广东海洋大学寸金学院《概率论与数理统计》期末试题及答案

广东海洋大学寸金学院《概率论与数理统计》期末试题及答案一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，若P{X=2}=P{X=3}，则λ等于A.2  B.3  C.4  D.5答案：B解析：由P{X=k}=e^{-λ}λ^{k}/k!，得e^{-λ}λ^{2}/2!=e^{-λ}λ^{3}/3!，化简得λ=3。2.设X~N(0,1)，Y=X^{2}，则Y的分布为A.N(0,1)  B.χ^{2}(1)  C.t(1)  D.F(1,1)答案：B解析：标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布。3.设样本X_{1},…,X_{n}独立同分布于Exp(λ)，则样本均值\bar{X}的分布为A.Exp(nλ)  B.Gamma(n,λ)  C.Gamma(n,nλ)  D.Exp(λ/n)答案：C解析：指数分布是Gamma(1,λ)，独立同分布和的分布为Gamma(n,λ)，故\bar{X}=S_{n}/n~Gamma(n,nλ)。4.在假设检验中，若显著性水平α减小，则A.第一类错误概率减小，第二类错误概率减小B.第一类错误概率减小，第二类错误概率增大C.第一类错误概率增大，第二类错误概率减小D.两类错误概率均不变答案：B解析：α↓→拒绝域缩小→第一类错误↓，但接受域扩大→第二类错误↑。5.设(X,Y)的联合密度f(x,y)=2,0≤x≤y≤1，则P{Y≤0.5}等于A.0.125  B.0.25  C.0.375  D.0.5答案：A解析：积分区域0≤x≤y≤0.5，面积=∫_{0}^{0.5}∫_{x}^{0.5}2dydx=∫_{0}^{0.5}2(0.5−x)dx=0.125。二、填空题（每题4分，共20分）6.设A,B独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)=________。答案：0.58解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)P(B)=0.3+0.4−0.12=0.58。7.设X~U(−1,2)，则E|X|=________。答案：1.25解析：E|X|=∫_{-1}^{2}|x|·1/3dx=1/3[∫_{-1}^{0}(−x)dx+∫_{0}^{2}xdx]=1/3[0.5+2]=1.25。8.设X_{1},…,X_{n}为来自N(μ,σ^{2})的样本，若n=25，\bar{x}=10，s^{2}=4，则μ的95%置信区间为________（保留两位小数）。答案：(9.18,10.82)解析：t_{0.025}(24)=2.064，区间\bar{x}±t·s/√n=10±2.064·2/5。9.设X~Bin(100,0.02)，用泊松近似计算P{X≥1}=________（保留三位小数）。答案：0.867解析：λ=np=2，P{X≥1}=1−e^{−2}=0.8647≈0.867。10.设随机变量X的矩母函数M_{X}(t)=exp{2t+3t^{2}}，则Var(X)=________。答案：6解析：M_{X}(t)为N(2,6)的矩母函数，故Var(X)=6。三、计算题（共30分）11.（10分）设二维随机变量(X,Y)的联合密度f(x,y)=k(x+y),0≤x≤1,0≤y≤1，其他为0。(1)求常数k；(2)求边缘密度f_{X}(x)；(3)判断X与Y是否独立。解：(1)∫∫f(x,y)dxdy=1⇒k∫_{0}^{1}∫_{0}^{1}(x+y)dydx=k∫_{0}^{1}(x+0.5)dx=k·1=1⇒k=1。(2)f_{X}(x)=∫_{0}^{1}(x+y)dy=x+0.5,0≤x≤1。(3)f_{Y}(y)=y+0.5，显然f(x,y)≠f_{X}(x)f_{Y}(y)，故不独立。12.（10分）设X_{1},…,X_{n}独立同分布于Gamma(α,β)，α>0已知，β>0未知。(1)写出β的极大似然估计；(2)求该估计的均方误差MSE(β̂)。解：(1)似然函数L(β)=∏_{i=1}^{n}[β^{α}/Γ(α)]x_{i}^{α−1}e^{−βx_{i}}，对数似然lnL=nαlnβ−nlnΓ(α)+(α−1)∑lnx_{i}−β∑x_{i}，令导数为零得β̂=α/\bar{X}。