山东菏泽一中2026届高二数学第一学期期末质量检测试题含解析

山东菏泽一中2026届高二数学第一学期期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是（）A.极差 B.方差C.平均数 D.中位数2．如下图，面与面所成二面角的大小为，且A，B为其棱上两点．直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面中，且都垂直于AB，已知，，，则（）A. B.C. D.3．如下图，边长为2的正方体中，O是正方体的中心，M，N，T分别是棱BC，，的中点，下列说法错误的是（）A. B.C. D.到平面MON的距离为14．双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.5．若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（）A.5 B.C.3 D.3或6．渐近线方程为的双曲线的离心率是（）A.1 B.C. D.27．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的m的值是（）A.-1 B.0C.0.1 D.18．在棱长为4的正方体中，为的中点，点P在正方体各棱及表面上运动且满足，则点P轨迹围成的图形的面积为（）A. B.C. D.9．椭圆的左右两焦点分别为，，过垂直于x轴的直线交C于A，B两点，，则椭圆C的离心率是（）A. B.C. D.10．已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件11．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，.则使得的值为（）A. B.C. D.12．直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（）A. B.2C.2 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆被轴截得的弦长为4，被轴分成两部分的弧长之比为1∶2，则圆心的轨迹方程为______，若点，，则周长的最小值为______14．的展开式中所有项的系数和为_________15．已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.16．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形ABCD是等腰梯形，，，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥外接球的表面积是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知正项等比数列的前项和为，满足，.记.（1）求数列的通项公式；（2）设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值.18．（12分）已知圆，圆.（1）试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且短轴长为2.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.20．（12分）设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W（1）求曲线W的方程；（2）直线与曲线W交于A、B两点，其中O为坐标原点，已知点T的坐标为，记直线TA，TB的斜率分别为，，则是否为定值，若是求出，不是说明理由21．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角正弦值.22．（10分）已知圆C的圆心在y轴上，且过点，（1）求圆C的方程；（2）已知圆C上存在点M，使得三角形MAB的面积为，求点M的坐标

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据茎叶图中数据的波动情况，可直接判断方差不同；根据茎叶图中的数据，分别计算极差、中位数、平均数，即可得出结果.【详解】由茎叶图可得：甲的数据更集中，乙的数据较分散，所以甲与乙的方差不同；甲的极差为；乙的极差为，所以甲与乙的极差不同；甲的中位数为，乙的中位数为，所以中位数不同；甲的平均数为，乙的平均数为，所以甲、乙的平均数相同；故选：C.2、B【解析】根据题意，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，进一步判断出该四边形为矩形，然后确定出为二面角的平面角，进而通过余弦定理和勾股定理求得答案.【详解】如图，作，且，则四边形ABDE为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以是该二面角的一个平面角，即，由余弦定理.因为，，所以，易得四边形ABDE为矩形，则，而，所以平面ACE，则，于是.故选：B.3、D【解析】建立空间直角坐标系，进而根据空间向量的坐标运算判断A,B,C；对D，算出平面MON的法向量，进而求出向量在该法向量方向上投影的绝对值，即为所求距离.【详解】如图建立空间直角坐标系，则.对A，，则，则A正确；对B，，则，则B正确；对C，，则C正确；对D，设平面MON的法向量为，则，取z=1，得，，所以到平面MON的距离为,则D错误.故选：D.4、A【解析】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A.5、C【解析】根据等比数列的定义，利用等比数列的通项公式求解【详解】解：设该等比数列公比为q，∵数列1，a，b，c，9是等比数列，∴，，∴，故，解得，∴故选：C6、B【解析】根据双曲线渐近线方程可确定a,b的关系，进而求得离心率.【详解】因为双曲线近线方程为，故双曲线为等轴双曲线，则a=b,故离心率为，则，故选：B.7、B【解析】计算后，根据判断框直接判断即可得解.【详解】输入，计算，判断为否，计算，输出.故选：B.8、A【解析】构造辅助线，找到点P轨迹围成的图形为长方形，从而求出面积.