数理统计试题库及答案

数理统计试题库及答案1.设随机变量X的密度函数为f(x;θ)=θ(1+x)^{-(θ+1)},x>0,θ>0.(1)求θ的矩估计量；(2)求θ的最大似然估计量；(3)比较二者均方误差的大小并给出结论。【答案与解析】(1)计算总体一阶矩EX=∫_0^∞xθ(1+x)^{-(θ+1)}dx.令u=1+x，则EX=θ∫_1^∞(u−1)u^{-(θ+1)}du=θ[∫_1^∞u^{-θ}du−∫_1^∞u^{-(θ+1)}du]=θ[1/(θ−1)−1/θ]=1/(θ−1),θ>1.令样本均值X̄等于总体矩，得矩估计θ̂_M=1+1/X̄.(2)对样本x_1,…,x_n，似然函数L(θ)=θ^n∏_{i=1}^n(1+x_i)^{-(θ+1)}.对数似然ℓ(θ)=nlnθ−(θ+1)∑_{i=1}^nln(1+x_i).令导数为零ℓ′(θ)=n/θ−∑ln(1+x_i)=0⇒θ̂_{ML}=n/∑_{i=1}^nln(1+x_i).(3)均方误差比较需计算偏差与方差。对矩估计，利用Delta法，令g(t)=1+1/t，则Bias(θ̂_M)≈g′(EX̄)Bias(X̄)+½g″(EX̄)Var(X̄).经计算可得Bias(θ̂_M)=O(1/n)，Var(θ̂_M)=θ^2(θ−1)^2/(n(θ−2))+o(1/n).对MLE，由Fisher信息I(θ)=n/θ^2，故Var(θ̂_{ML})=θ^2/n.比较可知当θ>2时，MLE的方差更小且无偏占优，故推荐使用MLE。2.设X_1,…,X_n独立同分布于N(μ,σ^2)，μ已知，σ^2未知。(1)构造σ^2的一个无偏估计；(2)证明该估计在均方误差意义下优于样本方差S^2；(3)若损失函数取L(σ^2,a)=(a−σ^2)^2/σ^4，求σ^2的Bayes估计，先验取逆伽马IG(α,β)。【答案与解析】(1)令T=∑_{i=1}^n(X_i−μ)^2，则T/σ^2∼χ^2(n)，故E(T/n)=σ^2，即T/n为无偏估计。(2)样本方差S^2=∑(X_i−X̄)^2/(n−1)的方差为2σ^4/(n−1)，而T/n的方差为2σ^4/n，显然更小；二者均无偏，故T/n的MSE更小。(3)后验分布σ^2|x∼IG(α+n/2,β+T/2).在损失L下，Bayes估计为后验期望的调和平均，经计算得σ̂_B=(β+T/2)/(α+n/2+1).3.设(X,Y)服从二维正态，均值向量0，协方差矩阵Σ=[[1,ρ],[ρ,1]],|ρ|<1.(1)求Y关于X的最佳线性预测；(2)求预测误差的方差；(3)若只观测到X>0的样本，求条件期望E[Y|X>0]。【答案与解析】(1)最佳线性预测Ŷ=ρX.(2)预测误差e=Y−ρX，Var(e)=1−ρ^2.(3)由对称性，E[Y|X>0]=ρE[X|X>0]=ρ√(2/π).4.设X_1,…,X_n来自密度f(x;θ)=e^{−(x−θ)},x≥θ,θ∈ℝ.(1)求θ的充分统计量；(2)求θ的MLE；(3)构造θ的一个置信水平1−α的置信区间。【答案与解析】(1)联合密度f(x;θ)=exp(−∑x_i+nθ)I_{[θ,∞)}(x_{(1)}).由因子分解定理，T=X_{(1)}为充分统计量。(2)似然在θ≤x_{(1)}时随θ增大而增，故θ̂_{ML}=X_{(1)}.(3)令Y_i=X_i−θ，则Y_i∼Exp(1)，X_{(1)}−θ∼Exp(n).故P(X_{(1)}−θ≤c)=1−e^{−nc}.取c=−lnα/n，得置信区间[X_{(1)}+lnα/n,X_{(1)}].5.设X∼Bin(n,p)，Y∼Bin(m,p)独立，p∈(0,1).(1)求p的合并MLE；(2)构造检验H_0:p=p_0vsH_1:p≠p_0的似然比统计量；(3)给出该统计量的渐近分布并写出拒绝域。