2026年高考数学二轮复习专题05 导数压轴大题综合6大考向（重难）（天津）（原卷版）

重难点05：导数压轴大题综合

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速度提升技巧掌握手感养成

分析考情·探趋势

锁定核心，精准发力：快速锁定将要攻克的最核心、必考的重难点，明确主攻方向，聚焦关键目标

破解重难·冲高分

方法引领，突破瓶颈：系统归纳攻克高频难点的解题策略与实战技巧，并配以同源试题快速内化

拔尖冲优·夺满分

巅峰演练，锤炼题感：精选中高难度真题、模拟题，锤炼稳定攻克难题的“顶级题感”与应变能力

近三年：近三年天津高考导数压轴均为第20题（16分），三问结构稳定：①切线/基础导数运算；②含参

恒成立/零点/存在性；③多变量/不等式证明/极值点相关高阶问题。2026年将延续核心结构，强化跨模块

融合、新情景建模、思维深度，难度稳中有升，仍是区分度核心题。三年共性规律结构：三问分层，①送

分奠基，②承上启下（关键分），③拉开差距（压轴分）考点：切线（必出）、含参函数单调/极值/最值、

恒成立/存在性、零点、不等式证明方法：高频用分类讨论、分离参数、构造函数，2024-2025更侧重多阶

求导、隐零点、放缩，计算与逻辑量显著增加载体：以指、对、多项式混合函数为主，定义域多为(0,+∞)，

贴合天津命题偏好

预测2026年：结构与分值：仍为第20题（16分），三问设置不变，梯度更清晰核心考点稳定必考点：

切线方程、含参单调性、极值/最值、恒成立/存在性、零点个数，高频进阶：多变量问题、极值点偏移、

隐零点代换、不等式放缩，交汇增强：与数列、集合、概率结合；融入碳中和、物流优化等现实情景建模

情景化：用真实背景（如环境治理、经济决策）包装导数问题，考查“文字→数学模型”转化，思维升

级：需多阶求导、合理放缩、极限思想，规避单一方法套用设问创新：补充条件探究、多结论选择、开放

型证明（如“写出一个满足条件的参数值并证明”）难度趋势：稳中有升，计算量与逻辑链拉长，强化分

类讨论完整性与构造函数灵活性，压轴问更重“转化与化归”能力

考向1：“在”点P处的切线问题

求曲线“在”某点处的切线方程步骤

第一步（求斜率）：求出曲线在点x0,fx0处切线的斜率f(x0)

第二步（写方程）：用点斜式yf(x0)f(x0)(xx0)

第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。

x

e2sinxx

1．（2025·天津和平·二模）曲线fx与曲线gxax1e在点0,1处的切线互相垂直，则

1x2

实数a（）

A．2B．0

14

C．D．

33

2．（2025·天津河北·二模）已知a0，函数fxalnxlnx1.

(1)当a1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)当0a1时.

（ⅰ）求fx的单调区间和极值；

（ⅱ）设fx的极大值为ga，求ga的最小值；

23n1n2

123n12

(3)设nN，且n2，求证：2.

nnnn

x2

3．（2025·天津南开·二模）已知函数fxsinx，gx1.

2

(1)求曲线yfx在x0处的切线方程；

(2)证明：对x0,，f¢(x)³g(x)恒成立（fx为fx的导数）；

n

nfai1fai2

设，证明：n（*）

(3)annnN.

2i1ai1ai9

4．（2025·天津·模拟预测）已知函数fxlnx2

(1)求曲线yfx在x=1处的切线方程；

(2)求证：exx1；

(3)函数hxfxax2有且只有两个零点，求a的取值范围．

5．（2025·天津武清·模拟预测）已知fxaxxa（x0，a0且a1）.

(1)当a2时，求fx在x0处的切线方程；

(2)当ae时，求证：fx在e,上单调递增；

e2

(3)设ae，已知xlna,，有不等式fx0恒成立，求实数a的取值范围.

2

考向2：“过”点P处的切线问题

求曲线“过”某点处的切线方程步骤

第一步：设切点为Qx0,fx0；

第二步：求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；

第三步：利用Q在曲线上和f(x0)kPQ，解出x0及f(x0)；

第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)．

1．（2025·天津和平·二模）过点0,0作曲线y2xxR的切线，则切点的坐标为．

2．（2025·天津和平·调研）过原点的直线与f(x)lnx2及g(x)exa的图象都相切，则实数a的值

为.

