核心素养测评(第三章第6节导数的概念及其意义、导数的运算)

核心素养测评(时间:45分钟分值:90分)【基础过关练】一、单选题1.(5分)已知函数f(x)=3x+1,则limΔx→0A.-13 B.13 C.23 【解析】选A.limΔx→0f(1-Δx)-f(1)Δx=-limΔx2.(5分)(2024·大同模拟)已知函数f(x)=2e2lnx+x2,则曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为 ()A.4ex-y+e2=0 B.4ex-y-e2=0C.4ex+y+e2=0 D.4ex+y-e2=0【解析】选B.因为f(x)=2e2lnx+x2,所以f'(x)=2e2x+所以f(e)=2e2lne+e2=3e2,f'(e)=4e,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y-3e2=4e(x-e),即4ex-y-e2=0.3.(5分)(2024·泸州模拟)已知曲线y=acosxx在点(π,-aπ)处的切线方程为y=2π2x+b,A.4π B.-2 C.-4π D【解析】选D.令y=f(x)=acos则f'(x)=-a(xsinx+cosx)x2,曲线在点(π,-aπ)4.(5分)(2025·丹东模拟)若直线y=2x是曲线y=x(ex-a)的切线,则a= ()A.-e B.-1 C.1 D.e【解析】选B.设切点坐标为(x0,x0(ex0-因为y=x(ex-a),所以y'=(ex-a)+xex=(1+x)ex-a,所以在切点处的切线的斜率为(1+x0)ex0-切线方程为y-x0(ex0-a)=[(1+x0)ex0-a](x即y=[(1+x0)ex0-a]x-由题意知(1+x05.(5分)如图,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点r,取初始值x0,f(x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1,f(x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2,一直继续下去,得到x1,x2,…,xn,它们越来越接近r.若f(x)=x2-2(x>0),x0=2,则用牛顿法得到的r的近似值x2约为 ()A.1.438 B.1.417C.1.416 D.1.375【解析】选B.由f(x)=x2-2(x>0),求导得f'(x)=2x,而x0=2,则f'(x0)=4.又f(x0)=2,于是函数f(x)在横坐标为x0=2的点处的切线方程为y-2=4(x-2).令y=0,得x1=32则f'(x1)=3,f(x1)=(32)2-2=1因此函数f(x)在横坐标为x1=32的点处的切线方程为y-14=3(x-32).令y=0,得x2=1712二、多选题6.(5分)下列求导运算正确的是 ()A.[cos(-2x)]'=2sinxB.若f(x)=lnxx,则f'(xC.(e3)'=3e2D.(lg2x)'=1【解析】选BD.[cos(-2x)]'=-sin(-2x)·(-2x)'=2sin(-2x),故A错误;f'(x)=x(lnx)'-(x)'lnxx(e3)'=0,故C错误;(lg2x)'=12xln10×(2x)'=1xln107.(5分)已知函数f(x)的图象如图,f'(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是()A.f'(3)>f'(2) B.f'(3)<f'(2)C.f(3)-f(2)>f'(3) D.f(3)-f(2)<f'(2)【解析】选BCD.f'(x0)的几何意义是f(x)在x=x0处的切线的斜率.由题图知f'(2)>f'(3)>0,故A错误,B正确;设A(2,f(2)),B(3,f(3)),则f(3)-f(2)=f(3)-f(2)3-2由题图知f'(3)<kAB<f'(2),即f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2),故C,D正确.三、填空题8.(5分)(2024·临沂模拟)函数f(x)=xln(-x),则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为______________.

