浙江省杭州市2025-2026学年高一数学上学期12月教学质量检测试题含解析

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共分，考试时间分钟85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】AB的概念，即可得答案.【详解】由，解得，所以，由，解得，所以，所以.故选：C2.角满足，则角终边一定过第（）象限A.一B.二C.三D.四【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式以及各象限三角函数值的符号即可判断得出结论.【详解】由可得，又，可知角终边一定在第四象限.故选：D3.对数中实数a的取值范围是（）A.B.C.D.第1页/共15页

【答案】C【解析】【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可．【详解】由题.故选：C.4.函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的单调性，确定若函数在区间上单调递增等价于，再根据必要不充分条件的定义，逐项判断即可求解.【详解】二次函数的对称轴为，函数在区间上单调递增，所以，解得，选项为函数在区间上单调递增一个必要不充分条件，则是选项的真子集，所以符合题意.故选：C5.已知函数恒成立，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意得，是函数的最大值，由正弦函数的图像与性质求解即可.【详解】由题意得，是函数的最大值，第2页/共15页

,得，，又．故选：A6.已知函数，若恒成立，则的最小值为（）A.B.0C.D.2【答案】D【解析】【分析】将函数分拆为两函数之积，根据它们的单调性可得两函数零点重合，则有，再利用基本不等式可得答案.【详解】将函数分拆为两函数之积，都是递增函数，要使得不等式恒成立，则两因式必须保持同号或为0，即可得两函数零点重合，则有，即，当时等号成立，所以的最小值为2.故选：D.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是将函数分拆为两函数之积，根据它们的单调性可得两函数零点重合.7.已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第3页/共15页

【分析】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式.【详解】由可得，设函数，，则在上单调递增，又因为为定义在上的奇函数，为偶函数，在上单调递减，而不等式，又因为，所以，所以不等式的解集为.故选：B8.若，则的最小值为（，.）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知等式变形得出，结合基本不等式可得出的最小值.【详解】因为，则，即，可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：C.第4页/共15页

二．多选题：本题共3个小题，每小题6分，共分，在每小题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，不分选对得部分分，有选错的得0分.9.给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A.成立的条件是角是锐角B.与的终边相同C.的解集是D.若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角【答案】BD【解析】【分析】根据诱导公式，特殊角的三角函数值，终边相同的角、象限角的定义，逐项计算判断即可.【详解】对于A，根据诱导公式，时，，故A错误；对于B，，所以与的终边相同，故B正确；对于C，由可得或，故C错误；对于D，若是第二象限角，则，所以，是第一象限或第三象限角，故D正确.故选：BD.10.已知为正实数，且，则（）A.的最大值为8B.的最小值为8C.的最小值为D.的最小值为【答案】ABD第5页/共15页

【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断.A，解得，则，当且仅当时取等号，A正确；对于B，，即，解得，当且仅当时取等号，B正确；对于C，由，得，则，当且仅当时取等号，C错误；对于D，由，得，且，因此，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：ABD已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（）A.直线是的对称轴B.在上单调递减C.D.设与图象的第i个交点为（与的图象有个交点，则【答案】ACD【解析】【分析】依据题意判断函数的奇偶性，对称性，周期性，然后依据性质逐一判断即可.第6页/共15页

【详解】由题可知：，可知函数关于对称，又，可知函数为奇函数，所以，则，即，所以4为函数的一个周期.对A，由函数关于对称，且4为函数的一个周期，故是的对称轴，正确；对B，，所以函数在的单调性与函数在单调性相同，由，，且函数为上的奇函数，所以函数在单调递增，错误；对C,，则又，所以，正确；对D，函数为上的奇函数，函数也为上的奇函数，所以可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同，且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以，正确.故选：ACD二．填空题：本小题共3分，每小题5分，共分.12.命题“，____________【答案】，【解析】【分析】根据全称命题的否定形式回答即可.，”的否定为“，”.故答案为：，.第7页/共15页

13.已知函数，若函数有5个不同零点，则实数m的取值范围为_____________【答案】或【解析】【分析】首先由方程或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解.【详解】令，所以或，如图，画出函数的大致图象，时，与的图象有3个交点，所以与的图象只能有2个交点，则或，所以或.故答案为：或14.已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的最大值与最小值之和为________.【答案】210【解析】【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照幸运数的定义求解即可.8个元素②.故集合中一定分别含有8个不同数值.当集合中元素的最小值分别是6，7，8时，最大值为29，22，15时，幸运数的和第8页/共15页

最小，此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为，则取得最小值为；当集合中元素的最小值分别是6，13，20时，最大值为29，28，27时，幸运数的和最大，此时，；运数为；幸运数为，则取得最大值为.故的最大值与最小值之和为.故答案为：210.四．解答题：本题共5小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.设集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）或（2）或【解析】1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可；（2）由题可知，列出不等式进行计算即可．小问1详解】当时，或；∵，∴或；第9页/共15页

【小问2详解】∵“”是“”的充分条件，∴，∵，即，∴或，∴或，而，要使得，需有或，∴或．16.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x的取值．【答案】（1）（2）答案见详解【解析】1）根据正弦型函数单调性的性质进行求解即可；（2）根据正弦型函数的最值性质、运用换元法进行求解即可.【小问1详解】由，所以函数的单调递增区间为；【小问2详解】令，因，所以，因函数在单调递增，在单调递减，第10页/共15页

在，，所以，因此当时，即当时，函数有最小值，当时，即当时，函数有最大值.17.大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．（1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；（2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．【答案】（1）答案见详解（2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元【解析】1）由题意可知，分别代入和运算求解即可；（2商品投入商品投入和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可.【小问1详解】因为投入10万元，即，若只经销商品，则所获得的收益为万元；若只经销商品，则所获得的收益为万元.【小问2详解】设商品投入万元，则商品投入万元，可知总收益，第11页/共15页

若，则，当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元；若，则，可知的图象开口向下，对称轴为，则，所以在上的总收益最大值小于万元；因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元.18.已知函数，.（1）求证：为奇函数；（2）解关于的不等式；（3）若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】1）根据奇偶性定义判断可得答案；（2）设，根据在上的单调性可得答案；（3对.【小问1详解】函数，即，第12页/共15页

可得，解得或，可得的定义域为，关于原点对称，又，则为奇函数.【小问2详解】不等式，即为式，设，即，可得在上单调递减，所以由，所以，解得，所以原不等式的解集为.【小问3详解】由题意，则，解得，所以恒成立，即恒成立，化为，即对恒成立由，当且仅当，即时，取得等号，所以，即的取值范围是.19.已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”．（1）判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）（2）证明：函数存在“2倍值区间”；（3）设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值．第13页/共15页

【答案】（1）是，理由见详解（2）证明见详解（3）【解析】1）取，结合题意分析说明；（2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析证明；（3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.【小问1详解】取，∵在上单调递增，∴在上的最小值为，最大值为，且，故函数是“倍缩函数”.【小问2详解】取，∵函数在上单调递增，若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立，等价于至少有两个不相等的实根，等价于至少有两个零点，∵，且在定义内连续不断，∴在区间内均存在零点，故函数存在“2倍值区间”.【小问3