【答案与解析】(1)合并样本似然L(p)=Cp^{X+Y}(1−p)^{n+m−X−Y}.得p̂=(X+Y)/(n+m).(2)似然比Λ=[p_0^{X+Y}(1−p_0)^{n+m−X−Y}]/[p̂^{X+Y}(1−p̂)^{n+m−X−Y}].取对数并乘以−2，得−2lnΛ=2[(X+Y)ln(p̂/p_0)+(n+m−X−Y)ln((1−p̂)/(1−p_0))].(3)由Wilks定理，−2lnΛ→χ^2(1).拒绝域{−2lnΛ>χ^2_{1,1−α}}.6.设X_1,…,X_n独立同分布于U(0,θ).(1)求θ的矩估计；(2)求θ的MLE并计算其偏差；(3)构造θ的一个无偏估计并验证其有效性。【答案与解析】(1)EX=θ/2⇒θ̂_M=2X̄.(2)θ̂_{ML}=X_{(n)}.密度f_{X_{(n)}}(t)=nt^{n−1}/θ^n,0<t<θ.EX_{(n)}=nθ/(n+1)，偏差−θ/(n+1).(3)令T=(n+1)X_{(n)}/n，则ET=θ，无偏。Var(T)=θ^2/(n(n+2))，达到Cramér-Rao下界，故有效。7.设X_1,…,X_n来自N(μ,σ^2)，μ,σ^2均未知。(1)求(μ,σ^2)的联合充分统计量；(2)求μ的置信水平1−α的置信区间；(3)若σ^2已知，求μ的UMVUE并验证其有效性。【答案与解析】(1)(X̄,S^2)为联合充分统计量。(2)t分布构造X̄±t_{n−1,1−α/2}S/√n.(3)当σ^2已知，X̄为完全充分统计量，且EX̄=μ，故X̄为UMVUE，方差σ^2/n达到Cramér-Rao下界。8.设X_1,…,X_n独立同分布于Poisson(λ).(1)求λ的矩估计与MLE；(2)求λ的Fisher信息；(3)构造λ的一个Bayes估计，先验取Gamma(a,b)，并求后验风险。【答案与解析】(1)二者均为X̄.(2)I(λ)=n/λ.(3)后验λ|x∼Gamma(a+nX̄,b+n).Bayes估计为后验均值λ̂_B=(a+nX̄)/(b+n).后验风险为后验方差R=(a+nX̄)/(b+n)^2.9.设X_1,…,X_n来自密度f(x;θ)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0.(1)求θ的矩估计；(2)求θ的MLE；(3)构造θ的一个置信水平1−α的置信区间。【答案与解析】(1)EX=θ/(θ+1)⇒θ̂_M=X̄/(1−X̄).(2)ℓ(θ)=nlnθ+(θ−1)∑lnx_i.令导数为零得θ̂_{ML}=−n/∑lnx_i.(3)令Y_i=−lnX_i∼Exp(θ)，则∑Y_i∼Gamma(n,θ).取枢轴量2θ∑Y_i∼χ^2(2n)，得置信区间[χ^2_{2n,α/2}/(2∑Y_i),χ^2_{2n,1−α/2}/(2∑Y_i)].10.设X_1,…,X_n来自N(0,σ^2).(1)求σ^2的MLE；(2)求σ的UMVUE；(3)若损失函数为L(σ,a)=(a−σ)^2，求σ的Bayes估计，先验取σ∼IG(α,β).【答案与解析】(1)σ̂^2=1/n∑X_i^2.(2)令T=∑X_i^2，则T/σ^2∼χ^2(n).σ的UMVUE为σ̂=Γ(n/2)√T/(√2Γ((n+1)/2)).(3)后验σ|x∼IG(α+n/2,β+T/2).Bayes估计为后验期望σ̂_B=(β+T/2)/(α+n/2−1),α+n/2>1.11.设X_1,…,X_n来自Laplace(μ,b)，密度f(x;μ,b)=1/(2b)e^{−|x−μ|/b}.(1)求μ的MLE；(2)求b的MLE；(3)构造μ的一个置信区间。【答案与解析】(1)似然在μ取样本中位数时最大，故μ̂=median(X_i).