【详解】取的中点E，的中点F，连接BE，EF，AF，则由于为的中点，可得，所以∠CBE=∠ECN，从而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因为BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以点P轨迹围成的图形为矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面积为.故选：A9、C【解析】由题可得为等边三角形，可得，即得.【详解】∵过垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，∴为等边三角形，由代入，可得，∴，所以，即，又，解得.故选：C.10、B【解析】求得中的取值范围，由此确定充分、必要条件.【详解】，，所以“”是“”的充要条件.故选：B11、B【解析】由，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.【详解】数列的前项和满足，当时，；当时，，当时，适合上式，所以，则，所以.故选：B.12、B【解析】如图,圆(x＋1)2＋y2＝3的圆心为M(−1,0)，圆半径|AM|=，圆心M(−1,0)到直线x+y−1=0的距离：|，∴直线x+y−1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长：.故选B.点睛:本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法：1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大.2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】设，圆半径为，进而根据题意得，，进而得其轨迹方程为双曲线，再根据双曲线的定义，将周长转化为求的最小值，进而求解.【详解】解：如图1，因为圆被轴截得的弦长为4，被轴分成两部分的弧长之比为1∶2，所以，，所以中点，则，，所以，故设，圆半径为，则，，，所以，即所以圆心的轨迹方程为，表示双曲线，焦点为，，如图2，连接，由双曲线的定义得，即，所以周长为，因为，所以周长的最小值为故答案为：；.14、##0.015625【解析】赋值法求解二项式展开式中所有项的系数和.【详解】令得：，即为展开式中所有项的系数和.故答案为：15、【解析】求出坐标，根据给条件表示出坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.【详解】因，，则，因与同向，则设，因此，，于是得，解得，则，所以向量的坐标为.故答案为：16、##【解析】根据球的截面圆圆心与球心的连线垂直截面可确定垂直平面ABCD，构造直角三角形求解球的半径即可得解.【详解】如图，分别取BC，AD的中点，E，连接PE，，，.因为是边长为4的等边三角形，所以.因为四边形ABCD是等腰梯形，，，，所以，.因为四棱锥的体积为24，所以，所以.因为E是AD的中点，所以.因为，所以平面ABCD.因为，所以四边形ABCD外接圆的圆心为，半径.设四棱锥外接球的球心为O，连接，OP，OB，过点О作，垂足为F.易证四边形是矩形，则，.设四棱锥外接球的半径为R，则，即，解得，故四棱锥外接球的表面积是.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），.（2）5.【解析】(1)根据数列的递推公式探求出其项间关系，由此求出的公比，进而求得，的通项公式.(2)利用(1)的结论结合错位相减法求出，再将不等式变形，经推理计算得解.【小问1详解】解：设正项等比数列的公比为，当时，，即，则有，即，而，解得，又，则，所以，所以数列，的通项公式分别为：，.【小问2详解】解：由(1)知，，则，则，两式相减得：于是得，由得：，即，令，，显然，，，，，，由，解得，即数列在时是递增的，于是得当时，即，，则，所以不等式成立的n的最小值是5.18、（1）圆C与圆M相交，理由见解析（2）或【解析】（1）利用圆心距与半径的关系即可判断结果；（2）讨论，当直线l的斜率不存在时则方程为，当直线l的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得出结果.【小问1详解】把圆M的方程化成标准方程，得，圆心为，半径.圆C的圆心为，半径，因为，所以圆C与圆M相交，【小问2详解】①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为到圆心C距离为2，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设其方程为，由题意得，解得，故直线l的方程为.综上，直线l的方程为或.19、（1）（2）存在，【解析】（1）根据离心率及短轴长，利用椭圆中的关系可以求出椭圆方程；（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合已知和斜率公式，可以求出直线的方程.【小问1详解】，，，，椭圆的标准方程为.【小问2详解】由已知可得，，，∴，∵，设直线的方程为：，代入椭圆方程整理得，设，，则，，∵，∴.即，因为，，即..所以，或.又时，直线过点，不合要求，所以.故存在直线：满足题设条件.20、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根据给定条件结合抛物线定义直接求解作答.(2)联立直线与抛物线方程，借助韦达定理、斜率坐标公式计算作答.【小问1详解】过点P作直线的垂线，垂足为点N，依题意，，则动点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线W的方程是.【小问2详解】设，，由消去x并整理得：，则，，因，，则，，因此，所以.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果【详解】（1）因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且由知由知平面（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系由已知得取平面的法向量设，则设平面的法向量为由得，可取所以．由已知得所以．解得(舍去)，所以又，所以所以与平面所成角的正弦值为【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”22、（1）；（2）或.【解析】（1）两点式求A