安徽省合肥市2025-2026学年高三数学上学期第三次绿色评价试题含解析

考试时间：120分钟试卷分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由对数函数的性质求出集合B，再结合交集的概念求解可得答案.【详解】由题意得，又因为，所以，所以，故选：C.2.若复数满足，则（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.【详解】由题意可知，复数满足，则可转化为，所以.故选：A.3.已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.【详解】在中，取为基底，因为点分别为的中点，，所以，所以.故选：A.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】采用“排除法”求解.先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值符号进行排除.【详解】因为函数的定义域为，且.所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故AD错误；又，而，即，所以，所以，故C错误.B符合函数的性质.故选：B5.球是棱长为1的正方体的外接球，则球的内接正四面体体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将内接正四面体补形为正方体求解.【详解】因为正四面体可以补形为正方体，可知右图中正四面体和正方体有同一外接球，正方体棱长为1，则体积为1，可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的四面体体积，即.故选:C.6.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先根据等差数列和等比数列的通项公式分别求出和的值，再代入式子求解即可.【详解】设等差数列的公差为，由，得，即，即，则，设等比数列的公比为，由，得，即，则，即，所以.故选：C.7.函数，若，则实数a的取值范围是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】原不等式变形为，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】当时，，因为在上单调递增，此时单调递增，当时，易知单调递增，且当时，，则在上单调递增，因为，则，所以由得，所以，解得.故选：A.8.若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将原不等式转化为对一切恒成立，设，则后者可转化为恒成立即为函数极大值，故可求参数的范围或取值，故可得正确的选项，或者将原不等式转化为，根据左右两侧对应的函数的图象位置关系可求参数的范围.【详解】法一：不等式对一切恒成立即为不等式对一切恒成立，今，则有；故不等式对一切恒成立等价于恒成立，所以为的最大值点.显然，，否则时，，与题设矛盾.又，此时若，存在区间，是否且，总有，这与为的最大值点矛盾，故不成立，同理也不成立，故，则，当时，当时，，当时，，故在上递增，上递减，符合题意；当时，当时，，当时，，故在上递减，上递增，上递减，而当时，，故即，故恒成立，故符合题意.综上，，因此.法二：不等式可化为，令，当时，，此时，直线恒过点，故只需直线为在点处的切线即可，，此时.当时，亦恒过点，为使对一切恒成立，需开口向下，且在点处与有公切线即可，故，此时综上，的取值范围是.故选：A.【点睛】思路点睛：多变量不等式恒成立问题，可将原不等式作适当变形，从而将恒成立问题转化为图象的位置关系，或者根据不等式的特征将不等式恒成立问题转化为函数的极值问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分9.若直线不平行于平面，且，则下列结论错误的是（）A.内的所有直线与是异面直线B.内不存在与平行的直线C.内存在唯一一条直线与平行D.内的所有直线与都相交【答案】ACD【解析】【分析】依题意可知与平面相交，再判断直线与平面内的直线的位置关系即可.【详解】因为直线不平行于平面，且，则与平面相交，设交点为，则平面内所有过点的直线与直线相交，即共面，平面内所有不过点的直线与直线异面，故A错误，D错误；显然内不存在与平行的直线，故B正确，C错误.故选：ACD10.已知复数，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则的最小值为3D.若且，则，均为纯虚数【答案】AC【解析】【分析】根据复数的乘法运算可判断A的真假；通过反例可说明B是错误的；根据复数模的求法可判断C的真假；通过反例说明D是错误的.【详解】对于A，由得，又，，所以，A正确；对于B，当，时，满足，但，B错误；对于C，由，，得，C正确；对于D，当，时，满足，但，均不为纯虚数，D错误．故选：AC11.已知函数，（）A.函数为单调减函数B.函数的对称中心为C.若对，恒成立，则D.函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为20【答案】BCD【解析】【分析】去绝对值分类讨论可得函数解析式，易知在以及上是分别单调递减的，即A错误，易知满足，可知B正确，再利用函数单调性以及不等式恒成立计算可得C正确，画出两函数在同一坐标系下的图象根据周期性计算可得D正确.【详解】对于A，易知当时，，时，因此可得在以及上分别单调递减函数，即A错误；对于B，易知函数满足，因此可得关于对称，即B正确；对于C，由，即，即在时恒成立，易知在上恒成立，所以可得，解得，即C正确；对于D,画出函数以及的图象如下图所示：易知也关于对称，的周期为4，一个周期与有两个交点，5个周期有10个交点，与在共20个交点，即，故D正确，故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数以及都关于成中心对称，再由函数周期性计算可得结果.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，则向量与的夹角大小为______.【答案】【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算和向量模的坐标运算，求出向量夹角的余弦值，可得夹角的大小.【详解】向量，则.因为向量夹角范围为,所以向量与的夹角大小为.故答案为：.13.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用恒等变换公式以及商数关系进行化简并计算.【详解】因为，而，所以，，故答案为：.14.设，对任意实数x，用表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.【详解】设，，由可得.要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或.①当时，，作出函数、的图象如下图所示：此时函数只有两个零点，不合乎题意；②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知向量与的夹角为，且，，若，.（1）当时，求实数的值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，结合向量数量积定义及运算律即可求解；（2）由，平方得到，通过配方法即可求解.【小问1详解】因为，所以，即，所以，因为向量与的夹角为，且，，所以，所以，所以.【小问2详解】因为，所以，由（1）知，且，，所以，则，故当时，最小为.16.已知函数，的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标缩短到原来的，再向右平移，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先化简，再利用相邻对称轴与对称中心的距离求出周期，再求出参数，然后利用复合函数同增异减方式求出单调递增区间即可；（2）先根据题意求出，然后求其值域即可.【小问1详解】因为，又由题，所以，所以，令，，则，，所以函数的单调递增区间为，．【小问2详解】由（1），故由题意可得，∵，∴，故，所以，即．17.在中，角的对边分别为，且（1）求角；（2）已知，角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角得到，再结合辅助角公式即可求解；（2）由，得到，再由正弦定理得到，，代入结合辅助角公式得到，令，由，求解即可.【小问1详解】，，，又，，所以，即，，，.【小问2详解】由于，，，..由正弦定理：，，因为，所以，则令，则，，，则，令，由解析式可知在单调递增，所以，即长度的最大值为.18.已知函数．（1）当时，求函数的最大值（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围（3）设，数列的前项和为．证明：【答案】（1）0（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数，利用导数求出函数最大值；（2）原函数有两个零点，转化为方程有2个不等实根，分离参数后构造函数，利用导数确定函数大致变化趋势，即可得出的取值范围；（3）利用（1）中函数的单调性，令可得出，即，即可得证.【小问1详解】时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，.【小问2详解】由题意，有两个不等实根，即有两个不等实根，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，且时，，，所以当时，方程有两个不等实根，即函数有两个不同零点.【小问3详解】由（1）知，时，在上单调递减，当时，，即，令，则，即，所以，令，则，所以，即【点睛】关键点点睛：证明数列不等式时，利用（1）中函数单调性，令，合理构造含有的不等式，是解题的关键，其中对分析，推理能力要求较高，属于难度较大问题.19.设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列.（i）若，求；（ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（i）；（ii）存在，和【解析】【分析】（1）利用与的关系，可求得.（2）利用错位相减法，得到，