重庆市2026届高三数学上学期期中试题含解析

85分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可得正确的选项.【详解】，故选：D.2.设，则（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.【详解】由题意可得：.故选：C.3.设均为单位向量，且，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】对两边平方，代入已知条件，再开方可得答案.第1页/共19页

【详解】因为均为单位向量，则，且，所以.故选：B.4.“刍童”.中，与平面之间的距离为3“刍童”）A.36B.46C.56D.66【答案】C【解析】【分析】首先说明几何体为四棱台，再代入台体体积公式，即可求解.【详解】由，，，，且，则交于同一点，该“刍童”为四棱台，矩形的面积为,矩形的面积为,且上下底面的高为3，所以四棱台的体积.故选：C第2页/共19页

5.若，则（）A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.【详解】，，.故选：C.6.过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由直线关于直线对称，则直线与直线垂直，再联立直线与直线即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为,因为直线关于直线对称，则直线与直线垂直，所以直线的方程为，即，由解得，，第3页/共19页

所以点的坐标为.故选：D.7.在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有（）A.12种B.24种C.64种D.81种【答案】C【解析】【分析】分析每天排班方法数，再由分步计数原理求解即可【详解】根据题意，第一天值班可以安排4名职员中的任意1人，有4种排班方法，同理第二天和第三天也有4种排班方法，根据分步计数原理可知，不同的排班方法有种，故选：C8.在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，底面边长为x，由题可得及，后由导数知识可得答案.【详解】过顶点P向平面ABCD作垂线，垂足为O，则PO为正四棱锥的高，设为h.设底面边长为x，则，则，则.所以正四棱锥的体积为：，则第4页/共19页

.当时，；当时，.即在上单调递增，在上单调递减，则.故选：B二、多选题：本题共3小题，共分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分）9.已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（）A.B.C.最小D.【答案】ABD【解析】【分析】由条件可得，然后逐一判断每个选项即可【详解】因为是等差数列，所以，所以即，即所以所以正确的有ABD故选：ABD第5页/共19页

【点睛】本题考查的是等差数列的性质及其前项和的性质，属于典型题.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.在定义域内是增函数B.是奇函数C.的最小正周期是D.图像的对称中心是【答案】BCD【解析】【分析】以为整体，结合正切函数的相关性质逐项分析判断.【详解】A选项：∵，则∴的定义域是，其在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性，故A错误；B选项：，∵，则是奇函数，故B正确；C选项：函数的最小正周期为，故C正确；D选项：令，解得，所以图像的对称中心是，故D正确．故选：BCD．圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（）第6页/共19页

A.双曲线的方程为B.过点且垂直于的直线平分C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到DC中结果件，即可求解.【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，所以，解得，得到双曲线的方程为，正确，对于B，如图，由题知，，所以，若，所以，正确，第7页/共19页

对于C，记，所以，又，得到，又，所以，又，由，得，错误，对于D，因为，，由，得，又，得到，得到，从而有，得到，由，得到，从而有，解得，正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.用半径为4cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高是_____cm.【答案】【解析】【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面圆周长，即可得到底面圆半径，然后利用勾股定理即可得到本题答案.【详解】因为半径为4的半圆弧长为，所以圆锥的底面周长为，则底面半径为，其轴截面为等腰三角形如下图：第8页/共19页

所以圆锥的高.故答案为：13.若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．【答案】【解析】的方程为与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【详解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.14.若恒成立，则实数______．【答案】##【解析】切线不等式得解．【详解】因为恒成立，即恒成立，即恒成立，第9页/共19页

设，则恒成立，又，则在上单调递增，可得恒成立，即恒成立，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立（当且仅当所以，解得故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知．（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求的单调增区间；（3）当时，求函数的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为（2）单调增区间为（3）最大值为，最小值为【解析】1）结合函数的图象与性质即可求出结果；（2）利用整体代入法即可求出函数单调区间；（3）根据求得，进而根据函数的图象与性质即可求出结果.【小问1详解】最小正周期，令，第10页/共19页

所以，所以对称轴方程为；【小问2详解】令，所以，所以的单调增区间为；【小问3详解】当时，所以，所以，当，即时取得最大值，当，即时取得最小值，所以当时，函数的最大值为，最小值为.16.有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛都分出了胜负．（1）求比赛结束时乙获胜的概率；（2）比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X，求随机变量X的分布列．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】1）根据三局两胜制可知，乙获胜则有三种情况，分类即可求解.（2）根据随机变量所有取值的可能以及计算对应的概率，即可求解,【小问1详解】比赛结束时，乙获胜有三种情况：2第11页/共19页

胜，∴比赛结束时乙获胜的概率；【小问2详解】由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，，，．∴X的分布列为X01217.在中，，，，分别是上的点，满足且经过沿折起到，是图所示.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小；（3上是否存在点与平面成角余弦值为的长第12页/共19页

度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，或【解析】1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；（3与平面成角余弦值为，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【小问1详解】因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面内，所以平面；【小问2详解】由（1轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.因为，故，由几何关系可知，，，，第13页/共19页

故，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，，.设与平面所成角的大小为，则有，设为与平面所成角，故，即与平面所成角的大小为；【小问3详解】假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.在空间直角坐标系中，，，，设，则，，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，若平面与平面成角余弦值为.则满足，化简得，解得或，即或，第14页/共19页

故在线段上存在这样的点与平面成角余弦值为.此时的长度为或.18.已知椭圆的短轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交于M，N两点，①若，求直线的方程；②若点，求的面积的取值范围．【答案】（1）（2）①；②【解析】1）由题，联立方程组求出a，b即可得解；（2）①将直线与椭圆联立，得到韦达定理式，再根据共线向量得到，代入计算即可；②利用弦长公式和点到直线的距离公式得到面积表达式可．【小问1详解】由题可得：，解得：，所以椭圆的方程为：；【小问2详解】第15页/共19页

设直线交于，两点，点在椭圆内，①若直线的斜率不存在，易得，，不满足，故设直线的方程为，联立，化简得：，所以，（1又，，，所以（2由（12）两式解得：，所以直线的方程为；②当直线的斜率不存在时，直线与的交点为，，则，当斜率为0时，直线过点，故不能构成三角形，当斜率存在且不为0时，由①知，，点到直线的距离，第16页/共19页

所以，令，则，，则，，因为，所以，综上，的面积的取值范围为．【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题以及椭圆中三角形面积范围问题，难度较大，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及三角形面积公式代入计算.19.已知函数，其中，e为自然对数的底数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数存在极小值点，且，求实数a的取值范围；（3）若函数有两个零点，，求证：.【答案】（1）答案见详解（2）（3）证明见详解【解析】1）求导可得，利用导数判断原函数的单调性；（2）求导构建，可知在存在零点，结合题意整理可得，构建，求导，利用导数分析单调性和符号，即可得结果；（3，，数结合单调性可得，，结合单调性分析证明.第17页/共19页

【小问1详解】当时，，可知的定义域为，且，设，则，可知在单调递增，且，当时，，即；当时，，即；所以的单调递减区间为，单调递增区间为.小问2详解】由题意可知