辽宁省大连金州高级中学2026届高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析

辽宁省大连金州高级中学2026届高二数学第一学期期末调研模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（）A.或 B.或C.或 D.或2．若实数，满足约束条件，则的最小值为（）A.-3 B.-2C. D.13．某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车．在C，D不相邻的情况下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（）A. B.C. D.4．已知数列满足，且，为其前n项的和，则（）A. B.C. D.5．设是等比数列，且，，则（）A.12 B.24C.30 D.326．在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A.6 B.12C.56 D.787．“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8．已知向量，，且，则实数等于（）A.1 B.2C. D.9．设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）A. B.C. D.10．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶距离水面6米，水面宽米，若水面下降6米，则水面宽()A.米 B.米C.米 D.米11．某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（）A. B.C. D.12．若复数，则（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点P是抛物线上一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为______________14．已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是________15．如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线，所成的角为___________.16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：其中，所有正确结论的序号是____________①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线（如图所示）.选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为，其中，是常数.（1）当时，判断并证明的奇偶性；（2）当时，若最小值为，求的最小值.18．（12分）已知数列{an}满足*（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn19．（12分）如图,是平行四边形，已知，,平面平面.（1）证明：；（2）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值20．（12分）已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C.（1）求曲线C的焦点在轴上的标准方程；（2）过曲线C的右焦点（左焦点为）的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，记的面积为S，试求S的取值范围.21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为（1）求点的位置；（2）求点到平面的距离22．（10分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）讨论的零点个数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到直线距离等于半径求解【详解】圆心为，半径为2，斜率不存在时，直线满足题意，斜率存在时，设直线方程为，即，由，得，直线方程为，即故选：D2、B【解析】先画出可行域，由，作出直线向下平移过点A时，取得最小值，然后求出点A的坐标，代入目标函数中可求得答案【详解】由题可得其可行域为如图，l：，当经过点A时，取到最小值，由，得，即，所以的最小值为故选：B3、B【解析】先求出基本事件总数，和至少有一辆与和车相邻的对立事件是和都不与和车相邻，由此能求出和至少有一辆与和车相邻的概率【详解】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着车和车，同时进来，两车，在，不相邻的条件下，基本事件总数，和至少有一辆与和车相邻的对立事件是和都不与和车相邻，和至少有一辆与和车相邻的概率：故选：B4、B【解析】根据等比数列的前n项和公式即可求解.【详解】由题可知是首项为2，公比为3的等比数列，则.故选：B.5、D【解析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题6、D【解析】由等比数列的性质直接求得.【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：由，解得：；由可得：，所以.故选：D7、B【解析】求出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】，因“”“”且“”“”，因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.8、C【解析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可得解【详解】因向量，，且，则，解得，所以实数等于.故选：C9、B【解析】先设，根据P在椭圆上得到，由，得到的范围，即为离心率的范围.【详解】由椭圆的方程可得，，设，由，则，即，由P在椭圆上可得，所以，代入可得所以，因为，所以整理可得：，消去得：所以，即所以.故选：B10、B【解析】以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，求出双曲线方程，数形结合即可求解.【详解】如图所示，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，设双曲线标准方程为：(a＞0)，则顶点，，将A点代入双曲线方程得，，当水面下降6米后，，代入双曲线方程得，，∴水面宽：米.故选：B.11、B【解析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】记另3名同学分别为a，b，c，所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种，综上，小王和小张都没有挑出的概率为故选：B.12、A【解析】根据复数的乘法运算即可求解.【详解】由，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由抛物线的定义得：，所以，当三点共线时，最小可得答案.【详解】如图所示：，由抛物线的定义得：，所以，由图象知：当三点共线时，最小，.故答案为：.14、【解析】根据函数在上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值.【详解】解：因为函数在上是增函数，所以在区间上是增函数且在区间上也是增函数，对于函数在上是增函数，则；①对于函数，（1）当时，，外函数为定义域内的减函数，内函数在上是增函数，根据复合函数“同增异减”可得时函数在区间上是减函数，不符合题意，故舍去，（2）当时，外函数为定义域内的增函数，要使函数在区间上是增函数，则内函数在上也是增函数，且对数函数真数大于0，即在上也要恒成立，所以，又，所以，②又在上是增函数则在衔接点处函数值应满足：，化简得，③由①②③得，，所以实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用单调性求参数方法如下：（1）依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；（2）需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；（3）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值15、##30°【解析】过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，进而（或其补角）是所求角，算出答案即可.【详解】过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，设所求角为，于是.设原正方形ABCD边长为2，取AC的中点O，连接DO,BO，则且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，则.易得，，，而则于是，,.在中，，取DE的中点F，则，所以，即，于是.故答案为：.16、①②【解析】根据题意，先判断曲线关于轴对称，由基本不等式的性质对方程变形，得到，可判定①正确；当时，，得到曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性，可判定②正确；由轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，可判断③不正确.【详解】根据题意，曲线，用替换曲线方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，对于①中，当时，，即为，可得，所以曲线经过点，再根据对称性可知，曲线还经过点，故曲线恰好经过6个整点，所以①正确；对于②中，由①可知，当时，，即曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性可知，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，所以②正确；对于③中，因为在轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，所以曲线所围城的“心形”区域的面积大于3，所以③不正确.故选：①②三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）偶函数（2）10【解析】(1)根据偶函数定义直接判断可知；(2)由基本不等式求得的最小值，得到a、b的关系，然后代入目标式，分离常数，然后可得.【小问1详解】当时，，定义域为R，因为所以为偶函数.【小问2详解】因为，所以，当且仅当，即时，取等号.由题知，即，因为，所以，即所以令，，则，所以，所以，当，即时，取等号.所以的最小值为10.18、（1）（2）【解析】（1）根据递推关系式可得，再由等差数列的定义以及通项公式即可求解.（2）利用错位相减法即可求解.【小问1详解】（1），即，所以数列为等差数列，公差为1，首项为1，所以，即.【小问2详解】令，所以，所以19、(1)见解析;(2).【解析】（1）推导出，取BC的中点F，连结EF，可推出，从而平面，进而，由此得到平面，从而；（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角的余弦值【详解】（1）∵是平行四边形，且∴，故，即取BC的中点F，连结EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则∴设平面的法向量为，则，即得平面一个法向量为由（1）知平面，所以可设平面的法向量为设平面与平面所成二面角的平面角为，则即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论20、（1）；（2）﹒【解析】(1)根据题意，作出图像，可得，由此可知M的轨迹C为以O、A为焦点的椭圆；(2)分为l斜率存在和不存在时讨论，斜率存在时，直线方程和椭圆方程联立，用韦达定理表示的面积，根据变量范围可求面积的最大值﹒【小问1详解】以OA中点G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图：∴可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，则MN垂直平分，∴，又∵，∴，∴M的轨迹是以O，A为焦点，4为长轴的椭圆．∴M的轨迹方程C为；【小问2详解】设，，则的周长为当轴时，l的方程为，，，当l与x轴不垂直时，设，由得，∵＞0，∴，，，令，则，，∵，∴，∴.综上可知，S的取值范围是21、（1）为棱中点（2）【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，结合求出的值，即可得出点的位置；（2）利用空间向量法可求得点到平面的距离【小问1详解】解：因为平面，底面为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，设，其中，则，设平面的法向量为，，，由，取，可得，由题意可得，整理可得，因为，解得，因此，点为棱的中点.【小问2详解】解：由（1）知为棱中点，即，则，又，设平面的法向量为，由，取，可得，因为，所以，点到平面的距离为.22、（1）单调递增区间是和，单