陕西省渭南市临渭区2025-2026学年度高二第一学期期末教学质量检测数学试题（有解析）

2025~2026学年度第一学期期末教学质量调研高二数学试题注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量，且，则（）A B. C. D.2.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.3.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.4.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A.120 B.60 C.30 D.205.若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（）A.-1 B.2 C.-l或2 D.-2或l6.直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.7.若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（）A B. C. D.8.已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，直线，则（）A.直线可以与轴平行 B.直线可以与轴平行C.当时， D.当时，10.设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A. B.C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形11.已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（

）A.直线与所成角的取值范围是B.三棱锥的体积为定值C.D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.13.已知空间向量，，若向量与垂直，则______.14.已知圆上存在两点关于直线对称，则最小值是_______________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明或演算步骤.15.已知直线：，圆：.（1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；（2）若直线的倾斜角为45°，求直线被圆截得的弦长.16.为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：药物疾病总计未患病患病未服用10080s服用15070220总计250t400（1）求s，t；（2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值；（3）能否有99%的把握判断药物对预防疾病有效？附：.0.0100.0050.0016.6357.87910.82817.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，分别为的中点．（1）求证：//平面；（2）再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的平面角的余弦值．条件①：平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关研究小组能解决的概率均为0.4（假设各个阶段的每个问题均相互独立）．（1）求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率；（2）在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望；（3）第一阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元）启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5（单位：亿元）费用．记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y（单位：亿元）．求随机变量Y的期望值．19.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点.①若直线过椭圆右焦点，且的面积为，求实数的值；②若直线过定点，且，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.2025~2026学年度第一学期期末教学质量调研高二数学试题注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值.【详解】因为随机变量，且，则.故选：B.2.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，确定，根据直线方程，即可求解.【详解】因为，所以抛物线方程为，，因为抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为.故选：D3.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】的二项展开式为，令，解得，故所求即为.故选：A.4.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A120 B.60 C.30 D.20【答案】B【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.故选：B.5.若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（）A.-1 B.2 C.-l或2 D.-2或l【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论思想，结合平行直线的性质以及距离公式，可得答案.【详解】①当时，可得，，由，则此时不符合题意；②当时，可得直线的斜率，直线的斜率，由，整理可得，则，解得或，当时，可得，，整理方程可得，由两平行直线之间的距离，所以此时不符合题意；当时，可得，，整理的方程可得，由两平行直线之间的距离，所以此时符合题意.综上可得.故选：A.6.直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解.【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为．故选：B7.若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题设可得直线恒过定点，曲线表示以为圆心，1为半径的圆的右半部分，进而结合图象及直线与圆的位置关系求解即可.【详解】由直线，恒过定点，曲线，即，该曲线表示以为圆心，1为半径的圆的右半部分，如图，当直线与该半圆相切时，，且，解得；当直线过点时，有，解得，结合图象可知，要使直线与该半圆至少有一个公共点，则，即实数的取值范围是.故选：B8.已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出双曲线焦点到渐近线的距离为，再结合的面积可求的值，即可求出双曲线的离心率.【详解】如图：由题有，由双曲线性质有，，所以.所以，所以.又双曲线方程，则，，所以，则双曲线离心率.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，直线，则（）A.直线可以与轴平行 B.直线可以与轴平行C.当时， D.当时，【答案】ABD【解析】【分析】根据两直线平行和垂直时的系数关系逐个选项计算判断即可.【详解】当时，直线：，此时直线与轴平行，故A项正确；当时，直线：，此时直线与轴平行，故B项正确；若，则，解得，此时直线与重合，故C项错误；若，则，解得，故D正确.故选：ABD.10.设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．A. B.C.以MN为直径的圆与l相切 D.为等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.11.已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（

