安徽省合肥市2025-2026学年高一数学上学期12月月考试题含解析

（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据并集运算求集合.【详解】，则.故选：C.2.已知扇形的圆心角为150°，其弧长为，则这个扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据弧长求出半径，再由扇形的面积公式求出答案.【详解】设扇形的半径为，扇形的圆心角为150°，即所以弧长为，则这个扇形的面积为故选：B3.已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用必要不充分条件判断即可.【详解】若，取，，但是无意义，所以由“”推不出“”，若“”，则，所以可得，所以由“”可推出““，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B．4.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用诱导公式进行化简计算即可得解.【详解】.故选：C.5.已知、、，则下列结论中正确的有（）A.若且，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】利用作差法可判断ABC选项；利用特殊值法可判断D选项.【详解】对于A选项，若且，则，可得，A错；对于B选项，因为，则，，，则，即，B对；对于C选项，因为，则，则，即，C错；对于D选项，因为，当时，，D错.故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.【详解】，，，∴，故选：D【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题.7.若是奇函数，且在上是增函数，，则的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将不等式转化为或，两种情况来分类讨论，而函数和时x的取值范围可根据为奇函数和单调性求出.【详解】∵是R上的奇函数，且在内是增函数.∴在内也是增函数，又，，.当时，；时，；或可解得或，∴不等式的解集是.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，解不等式过程中运用了分类讨论的思想.题目难度较易.8.已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案.【详解】由条件得，，，在上递增.由得，则或．故选：B．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列命题是真命题的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.函数与函数是同一个函数C.若幂函数在区间上单调递减，则D.函数的零点是【答案】BC【解析】【分析】对于A，直接写出命题“，”的否定，即可求解；对于B，利用相同函数的判断方法，即可求解；对于C，利用幂函数的定义及性质，即可求解；对于D，利用函数零点的定义，即可求解.【详解】对于选项A，因为命题“，”的否定是“，”，所以选项A错误，对于选项B，因为，所以与定义域相同，表达式相同，故函数与函数是同一个函数，所以选项B正确，对于选项C，因为幂函数在区间上单调递减，所以，得到，故选项C正确，对于选项D，令，得到，所以函数的零点是，故选项D错误，故选：BC.10.已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】利用三角函数定义逐项求解判断.【详解】由，得，解得（负值舍去），则正确.由，得，则B，D正确.由，得，解得，则错误故选：ABD11.已知函数，若有四个解，且满足，则下列结论正确的是（）A.0 B.C.的最小值为 D.【答案】ABD【解析】【分析】画出函数的图象，根据对称性和指数函数的图象和性质结合基本不等式即可求出．【详解】作出函数的图象，因是方程的四个互不相等的解，则，A选项正确；因为，则有，是方程的两个根，必有，因为，所以，所以，所以，B选项正确；，因，且，所以，C选项错误；，是方程的两个不等根，则，即，所以，整理得，，即，于是得，D选项正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数是奇函数，则实数的值为_______．【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质得出，求出实数的值，然后验证函数为奇函数即可.【详解】对任意的，，则函数的定义域为，由是奇函数，得，解得，即，由于，即函数奇函数，所以．故答案为：.13.已知正实数满足，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解.【详解】由且，所以，当且仅当，即时取等号.故答案为：14.已知，则___________．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式和将原式变形为，代入即可．【详解】由题意得.故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知，求的值；若是第三象限角，求的值．【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】利用同角三角函数关系化简结合即可得结果；由得，结合即可得结果.【详解】因为，所以由得，又，故，即因为是第三象限角，，所以．【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题.同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.16.在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转后得到角，记角的终边与单位圆的交点为.（1）若，求点的坐标；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由条件可知，并且，，再根据诱导公式求，根据三角函数的定义求得点的坐标；（2）根据（1）的结果代入求得，并且，再根据同角三角函数关系式求.【详解】解：因为角的终边与单位圆交于点，所以，．因为角的终边顺时针旋转后得到角，所以，.（1）当时，因为角的终边与单位圆的交点为，所以点的坐标为.（2）因为，，所以，即．因为，所以．【点睛】本题考查三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数，重点考查转化，计算能力，属于基础题型.17.习总书记指出：“绿水青山就是金山银山．”某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）．（1）求的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）（2）当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.【解析】【分析】(1)结合已知条件，表示出即可；(2)利用一元二次函数的单调性和基本不等式即可求解.【小问1详解】因为，，所以.【小问2详解】当时，，由一元二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，且从而，即在上的最大值为240；当时，，因为，当且仅当，即时，不等式取等号，从而，即当时，有最大值270，此时肥料费用.综上所述，当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.18.已知函数，.（1）证明：为偶函数；（2）若函数的图象与直线没有公共点，求a的取值范围；（3）若函数，是否存在m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存，.【解析】【分析】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明；（2）根据函数的图象与直线没有公共点，用分离参数法；（3）复合函数问题，用换元法，令，讨论即可.【详解】解：（1）证明：因为，又，即，所以为偶函数.（2）原题意等价于方程无解，即方程无解.令，因为，显然，于是，即函数的值域是.因此当时满足题意.所以a的取值范围是.（3）由题意，.令，则.则，.①当时，，，解得；②当时，，解得（舍去）；③当时，，解得（舍去）.综上，存在，使得最小值为0.【点睛】方法点睛：（1）对函数奇偶性的证明用定义：或；（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.19.已知函数，.（1）若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围.（2）若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，求的取值范围.【答案】（1）或或；（2）或.【解析】【分析】（1）求出的最大值，可知恒成立，可得，，进而构造函数，只需，求解即可；（2）可求得在上的值域为，可知，且对任意，总存在唯一，使得成立，进而分，和三种情况分别讨论，从而可求出的取值范围.【详解】（1）因为，，所以，所以，，故，要使对任意，，不等式恒成立，只需，所以，即.记，因为，所以只需，即，解得或或.故的取值范围为或