数方程,Y(θ,φ)为球函数。下面再对球函数方程进行分离变量。令将式(8.4-6)代入方程(8.4-5),则可以得到该式左边仅是θ的函数,而右边仅是φ

的函数。若左右两边相等,仅可能它们都等于同一个常数。设这个常数为μ,则有与前面的讨论一样,常微分方程(8.4-7)与周期性边界条件结合,可以确定出本征值和本征函数其中Am

及Bm

为常数。1.拉普拉斯方程

对于方程(8.4-11),也存在着一个自然边界条件,即要求在x=±1(对应于θ=0,π)处,该方程的解应存在。在第十二章将会看到:仅当λ=l(l+1),且l只能取整数时,这个自然边界条件才能成立。这样,方程(8.4-11)变为该方程被称为l阶连带勒让德方程,它的解为所谓的连带勒让德函数

1.拉普拉斯方程其解为所谓的勒让德函数y=Pl(cosθ)。我们将在第十二章中详细讨论勒让德方程和连带勒让德方程的解,以及勒让德函数和连带勒让德函数的性质。当λ=l(l+1)时,方程(8.4-4)变为这是一个欧拉型的常微分方程,其解为其中Cl及Dl为常数。这样,拉普拉斯方程(8.4-1)在球坐标系中的一般解为将式(8.4-10)和式(8.4-16)代入式(8.4-17),并对系数进行重新组合,则可以得到1.拉普拉斯方程

其中Pl(cosθ)为勒让德函数。在球内(r<r0)区域,式(8.4-20)退化为我们将在第十二章针对一些具体的问题,详细介绍勒让德函数和连带勒让德函数的应用。这里需要强调的是:(1)对于拉普拉斯方程在球坐标系中的定解问题,球面上的边界条件可以是非齐次的;(2)在分离变量过程中,出现的两个本征值μ

和λ

分别是由周期性条件和自然边界条件确定2.波动方程在球坐标系(r,θ,φ)下,齐次波动方程为

将它代入方程(8.4-22),可以得到由于上式左边仅是时间变量t的函数,而右边仅是空间变量r的函数。若要上式成立,只有两边都等于同一个常数。设这个常数为-k2,则可以得到如下两个方程后面将会看到,k2为本征值,且仅可能是实数。2.波动方程偏微分方程(8.4-25)也是一个亥姆霍兹方程。下面继续对亥姆霍兹方程进行分离变量。先将径向变量r

分离出来,令将上式代入方程(8.4-25),则可以得到该方程左边仅是r的函数,而右边仅是θ和φ的函数,要使得它们相等,仅有它们等于同一个常数。通常把这个常数取为l(l+1),这样可以得到

2.波动方程该方程为l阶的球贝塞尔方程。在第十二章将看到,球贝塞尔方程的一般解为其中jl(x)和nl(x)分别为l阶第一类和第二类球贝塞尔函数。对于波动方程,为了确定常数k(本征值),其径向上的边界条件必须是齐次的。这样,可以得到本征值为将k=kn

代入方程(8.4-24),可以得到其中Cn

和Dn

为常数。这样,波动方程(8.4-22)的一般解则为3.输运方程在球坐标系(r,θ,φ)下,热传导方程为与前面的做法一样,首先将空间变量和时间变量进行分离,可以得到如下两个方程同理,k2

为本征值,且是实数。与前面的讨论一样,再对亥姆霍兹方程(8.4-36)进行分离变量,可以得到将k=kn

代入方程(8.4-35),可以得到这样,在球坐标系中输运方程(8.4-34)的一般解为8.5施图姆

-刘维尔型方程的本征值问题8.5施图姆-刘维尔型方程的本征值问题在前文的曲面坐标系中分离变量时,先后得到了贝塞尔方程、球贝塞尔方程、连带勒让德方程及勒让德方程,这些方程都是变系数的二阶常微分方程,可以写成如下统一的形式其中λ

为常数,即本征值。该方程称为施图姆

刘维尔方程。可见:(1)当g=x,ρ=x

及q=m2/x时,方程(8.5-1)可以约化为贝塞尔方程见方程(8.2-35),其中0≤x

≤x0。该方程与x=x0

处的齐次边界条件就构成了本征值问题。(2)当g=ρ=x2

及q=l(l+1)时,方程(8.5-1)可以约化为球贝塞尔方程见方程(8.4-29),其中0≤x

≤x0。该方程与x