(2)由于\bar{X}~Gamma(nα,nβ)，故Eβ̂=αE(1/\bar{X})，利用1/\bar{X}的期望公式：E(1/\bar{X})=nβ/(nα−1)（nα>1），因此Bias=α·nβ/(nα−1)−β=β/(nα−1)，Var(β̂)=α^{2}Var(1/\bar{X})，经计算得Var(1/\bar{X})=n^{2}β^{2}/[(nα−1)^{2}(nα−2)]，故MSE=Bias^{2}+Var=β^{2}/(nα−1)^{2}+α^{2}n^{2}β^{2}/[(nα−1)^{2}(nα−2)]=β^{2}[1+α^{2}n^{2}/(nα−2)]/(nα−1)^{2}。13.（10分）某生产线袋装食品标准质量500g，标准差σ=5g。今随机抽取16袋，测得平均质量\bar{x}=498g。(1)在α=0.05下检验H_{0}:μ=500vsH_{1}:μ≠500；(2)求检验的p值；(3)若实际μ=497，求此检验的功效。解：(1)检验统计量z=(\bar{x}−μ_{0})/(σ/√n)=(498−500)/(5/4)=−1.6，双侧临界值±1.96，|z|<1.96，故不拒绝H_{0}。(2)p值=2P{Z≥1.6}=2(1−0.9452)=0.1096。(3)功效=1−β=P{拒绝|μ=497}，拒绝域|\bar{x}−500|>1.96·5/4=2.45，即\bar{x}<497.55或\bar{x}>502.45，在μ=497下，\bar{x}~N(497,25/16)，功效=P{\bar{x}<497.55}+P{\bar{x}>502.45}=Φ((497.55−497)/1.25)+1−Φ((502.45−497)/1.25)=Φ(0.44)+1−Φ(4.36)=0.67+1−1=0.67。四、综合应用题（共35分）14.（15分）某电商平台研究用户点击“立即购买”的概率p。随机抽取200名访客，其中68人点击。(1)给出p的矩估计与极大似然估计；(2)构造p的近似95%置信区间；(3)若希望估计误差不超过0.03，置信水平95%，求所需最小样本量。解：(1)矩估计=样本比例=68/200=0.34；极大似然估计同样为0.34。(2)区间=0.34±1.96√[0.34·0.66/200]=0.34±0.065，即(0.275,0.405)。(3)由n≥(z_{α/2}/E)^{2}p(1−p)，取p=0.34，E=0.03，n≥(1.96/0.03)^{2}·0.34·0.66≈957.3，故最小样本量958。15.（20分）设随机变量X的密度函数为f(x;θ)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的矩估计θ̂_{1}；(2)求θ的极大似然估计θ̂_{2}；(3)计算θ̂_{2}的渐近分布；(4)设观测样本为0.2,0.5,0.6,0.8,0.9，求θ̂_{2}的数值及标准误；(5)检验H_{0}:θ=2vsH_{1}:θ≠2，α=0.05。解：(1)EX=∫_{0}^{1}xθx^{θ−1}dx=θ/(θ+1)，令等于样本均值\bar{X}，解得θ̂_{1}=\bar{X}/(1−\bar{X})。(2)似然L(θ)=θ^{n}∏x_{i}^{θ−1}，lnL=nlnθ+(θ−1)∑lnx_{i}，令导数为零得θ̂_{2}=−n/∑lnx_{i}。(3)Fisher信息量I(θ)=n/θ^{2}，故√n(θ̂_{2}−θ)⇒N(0,θ^{2})。(4)样本\bar{x}=0.6，∑lnx_{i}=ln0.2+…+ln0.9=−2.9957，θ̂_{2}=−5/(−2.9957)≈1.669，标准误=θ̂_{2}/√n≈1.669/√5≈0.746。(5)检验统计量z=√n(θ̂_{2}−2)/θ̂_{2}=√5(1.669−2)/1.669≈−0.443，|z|<1.96，不拒绝H_{0}，p值≈0.66。五、证明题（共10分）16.设X_{1},…,X_{n}独立同分布于N(μ,σ^{2})，记S^{2}=1/(n−1)∑(X_{i}−\bar{X})^{2}。证明：(n−1)S^{2}/σ^{2}~χ^{2}(n−1)，且与\bar{X}独立。证明：令Y_{i}=(X_{i}−μ)/σ，则Y_{i}~N(0,1)，记向量Y=(Y_{1},…,Y_{n})^{T}，取正交矩阵A，其第一行为(1