3．（2025·天津河西·月考）已知点A在直线x2上运动，若过点A恰有三条不同的直线与曲线yx3x相

切，则点A的轨迹长度为.

lnx

4．（2025·天津蓟州·月考）已知函数fx，下列说法正确的个数是（）

x

①函数f(x)的单调递减区间为(0,e)

1

②函数f(x)的切线过原点，则该切线的斜率为

2e

1

③若方程mf(x)有两个不同的实数根，则m(0,)

e

④函数f(x)在区间(k1,k1)上不单调，则ke1,e+1

A．1个B．2个C．3个D．4个

lnx,x0

5．（2025·天津·月考）已知函数f(x)，若方程f(x)ax有三个不同的实数根x1,x2,x3且

3x2,x0

ln(xx)

23

x1x2x3，则x1的取值范围是.

x2x3

考向3：对称化构造解决极值点偏移

1、和型x1x22a（或x1x22a）问题的基本步骤：

①首先构造函数gxfxf2ax，求导，确定函数yfx和函数ygx的单调性；

②确定两个零点x1ax2，且fx1fx2，由函数值gx1与ga的大小关系，

得gx1fx1f2ax1fx2f2ax1与零进行大小比较；

③再由函数yfx在区间a,上的单调性得到x2与2ax1的大小，从而证明相应问题；

2、积型x1x2afx1fx2问题的基本步骤：

①求导确定fx的单调性，得到x1,x2的范围；

a

②构造函数Fxfxf，求导可得Fx恒正或恒负；

x

a

③得到fx1与f的大小关系后，将fx1置换为fx2；

x1

aa

④根据x2与的范围，结合fx的单调性，可得x2与的大小关系，由此证得结论.

x1x1

1．（2025·天津蓟州·联考）已知函数fxexaxaR．

(1)求fx的单调区间；

(2)若fx有两个正零点x1,x2，且x1x2．

（i）求a的取值范围；

（ii）求证：x1x22．

2．（2025·天津·月考）已知函数f(x)x22ax4lnx．

(1)讨论f(x)的单调区间；

(2)已知a[4,6]，设f(x)的两个极值点为1,212，且存在bR，使得yf(x)的图象与yb有三个

公共点x1,x2,x3x1x2x3；

①求证：x1x221；

②求证：x3x147．

3．（2025·天津·一模）设函数fxx2lnx.

(1)求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)设函数gxfxaxaR

（i）当x1时，gx取得极值，求gx的单调区间；

gx2gx14a

（ii）若gx存在两个极值点x1,x2，证明：.

x2x1a2

4．已知函数f(x)(x1)lnx(a1)x22x有两个零点

(1)求a的取值范围；

1

(2)记x，x为f(x)的两个零点，证明：2xx3

1212a

1

a

．已知函数x有两个零点x、．证明：．

5fxelnxa1x2x1x22a

考向4：比值代换法解决极值点偏移

比值换元的目的也是消元、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点

x

的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的。设法用比值（一般用t表示）表示两个极值点，即t1，

x2

化为单变量的函数不等式，继而将所求问题转化为关于t的函数问题求解。

2x2

1．已知函数fxeax（x0，a0）.若函数f(x)有两个零点x1，x2.证明：

44lnalnx1lnx21lna.

1

2．（2025·全国·模拟预测）已知函数f(x)xalnx，若f(x)存在两个极值点x，x，证明：

x12

fxfx

12a2.

x1x2

3

3．已知函数fxx2lnxa(aR)有两个不同的零点x1,x2.求证：xx1.

x12

4．（2025·全国·模拟预测）已知函数f(x)exx2，g(x)xlnx(a1)x.

(1)若f(x)g(x)，求a的取值范围；

(2)若f(x)g(x)有两个实数解x1，x2，证明：lnx1lnx20.

1

5．（2025·全国·模拟预测）已知函数fxlnxax．若函数fx有两个零点x、xxx，求证：

x1212

2

x1x26e．

考向5：根据函数零点个数求参数

1、分离参数(ag(x))后，将原问题转化为yg(x)的值域（最值）问题或转化为直线ya与yg(x)

的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；

2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；

3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。

1．（2025·天津滨海新·调研）已知函数fxexaxaR．

(1)当a1时，求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；

(2)求fx的单调区间；

(3)若fx有两个正零点x1,x2，且x1x2．

（i）求a的取值范围；

（ii）求证：x1x22．

2．（2026·天津·调研）函数yexmx在区间0,3上有两个零点，则m的取值范围是（）

33

33ee

A．1,eB．0,eC．e,D．e,

33

1

23．（2025·天津河西·调研）已知函数fxx2axlnx1，

2

(1)a1时，求fx在2,f2处的切线方程；

(2)若函数fx在0,上有唯一的极值点，求a的取值范围；

(3)在（2）的条件下，设x0为fx在区间0,上的零点，x1为fx在区间0,上的极值点，证明：

2x1x0.