(2)b̂=1/n∑|X_i−μ̂|.(3)由渐近正态，√n(μ̂−μ)→N(0,b^2)，得区间μ̂±z_{1−α/2}b̂/√n.12.设X_1,…,X_n来自N(μ,1)，检验H_0:μ=0vsH_1:μ>0.(1)求UMP检验的拒绝域；(2)求该检验的势函数；(3)若n=25，求检验在μ=0.5处的功效。【答案与解析】(1)由Neyman-Pearson，拒绝域{X̄>c}，c=z_{1−α}/√n.(2)势函数β(μ)=P_μ(X̄>c)=1−Φ(z_{1−α}−√nμ).(3)代入n=25,μ=0.5，得β(0.5)=1−Φ(1.645−2.5)=1−Φ(−0.855)=0.803.13.设X_1,…,X_n来自Exp(λ)，Y_1,…,Y_m来自Exp(μ)，独立。(1)求λ/μ的MLE；(2)构造λ=μ的似然比检验；(3)给出渐近分布。【答案与解析】(1)λ̂=1/X̄,μ̂=1/Ȳ⇒(λ/μ)̂=Ȳ/X̄.(2)合并似然比Λ=[(X̄+Ȳ)/(n+m)]^{n+m}/[(X̄/n)^n(Ȳ/m)^m].−2lnΛ→χ^2(1).(3)拒绝域{−2lnΛ>χ^2_{1,1−α}}.14.设X_1,…,X_n来自Bernoulli(p)，求p^2的UMVUE。【答案与解析】完全充分统计量T=∑X_i∼Bin(n,p).需找无偏估计φ(T)使Eφ(T)=p^2.解差分方程得φ(T)=T(T−1)/(n(n−1)).15.设X_1,…,X_n来自N(μ,σ^2)，求P(X_1>c)的UMVUE。【答案与解析】令θ=P(X_1>c)=1−Φ((c−μ)/σ).利用Lehmann-Scheffé，得θ̂=1−F_{n−1}(√n(c−X̄)/S),其中F_{n−1}为t分布cdf。16.设X_1,…,X_n来自U(θ−1,θ+1).(1)求θ的MLE；(2)求θ的充分统计量；(3)构造θ的一个置信区间。【答案与解析】(1)似然在θ−1≤X_{(1)}≤X_{(n)}≤θ+1时最大，故θ̂=(X_{(1)}+X_{(n)})/2.(2)(X_{(1)},X_{(n)})联合充分。(3)令R=X_{(n)}−X_{(1)}，则R与θ独立，且R∼Beta(n−1,2)型分布，可得P(X_{(n)}−1+δ≤θ≤X_{(1)}+1−δ)=1−α，其中δ满足(1−δ)^n+(1−δ)^n−(1−2δ)^n=α.17.设X_1,…,X_n来自N(μ,σ^2)，检验H_0:σ^2=σ_0^2vsH_1:σ^2≠σ_0^2.(1)求GLR检验统计量；(2)给出拒绝域；(3)若n=20,σ_0^2=1，求检验在σ^2=2处的功效近似值。【答案与解析】(1)Λ=(σ̂^2/σ_0^2)^{n/2}exp[−n/2(σ̂^2/σ_0^2−1)].−2lnΛ=n[σ̂^2/σ_0^2−1−ln(σ̂^2/σ_0^2)].(2)拒绝域{−2lnΛ>χ^2_{1,1−α}}.(3)在σ^2=2下，nσ̂^2/σ_0^2∼χ^2(n,nc)非中心，用正态近似得功效≈0.92.18.设X_1,…,X_n来自Poisson(λ)，求λ^2的Bayes估计，先验λ∼Gamma(a,b)，损失L(λ,a)=(a−λ^2)^2.【答案与解析】后验λ|x∼Gamma(a+T,b+n),T=∑X_i.Bayes估计为后验期望λ^2，即λ̂^2=E[λ^2|x]=Var(λ|x)+(E[λ|x])^2=(a+T)/(b+n)^2+[(a+T)/(b+n)]^2.19.设X_1,…,X_n来自密度f(x;θ)=1/(2θ)I_{[−θ,θ]}(x),θ>0.(1)求θ的MLE；(2)求θ的矩估计；(3)比较二者MSE。【答案与解析】(1)θ̂_{ML}=max(|X_i|).(2)E