福州市八县协作校2026届高二上数学期末联考模拟试题含解析

福州市八县协作校2026届高二上数学期末联考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”，如图，一位古人在从右到左（即从低位到高位）依次排列的红绳子上打结，满六进一，用6来记录每年进的钱数，由图可得，这位古人一年收入的钱数用十进制表示为（）A.180 B.179C.178 D.1772．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则（）A. B.C. D.3．已知函数，则下列判断正确的是（）A.直线与曲线相切B.函数只有极大值，无极小值C.若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数D.若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数4．在四棱锥中，分别为的中点，则（）A. B.C. D.5．下列说法正确的个数有（）个①在中，若，则②是，，成等比数列的充要条件③直线是双曲线的一条渐近线④函数的导函数是，若，则是函数的极值点A.0 B.1C.2 D.36．在中，，，，若该三角形有两个解，则范围是（）A. B.C. D.7．已知向量，，若，则（）A.1 B.C. D.28．已知数列满足，则（）A.2 B.C.1 D.9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）A.C的方程为B.当A，B，P三点不共线时，面积的最大值为24C.当A，B，P三点不共线时，射线是的角平分线D.在C上存在点M，使得10．对于公差为1的等差数列，；公比为2的等比数列，，则下列说法不正确的是（）A.B.C.数列为等差数列D.数列的前项和为11．已知点是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一动点，过点作轴垂线并延长交双曲线左支于点，当点向上移动时，的值（）A.增大 B.减小C.不变 D.无法确定12．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于（）A. B.C.2 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在正方体中，则直线与平面所成角的正弦值为__________14．已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，为双曲线上一点，且，线段的垂直平分线恰好经过点，则双曲线的离心率为_______15．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入对方口袋，共进行了2次这样的操作后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为__________________.16．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则an＝_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知O为坐标原点，点，设动点W到直线的距离为d，且，.（1）记动点W的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，直线与曲线C交于，两点，直线l与的交点为P（P不在曲线C上），且，设直线l，的斜率分别为k，.求证：为定值.18．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线与椭圆C交于A，B两点，试探究直线上是否存在定点Q，使得为定值．若存在，求出定点Q的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由19．（12分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程20．（12分）已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0（1）m取何值时两圆外切？（2）m取何值时两圆内切？（3）当m=45时，求两圆公共弦所在直线的方程和公共弦的长21．（12分）（1）叙述正弦定理；（2）在△中，应用正弦定理判断“”是“”成立的什么条件，并加以证明.22．（10分）已知等差数列公差不为0，且成等比数列.（1）求数列的通项公式及其前n项和；（2）记，求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为、、，然后把它们相加即可.【详解】（个）.所以古人一年收入的钱数用十进制表示为个.故选：D.2、A【解析】根据黄金双曲线的定义直接列方程求解【详解】双曲线中的，所以离心率，因为双曲线是黄金双曲线，所以，两边平方得，解得或（舍去），故选：A3、C【解析】求出函数的导函数，通过在某点处的导数为该点处切线的斜率，求出切线方程，并且判断出极值，通过结合与互为相反数，若与互为倒数，分别判断的极值与的极值是否互为相反数，以及是否互为倒数.【详解】，，令，得，所以，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，故A错；当时，存在使，且当时，；当时，，即有极小值，无极大值，故B错误；设为的极值点，则，且，所以，，当时，；当时，，故C正确，D错误.4、A【解析】结合空间几何体以及空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为分别为的中点，则,,,故选：A.5、B【解析】根据三角函数、等比数列、双曲线和导数知识逐项分析即可求解.【详解】①在中，则有，因，所以，又余弦函数在上单调递减，所以，故①正确，②当且时，此时，但是，，不成等比数列，故②错误，③由双曲线可得双曲线的渐近线为，故③错误，④“”是“是函数的极值点”的必要不充分条件，故④错误.