海南省农垦实验中学2026届高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

海南省农垦实验中学2026届高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A.4 B.5C.6 D.72．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（）A.120种 B.48种C.36种 D.18种3．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（）A. B.0C. D.14．对任意实数k，直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相离 D.与k有关5．在等比数列中，若，则公比（）A. B.C.2 D.36．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（）A. B.C. D.7．如图所示，某空间几何体的三视图是3个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则该空间几何体的体积为（）A. B.C. D.8．准线方程为的抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.9．已知圆M与直线与都相切，且圆心在上，则圆M的方程为（）A. B.C. D.10．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（）A.4 B.2C.2 D.311．在平面直角坐标系中，抛物线上点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（）A. B.C.1 D.12．在单调递减的等比数列中，若，，则（）A.9 B.3C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中A点，将，，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，则四面体的外接球表面积为____________.14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，…他们研究了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）．如前四个四棱锥数为第n个四棱锥数为1+4+9+…+n2＝．中国古代也有类似的研究，如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…若一个“三角垛”共有20层，则第6层有____个球，这个“三角垛”共有______个球15．已知圆，以点为中点的弦所在的直线的方程是___________16．若函数，则_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在数列中，，是与的等差中项，（1）求证：数列是等差数列（2）令，求数列的前项的和18．（12分）已知函数在处的切线与轴平行（1）求的值；（2）判断在上零点的个数，并说明理由19．（12分）甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；（2）求甲获胜的概率20．（12分）如图长方体中，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值.21．（12分）求下列函数的导数：（1）；（2）.22．（10分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为（1）求抛物线C的标准方程；（2）若AB是过抛物线C的焦点F的弦，以弦AB为直径的圆与直线的位置关系是什么？先给出你的判断结论，再给出你的证明，并作出必要的图形

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】按照分层抽样的定义进行抽取.【详解】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2，抽20个出来，则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.故选：C.2、C【解析】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，再将另一奥运广告插入3个商业广告之间，最后对三个商业广告全排列，即可求解.【详解】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有种，另一奥运广告插入3个商业广告之间，有种；再考虑3个商业广告的顺序，有种，故共有种.故选：C.3、A【解析】求出导函数，计算得切线斜率，由斜率求得倾斜角【详解】，设倾斜角为，则，，故选：A4、A【解析】判断直线恒过定点，可知定点在圆内，即可判断直线与圆的位置关系.【详解】由可知，即该圆的圆心坐标为，半径为,由可知，则该直线恒过定点，将点代入圆的方程可得，则点在圆内，则直线与圆的位置关系为相交.故选：.5、C【解析】由题得，化简即得解.【详解】因为，所以，所以，解得.故选：C6、A【解析】利用向量的加法法则直接求解.【详解】在四面体中，，分别是，的中点，故选：A7、A【解析】在该空间几何体的直观图中去求其体积即可.【详解】依托棱长为2的正方体得到该空间几何体的直观图为三棱锥则故选：A8、D【解析】的准线方程为.【详解】的准线方程为.故选：D.9、A【解析】由题可设，结合条件可得，即求.【详解】∵圆心在上，∴可设圆心，又圆M与直线与都相切，∴，解得，∴，即圆的半径为1，圆M的方程为.故选：A.10、A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由定义可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设在第一象限，根据椭圆和双曲线定义，得，，，由可得，又，在中，，即，化简得，两边同除以，得.