重庆市2026届高三数学上学期周考十试题含解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知随机变量，则（）A0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】由正态分布的对称性可得答案.【详解】由题意可得该正态分布的图象关于轴对称，又，所以.故选：B.2.给出下列说法，其中正确的是（）A.某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为B.已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别为5，13C.在回归直线方程中，相对于样本点的残差为D.样本相关系数【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的概念可判断A的真假；根据两组相关数据的平均数和方差的计算方法判断B的真假；计算残差判断C的真假；根据相关系数的取值范围判断D.【详解】对A：将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，第50百分位数即为中位数，这组数的中位数为，所以A错误；对B：由数据的平均数为2，方差为3，则数据，，的平均数为，方差为，所以B错误；对C：残差，故C正确；对D：样本的相关系数应满足，所以D错误．故选：C3.某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（）A.36种 B.72种 C.144种 D.288种【答案】C【解析】【分析】甲班的2名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法；第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法.根据分步乘法计数原理，不同站法共有种.故选：C4.的展开式中的系数为（）A.12 B.60 C.160 D.240【答案】B【解析】【分析】先写出的二项展开式的通项，令，求出值，再代入通项中，计算即可得解.【详解】因为的二项展开式的通项为，令，解得，所以，所以的展开式中的系数为60.故选：B5.设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为()A. B. C. D.ln3－1【答案】A【解析】【详解】由f(x)和g(x)的图象可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离，设F(x)＝f(x)－g(x)＝x3－lnx，求导得F′(x)＝3x2－，令F′(x)＞0，得x＞；令F′(x)＜0，得0＜x＜.所以当x＝时，F(x)有最小值F()＝＋ln3＝(1＋ln3)，故选A.6.如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（）A.360 B.420 C.480 D.660【答案】B【解析】【分析】根据使用颜色种数分类，利用排列组合可得.【详解】若5种颜色全涂，有种；若5种颜色涂4种，则左右侧面或前后侧面涂同种颜色，有种；若5种颜色涂3种，则左右侧面涂同种颜色，前后侧面涂同种颜色，有种可得，故不同的涂色方案共有420种.故选：B7.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钓着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，若从顶端投入1024粒小球，则落入3号格子的小球的均值为（）A.93 B.120 C.210 D.300【答案】B【解析】【分析】由已知得，从而求得小球落入第三个格子的概率，再计算均值即可》【详解】由于小球是等概率的向左或向右下落，则最后落入格子的号码数，所以，又1024个小球落入第三个格子的球数，所以，即落入第三个格子的球数均值为120.故选：B.8.已知双曲线的离心率为，分别是双曲线的左､右焦点，点，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则（）A.4 B.8 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出的关系，结合向量数量积的公式，结合一元二次函数的性质求出函数的最值即可.【详解】由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，由于，即，得，所以.由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，则，故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是设，然后计算出，利用二次函数性质则得到其最值，再代入得到，则得到面积比.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由，令得，A选项正确.令得，B选项错误.二项式展开式的通项公式为，由此可知是负数，为正数，所以令得，，即，C选项错误由，两边求导得，令得，所以D选项正确.故选：AD10.甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（）A.、为对立事件 B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故C不正确.故选：AB11.如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（）A.数列的通项公式 B.数列的通项公式C. D.【答案】ACD【解析】【分析】A根据几何特征求出，再根据以及化简得出数列为等差数列即可求出；B根据A选项以及即可；C根据以及平方和公式即可；D由，结合裂项相消法即可.【详解】已知，设，因为为等腰直角三角形，则直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得，则，即，则，设，则，，则，可得，即，由，可得，故得，所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列，则，故A正确；对于B，，则，故B错误；对于C，因为是等腰直角三角形，其面积，则由平方和公式，可得，故C正确；对于D，因为，，当时，，则，故D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设函数的导数为，且，则=______.