4．（2025·天津河东·调研）已知函数fxax33ax24aR．

a23

(1)当a0时，fx在区间,a上存在极值，求a的取值范围；

22

(2)若fx的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；

a55

(3)设gxx6，当a0时，若对任意给定的x2,，总存在唯一的x2,，使得

20212

fx1gx0成立，求a的取值范围．

5．（2026·天津滨海新·月考）已知函数f(x)lnxmx2(12m)x1(mR).

(1)若m1，求函数f(x)在x1处的切线方程；

(2)讨论函数f(x)的单调性：

(3)若对定义域内的任意x，都有f(x)0恒成立，求整数m的最小值.

考向6：讨论证明函数零点的个数

证明函数零点个数的方法与判断零点个数的方法相似，多在解答题中进行考察。

利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极

值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。

注意：单调性+零点存在=唯一零点

1

1．已知函数fxalnx，曲线yfx在点2,f2处的切线与直线x4y40平行．

x

(1)求实数a的值；

x

(2)求函数gxfx（fx为fx的导数）的零点个数；

3

(3)求证：当x1时，xfxexxe0恒成立．

2．（2026·天津南开·月考）已知函数fxm1xlnx1.

(1)当m2时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)若fx的极小值小于-1，求m的取值范围；

(3)当m1时，求gxfxxexm的零点个数.

1

3．（2025·天津·月考）已知函数fxx1lnx，gxax1．

2

(1)求fx在xe处的切线方程；

(2)若当x1时，不等式2fxgx恒成立，求实数a的取值范围；

2qr

(3)已知函数hxfxgx有3个零点p，q，rpqr，求证：2a1．

p

4．（2025·天津河东·调研）已知函数f(x)(xa)ln(xa)，曲线yfx的一条切线的方程为yx1．

(1)求实数a的值；

(2)设gxfxf1x，求函数gx的最小值；

(3)若对任意x1,x2(0,)，f(x1)f(x2)f(x1x2)m(x1x2)恒成立，求实数m的最大值．

2lnx

,x0,

x

5．（2026·天津·调研）已知函数fx若2f2x3fx10恰有6个不同的

π

sinx,πx0,

6

实数解，则正实数的取值范围是.

（建议用时：60分钟）

1．（2025·天津·模拟预测）已知函数fxexx2aaR.

(1)当a8时，

（i）求函数fx在点P0,f0处的切线方程；

（ii）求函数fx的单调区间和极值；

1fx

若对于x,2，都有不等式恒成立，求实数a的取值范围

(2)x2lnx0.

2e

2．（2026·天津武清·月考）已知函数fxexax，aR.

(1)若曲线yfx在x1处的切线的斜率为2，求a的值；

(2)若fxsinx1在区间0,上恒成立，求a的取值范围.

e2x

3．（2026·天津滨海新·月考）已知函数f(x)xex，g(x)(2a)ex(a1)x．

2

(1)求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)若a1，求g(x)的单调区间；

(3)若a1，F(x)f(x)g(x)且F(m)F(n)0(mn)，证明：F(m)F(n)3．

lnx，x0

4．（2026·天津滨海新·月考）已知函数fx，若方程fxxa有2个不同的实根，则

xxa，x0

非零实数a的取值范围是

5．（2026·天津南开·月考）已知函数fxm1xlnx1．

(1)若fx的极小值小于1，求m的取值范围；

(2)当m1时，判断gxfxxexm的零点个数并写出证明过程．

6．（2025·天津河西·二模）已知函数fxalnxx23x3aaR.

(1)当a1时，求曲线yfx在x1处的切线方程；

(2)讨论fx的单调性；

1x32

(3)已知a0,，证明：xfxex3x（其中e是自然对数的底数）.

4

xb

7．（2025·天津河东·二模）已知函数f(x)x2，g(x)x2lnx，a0.

a

(1)函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为xy20，求a，b的值；

(2)求函数g(x)的极值；

g(x)1

(3)函数F(x)f(x)x21，若F(x)0，证明：ab.

x22e

8．（2025·天津和平·二模）已知函数fx2nx2lnmxn2mx（m，nR，m0）.

1

(1)若函数fx的两个极值点为0与，求m，n的值及函数fx的单调区间；

2

1

(2)若n.

2

1

（ⅰ）求证：当m0,1时，函数fx在区间,上单调递增；

2

112

（ⅱ）对m,1，总x01,2，使得fx0m成立，求实数的取值范围.

24

9．（2025·天津·一模）已知函数fxxklnx，gxxasinxblnx．

(1)若k1，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)当x1时，fx2x1恒成立，求实数k的取值范围；

2b

(3)设0a1，b0，若存在x1,x20,，使得gx1gx2x1x2．证明：x1x2．