【解析】易得切点为(-e,-e),f'(x)=ln(-x)+1,则f'(-e)=2,所以切线方程为y-(-e)=2(x+e),即2x-y+e=0.答案:2x-y+e=0【加练备选】(2021·全国甲卷)曲线y=2x-1x+2【命题意图】本题考查导数的概念及其几何意义,考查曲线的切线方程的求法,考查考生的运算求解能力.【解析】令y=f(x)=2x-1x+2,f'(x)=5(x+2)2,f'(-1)=5,所以切线方程为y+3=5(答案:y=5x+29.(5分)若函数f(x)=x2+ax的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为y=mx+m,则实数a=【解析】由函数f(x)=x2+ax求导得f'(x)=2x-ax2,依题意,m=又点P(1,f(1))在直线y=mx+m和函数f(x)=x2+ax上,所以f(1)=1+a=2m因此1+a=2(2-a),解得a=1.答案:1四、解答题10.(10分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.【解析】f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得f解得b=0,a=-3或1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-12所以a的取值范围为(-∞,-12)∪(-12,+∞【能力提升练】11.(5分)(2025·岳阳模拟)已知a,b为正实数,直线y=x-2a与曲线y=ln(x+b)相切,则1a+2b的最小值是 (A.6 B.42 C.8 D.22【解析】选C.设切点为(m,n),y=ln(x+b)的导数为y'=1x由题意可得1m+b=1,又n=m-2a,n=ln(m+b),解得n=0,m=2a,即有2a+b=1,因为a,b为正实数,所以1a+2b=(1a+2b)(2a+b)=2+2+ba+4ab≥4+2ba·4ab=8,当且仅当12.(5分)(多选题)若过y轴上一点P(0,m)最多可作出n(n∈N*)条直线与函数f(x)=xex的图象相切,则 ()A.n可以取到3B.m+n<3C.当n=1时,m的取值范围是(-∞,-4eD.当n=2时,m存在且唯一【解析】选ABD.设切点为(x0,x0ex0),f'(x)=(x+1)e则x0ex0-mx0=(x0+1)令g(x)=x2ex,则g'(x)=(x2+2x)ex,易得g(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减.极大值为g(-2)=4e-2,极小值为g(0)=0,当x→-∞时,g(x)→0,作出g(x)的图象如图所示,显然当m∈(-4e-2,0)时,g(x)=-m有三个解,即有三条切线,n=3;当m=0时,g(x)=-m有一个解,即有且仅有一条切线,n=1;当m>0时,g(x)=-m无解,即不存在切线,不符合题意;当m=-4e-2时,g(x)=-m有两个解,即有两条切线,n=2;当m<-4e-2时,g(x)=-m有一个解,即有一条切线,n=1;所以A,B,D正确,C错误.13.(5分)已知函数f(x)=alnx,g(x)=bex,若直线y=kx(k>0)与函数f(x),g(x)的图象都相切,则a+1b的最小值为【解析】设直线y=kx与函数f(x),g(x)的图象相切的切点分别为A(m,km),B(n,kn).由f'(x)=ax,有解得m=e,a=ek.又由g'(x)=bex,有kn解得n=1,b=ke所以a+1b=ek+ek≥2当且仅当a=e,b=1e时等号成立答案:2e【加练备选】(2024·茂名模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且x≤1时,f(x)=ex+x-1,则曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为______________.

【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2)分别为函数f(x)的图象上关于直线x=1对称的两点,且x1≤1≤x2,则x1+所以y2=e2-x2+2-x2-1=e2-x故当x>1时,f(x)=e2-x-x+1,所以f(2)=e2-2-2+1=0,f'(x)=-e2-x-1,所以f'(2)=-e2-2-1=-2,所以曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=-2(x-2),即2x+y-4=0.答案:2x+y-4=014.(10分)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(e)+lnx.(1)求f'(e)及f(e)的值;【解析】(1)因为f(x)=2xf'(e)+lnx,所以f'(x)=2f'(e)+1x,f'(e)=2f'(e)+1所以f'(e)=-1e,f(x)=-2xe所以f(e)=-2ee+lne=-1(2)求f(x)在点(e2,f(e2))处的切线方程.【解析】(2)因为f(x)=-2xe+lnx,f'(x)=-2e所以f(e2)=-2e2e+lne2=2-2e,f'(e2)=-2所以f(x)在点(e2,f(e2))处的切线方程为y-(2-2e)=(-2e+1e2)(x即(2e-1)x+e2y-e2=0.【创新思维练】15.(5分)(多选题)若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=[f'(x)]'.若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,3π4)上是凸函数的是 (A.f(x)=-x3+3x+4B.f(x)=lnx+2xC.f(x)=sinx+cosxD.f(x)=xex【解析】选ABC.对A,f(x)=-x3+3x+4,f'(x)=-3x2+3,f″(x)=-6x,当x∈(0,3π4)时,f″(x)<0,故A为凸函数对B,f(x)=lnx+2x,f'(x)=1xf″(x)=-1x当x∈(0,3π4)时,f″(x)<0,故B为凸函数对C,f(x)=sinx+cosx,f'(x)=cosx-sinx,f″(x)=-sinx-cosx=-2sin(x+π4)当x∈(0,3π4)时,f″(x)<0,故C为凸函数对D,f(x)=xex,f'(x)=(x+1)ex,f″(x)=(x+2)ex,当x∈(0,3π4)时,f″(x)>0,故D不是凸函数16.(5分)(多选题)定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”,则下列函数中只有一个“新不动点”的是 ()A.g(x)=x·2x B.g(x)=-ex-2xC.g(x)=lnx D.g(x)=sinx+2cosx【解析】选ABC.对于A,g'(x)=2x+x·2x·ln2,由x·2x=2x+x·2x·ln2,解得x=11-ln2所以g(x)只有一个“新不动点”,故A正确;对于B,g'