【答案】【解析】【分析】对求导，可得，将代入上式即可求得：，即可求得，将代入即可得解【详解】因为，所以.所以，则，所以则，故.【点睛】本题主要考查了导数的运算及赋值法，考查方程思想及计算能力，属于中档题．13.已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是______．【答案】【解析】【分析】以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.由已知得，，.根据贝叶斯公式可求得答案.【详解】解：以事件表示“选出的是男性”，则事件表示“选出的是女性”，以事件表示“选出的人是色盲患者”.由题意，知，，.由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为.故答案为：.14.已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有______个“九曲正弦数”.【答案】【解析】【分析】根据这5个数至少取集合中3个不同的数字，且为最大的数，为最小的数，按照取自集合中元素个数进行分类，结合排列组合的知识求解即可.【详解】因，，，则这5个数至少取集合中3个不同的数字，至多取5个不同的数字，且为最大的数，为最小的数，①取3个数：，分别自动选取最大的数和最小的数（以下均采取相同的做法，不再赘述），则取剩下的数，共有种；②取4个数：共有种；③取5个数：则从剩下的3个中各自匹配一个数，共有种；故共有个“九曲正弦数”.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求A的值；（2）若，求△ABC周长的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）证明，证明即可求解；

（2）证明，，证明，证明，证明即可求解.【小问1详解】，由正弦定理得，整理得，在中，，，即，，即；【小问2详解】由正弦定理得，∴，，∴，，∴，在锐角中，∴，，∴，∴周长的取值范围为．16.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；（2）在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．（3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．【答案】（1）平均数为69.5，第25百分位数为63（2）（3）【解析】【分析】（1）首先算出，然后根据平均数、百分位数的计算公式计算即可；（2）由列举法求解古典概型概率即可；（3）由分层抽样方差公式计算即可.【小问1详解】由题意可知：，解得，可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数为，因为，设第25百分位数为，则，则，解得，故第25百分位数为63．【小问2详解】10人中，第四组为8人.第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10，则样本空间共45个样本点，记两名面试者成绩都在第五组为事件A，则事件，故；【小问3详解】设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．17.已知函数．(1)当b＝4时，求极值；(2)若在区间上单调递增，求b的取值范围．【答案】（1）极小值f(－2)＝0，极大值f(0)＝4；（2）【解析】【分析】（1）求导，判断函数的单调性，进而求出函数的极值；（2）在区间上单调递增，说明导函数在上大于或者等于零，求出的取值范围.【详解】(1)当b＝4时，，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝，易知当x∈时，<0，依题意当x∈时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0，得b≤.所以b的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值.考查了已知函数的单调区间，求参数问题.18.已知椭圆过点，且与双曲线有相同的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）如图，为椭圆的上顶点，为椭圆上的两点，点关于轴的对称点为，设的中点为点．①设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；②若射线为的平分线，求的取值范围．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设椭圆的标准方程为，设，利用椭圆的定义求出的值，结合的值可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）①设、、，利用点差法可求得的值；②设设直线、的斜率分别为、，推导出，将直线、的方程分别与曲线的方程联立，可求出点、的坐标，设直线的方程为，将点、的坐标代入直线的方程，利用方程思想与可求出的值，即可的直线所过定点的坐标.解法1：由化简得出，求出的范围，再结合两点间的距离公式以及二次函数的基本性质可求出的取值范围；解法2：分析可知，则，故只需求出的范围即可，设直线的方程为，将该直线方程与曲线的方程联立，利用弦长公式、二次函数的基本性质可求得的取值范围，进而可得出的取值范围.【小问1详解】设椭圆的标准方程为，，左右焦点为，双曲线的焦点为和，则，因为，所以，可得，，故椭圆的方程为．【小问2详解】①设、、，则有，两式作差得，即，即，由题设知，，故，即，又，则．②设直线、的倾斜角分别为和，则直线的倾斜角为，由题设知和均不等于．又直线的斜率为，故其倾斜角为，从而有，从而，，即，又，故．设直线、的斜率分别为、，则．设直线、的方程分别为、，联立直线和曲线得，解得，代入直线得，故点，同理可得，设直线的方程为，代入点坐标得，化简得，同理有，故、是方程的两个根，故，解得，故直线方程为，过定点．法1：由①知，即，即，即，所以，且，从而，因为，而在区间内单调递减，所以，故．法2：因为，故，故，只需求的范围．设直线的方程为，与曲线联立得，因为点在曲线内部，则必有，则，，从而，令，则，因为，则，则，即，故，所以．19.2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为.（1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概