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查共焦点的椭圆与双曲线的离心率问题，解题的关键是利用定义以及焦点三角形的关系列出齐次方程式进行求解.11、D【解析】根据给定条件求出抛物线C的焦点、准线，再利用抛物线的定义求出a值计算作答.【详解】抛物线的焦点，准线，依题意，由抛物线定义得，解得，所以抛物线焦点到准线的距离为.故选：D12、A【解析】利用等比数列的通项公式可得，结合条件即求.【详解】设等比数列的公比为，则由，，得，解得或，又单调递减，故，.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意在四面体中两两垂直，将该四面体补成长方体,则长方体与四面体的外接球相同，从而可求解.【详解】将直角，，，分别沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三点重合于点P，所以在四面体中两两垂直，将该四面体补成长方体,如图.则长方体与四面体的外接球相同.长方体的外接球在其对角线的中点处.由题意可得，则长方体的外接球的半径为所以四面体的外接球表面积为故答案为：14、①.21②.1540【解析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到＝，由此可求的值，以及前20层的总球数【详解】由题意可知，，故＝＝，所＝＝21，所以S20＝a1+a2+a3+a4+⋯⋯+a20＝（12+22+32+⋯⋯+202）+（1+2+3+⋯⋯+20）＝×+×＝1540故答案为：21；154015、【解析】设，利用以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于AC的直线求得直线斜率，由点斜式可求得直线方程【详解】圆的方程可化为，可知圆心为设，则以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于的直线．又知，所以，所以直线的方程为，即故答案为：【点睛】本题考查圆的几何性质，考查直线方程求解，是基础题16、1【解析】先对函数求导，然后令可求出的值【详解】因为，所以，则，解得故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）求得，利用等差数列的定义可证得结论成立；（2）求出，可计算得出，利用并项求和法可求得数列的前项的和.小问1详解】解：由题意知是与的等差中项，可得，可得，则，可得，所以，，又由，可得，所以数列是首项和公差均为的等差数列.【小问2详解】解：由（1）可得：，，对任意的，，因此，.18、（1）0（2）f（x）在（0，π）上有且只有一个零点，理由见解析【解析】（1）利用导数的几何意义求解；（2）由，可得，令，，，，利用导数法求解.【小问1详解】解：，所以k=f′（0）=-a=0，所以a=0；【小问2详解】由，可得，令，，所以，①当时，sinx＋cosx≥1，ex＞1，所以g′（x）＞0，所以g（x）在上单调递增，又因为g（0）=0，所以g（x）在上无零点；②当时，令，所以h′（x）=2cosxex＜0，即h（x）在上单调递减，又因为，h（π）=-eπ-1＜0，所以存在，，所以g（x）在上单调递增，在上单调递减，因为，g（π）=-π＜0，所以g（x）在上且只有一个零点；综上所述：f（x）在（0，π）上有且只有一个零点19、（1）（2）【解析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”，记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式，即得解（2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式，即得解【小问1详解】设事件“甲在第次投篮投中”，其中设事件“乙在第次投篮投中”，其中则，，其中记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，，事件与事件相互独立根据事件独立性定义得：甲乙各投球一次，比赛结束的概率为【小问2详解】记“甲获胜”为事件，事件、事件、事件彼此互斥根据概率加法公式和事件独立性定义得：甲获胜的概率为20、（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）作辅助线，由中位线定理证明，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）连接，由勾股定理证明，，再结合线面垂直的判定定理证明即可；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【详解】（1）连接交与点，连接四边形为正方形，点为的中点又点为的中点，平面，平面平面（2）连接由勾股定理可知，，则同理可证，平面平面（3）建立如下图所示的空间直角坐标系显然平面的法向量即为平面的法向量，不妨设为由（2）可知平面，即平面的法向量为又二面角是钝角二面角的余弦值为【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用中位线定理找到线线平行，再由定义证明线面平行；在第二问中，关键是利用勾股定理证明线线垂直，从而得出线面垂直；在第三问中，关键是建立坐标系，利用向量法求面面角的余弦值.21、（1）；（2）.【解析】（1）根据导数的加法运算法则，结合常见函数的导数进行求解即可；（2）根据导数的加法和乘法的运算法则，结合常见函数的导数进行求解即可.【小问1详解】；【小问2详解】.22、（1）；（2）相切，证明过程、图形见解析.【解析】（1）根据抛物线的准线方程，结合抛物线标准方程进行求解即可；（2）设出直线AB的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合圆的性质进行求解即可.【小问1详解】因为抛物线C的顶点在坐标