）A.直线与所成角的取值范围是B.三棱锥的体积为定值C.D.的最小值为【答案】AC【解析】【分析】由，根据在线段的位置，即可确定异面直线与所成角的范围可判断A；利用等体积法可判断B；由数量积的定义可判断C；将旋转到平面内，如图所述，旋转到，由余弦定理可判断D.【详解】对于A，由，异面直线与所成角即为与所成角，又为等边三角形，当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围，故A正确.对于B，因为，平面，平面，所以平面，所以直线上任意一点到平面的距离相等，所以点到平面的距离等于点到平面，所以，故B错误；对于C，，设，所以，当时，有最小值为；当或时，有最大值为；故，所以，所以，则，故C正确；对于D，将旋转到平面内，如图所述，旋转到，且最小值为：，故D错误.故选：AC.方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种.【答案】【解析】【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算.【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种，然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种，因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，利用插空法排列甲，排法有种，所以不同的排列方法有种.故答案为：13.已知空间向量，，若向量与垂直，则______.【答案】5【解析】【分析】先求出与的坐标，再由垂直得到，求解.【详解】因为，，所以，，又因为向量与垂直，所以，解得.故答案为：5.14.已知圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是_______________．【答案】2【解析】【分析】依题意有直线过圆心，得到，再利用重要不等式求的最小值.【详解】圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，有，即.，当且仅当，即时等号成立.∴，即，所以时，的最小值为2.故答案为：2四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明或演算步骤.15.已知直线：，圆：.（1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；（2）若直线的倾斜角为45°，求直线被圆截得的弦长.【答案】（1）证明见解析，.（2）.【解析】【分析】对于（1），将化为即可得答案；对于（2），由（1）结合题意可得l方程，求得l到圆C圆心距离，结合圆半径可得答案.【小问1详解】：，联立解得故直线恒过定点.【小问2详解】由题意直线的斜率，得，∴：圆：，圆心，半径，圆心到直线的距离所以直线被圆所截得的弦长为.16.为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：药物疾病总计未患病患病未服用10080s服用15070220总计250t400（1）求s，t；（2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值；（3）能否有99%的把握判断药物对预防疾病有效？附：.0.0100.00500016.6357.87910.828【答案】（1），（2）（3）的把握认为药物A对预防疾病B有效【解析】【分析】（1）根据列联表求和即可；（2）用频率估计概率，计算即可；（3）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可.【小问1详解】由列联表知，．【小问2详解】由列联表知，未服用药物A的动物有180只，未服用药物A且患疾病B的动物有80只，所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为，所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为．【小问3详解】零假设为：药物对预防疾病无效，由列联表得到，所以有的把握认为药物A对预防疾病B有效．17.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，分别为的中点．（1）求证：//平面；（2）再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的平面角的余弦值．条件①：平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明线面平行，再利用面面平行的判定可证结论；（2）无论选择哪个条件都能得到侧棱与底面垂直，然后利用空间向量可求答案或者找出二面角的平面角，利用三角形知识求解.【小问1详解】取的中点为，连接，∵三棱柱，∴四边形为平行四边形，∵，∴．又平面平面，∴平面．∵分别为中点，∴．又平面平面，∴平面．∵平面，∴平面平面．又平面，∴平面．【小问2详解】选条件①∵平面，∴．又∵侧面为正方形，∴．∵，∴平面．选条件②∵在中，，∴．∴．又∵侧面为正方形，∴．∵，∴平面．解法一：如图建立空间直角坐标系，；；设平面的法向量为，令得，即．,设平面的法向量为，，令得，即平面的法向量为．∴．即二面角的平面角的余弦值为．解法二：过点作交于点，过点作交于点，连结，∵平面，∴．∵，，，∴平面．又平面，∴．∵，∴平面．∴．∴即为所求角．在直角三角形中，，∴，；在正方形中，，∴；在中，由等面积可得，∴，∴．即二面角的平面角的余弦值为．18.中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关研究小组能解决的概率均为0.4（假设各个阶段的每个问题均相互独立）．（1）求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率；（2）在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望；（3）第一阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元）启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5（单位：亿元）费用．记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y（单位：亿元）．求随机变量Y的期望值．【答案】（1）0.5（2）分布列见解析，1.2（3）4【解析】【分析】（1）根据