故选：B.6、D【解析】根据三角形解得个数可直接构造不等式求得结果.【详解】三角形有两个解，，即.故选：D.7、B【解析】由向量平行，先求出的值，再由模长公式求解模长.【详解】由，则，即则，所以则故选：B8、D【解析】首先得到数列的周期，再计算的值.【详解】由条件，可知，两式相加可得，即，所以数列是以周期为的周期数列，.故选：D9、C【解析】根据题意可求出C的方程为，即可根据题意判断各选项的真假【详解】对A，由可得，化简得，即，A错误；对B，当A，B，P三点不共线时，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，B错误；对C，当A，B，P三点不共线时，因为，所以射线是的角平分线，C正确；对D，设，由可得点的轨迹方程为，而圆与圆的圆心距为，两圆内含，所以这样的点不存在，D错误故选：C10、B【解析】由等差数列的通项公式判定选项A正确；利用等比数列的通项公式求出，即判定选项B错误；利用对数的运算和等差数列的定义判定选项C正确；利用错位相减法求和，即判定选项D正确.【详解】对于A:由条件可得，，即选项A正确；对于B：由条件可得，，即选项B错误；对于C：因为，所以，则，即数列是首项和公差均为的等差数列，即选项C正确；对于D：，设数列的前项和为，则，，上面两式相减可得，所以，即选项D正确.故选：B.11、C【解析】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，结合双曲线的定义即可得出结果.【详解】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，则，为常数，故选：C.12、A【解析】由双曲线的渐近线方程，可得，再由的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【详解】解：双曲线的渐近线方程为，由题意可得即，可得由可得，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，所以，，，，因此，，，设平面的法向量为：，所以有：，令，所以，因此，设与的夹角为，直线与平面所成角为，所以有，故答案为：14、【解析】在中求出，再在中求出，即可得到的齐次式，化简即可求出离心率【详解】设双曲线：，，不妨设为双曲线右支上一点因为线段的垂直平分线恰好经过点，且，所以，在中，，所以，，在中，，所以，，因此，，化简得，，即，而，解得故答案为：15、【解析】分两类：两次都互相交换白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求和可得答案.【详解】分两类：①两次都互相交换白球的概率为；②第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率为.故答案为：.16、2n【解析】根据数列的通项与前n项和的关系求解即可.【详解】由题,当时,,当时.当时也满足.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据数列的通项与前n项和的关系求通项公式的方法,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设点，由即所以化简即可得到答案.（2）设，，设直线l的方程为：与（1）中W的轨迹方程联立，得出韦达定理，求出，同理设直线的方程为：，得出，再根据从而可证明结论.【小问1详解】设点，因为，所以，因为，所以所以所以所以所以C的方程为：【小问2详解】设，，设直线l的方程为：，则由得：所以，，所以所以设直线的方程为：，则同理可得因所以即，即，即解得，即所以为定值.18、（1）（2）存在，定点的坐标为，实数的值为【解析】（1）由题意可得，再结合，可求出，从而可求得椭圆方程，（2）设在直线上存在定点，当直线斜率存在时，设过点P的动直线l为，设，，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数，再计算为常数可求出，从而可求得，当直线斜率不存在时，可求出两点的坐标，从而可求得的值【小问1详解】由题意知结合，可得，所以椭圆C的标准方程为，【小问2详解】设在直线上存在定点，使为定值，①当直线斜率存在时，设过点P的动直线l为，设，·由得，则，，所以为常数则，解之得，即定点为，则②当直线斜率不存在时，即动直线方程为，不妨设，，此时也成立所以，存在定点使为定值，即19、（1）（2）【解析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程.（2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程.【小问1详解】.直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.【小问2详解】设圆的标准方程为，则，所以圆的标准方程为.20、（1）（2）（3）直线方程为4x+3y-23=0，弦长为【解析】（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值；（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，求得m的值．（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长试题解析：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，两圆的圆心距d==5，两圆的半径之和为+，由两圆的半径之和为+=5，可得m=（2）由两圆的圆心距d=="5"等于两圆的半径之差为|-|，即|-|=5，可得-="5"（舍去），或-=-5，解得m=（3）当m=45时，两圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x+3y-23=0第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为d==2，可得弦长为考点：1．两圆相切的位置关系；2．两圆相交的公共弦问题21、（1