2026届重庆市西北狼联盟高二上数学期末质量检测试题含解析

2026届重庆市西北狼联盟高二上数学期末质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过抛物线的焦点引斜率为1的直线，交抛物线于，两点，则（）A.4 B.6C.8 D.102．在中，，，，则此三角形（）A.无解 B.一解C.两解 D.解的个数不确定3．已知向量，且，则的值为（）A.4 B.2C.3 D.14．已知函数的导函数满足，则（）A. B.C.3 D.45．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（）A. B.C. D.6．已知函数的导数为，且满足，则（）A. B.C. D.7．如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.8．一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线9．下列求导不正确的是（）A B.C. D.10．已知数列，，则下列说法正确的是（）A.此数列没有最大项 B.此数列的最大项是C.此数列没有最小项 D.此数列的最小项是11．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（）A.14 B.9C.4 D.212．过抛物线C：y2=4x的焦点F分别作斜率为k1、k2的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，若|k1·k2|=2，则|AB|+|DE|的最小值为（）A.10 B.12C.14 D.16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为____.14．如图，已知椭圆E的方程为(a>b>0)，A为椭圆的左顶点，B，C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆的离心率等于________15．不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，…，8的八张卡片．从中随机取出3张．设X为这3张卡片的标号相邻的组数（例如：若取出卡片的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3、4和4、5，此时X的值是2）．则随机变量X的数学期望______16．已知为抛物线：的焦点，为抛物线上在第一象限的点.若为的中点，为抛物线的顶点，则直线斜率的最大值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的上下两个焦点分别为，，过点与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△的面积为，椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数，使得，求m的取值范围18．（12分）已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.（1）求该抛物线的方程；（2）若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求的面积.19．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求函数在内的零点个数.20．（12分）有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害．现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：ppm），数据统计如下：0.070.240.390.540.610.660.730.820.820.820.870.910.950.980.981.021.021.081.141.201.201.261.291.311.371.401.441.581.621.68（1）求上述数据的众数，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；（2）有A，B两个水池，两水池之间有8个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼①将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；②将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小孔进入B水池的概率21．（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线上点都在轴及其右侧，且曲线上的任一点到轴的距离比它到圆的圆心的距离小1（1）求曲线的方程；（2）已知过点的直线交曲线于点，若,求面积22．（10分）已知函数.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数在上的单调性.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由题意可得，的方程为，设、，联立直线与抛物线方程可求，利用抛物线的定义计算即可求解.【详解】由上可得：焦点，直线的方程为，设，，由，可得，则有，由抛物线的定义可得：，故选：C.2、C【解析】利用正弦定理求出的值，再根据所求值及a与b的大小关系即可判断作答.【详解】在中，，，，由正弦定理得，而为锐角，且，则或，所以有两解故选：C3、A【解析】由题意可得，利用空间向量数量积的坐标表示列方程，解方程即可求解.【详解】因为，所以，因为向量，，所以，解得，所以的值为，故选：A.4、C【解析】先对函数求导，再由，可求出的关系式，然后求【详解】由，得，因为，所以，所以，故选：C5、B【解析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.【详解】根据题意，设点关于直线的对称点，则，解得，即.根据椭圆的定义可知，，当、、三点共线时，长轴长取最小值，即，由且，得，因此椭圆C的短轴的最小值为.故选：B.6、C【解析】首先求出，再令即可求解.【详解】由，则，令，则，所以.故选：C【点睛】本题主要考查了基本初等函数的导数以及导数的基本运算法则，属于基础题.7、D【解析】构建空间直角坐标系，求直线的方向向量、平面的法向量，应用空间向量的坐标表示，求直线与平面所成角的正弦值.【详解】以点D为坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，可得，，，设面的法向量为，有，取，则，所以，，，则直线与平面所成角的正弦值为故选：D.8、C【解析】设动圆圆心，与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出几何关系式，化简，再根据圆锥曲线的定义，可得到动圆圆心轨迹.【详解】设动圆圆心，半径为，圆x2+y2＝1的圆心为，半径为，圆x2+y2﹣8x+12＝0，得，则圆心，半径为，根据圆与圆相切，则，，两式相减得，根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.故选：C【点睛】本题考查了两圆的位置关系，圆锥曲线的定义，属于基础题.9、C【解析】由导数的运算法则、复合函数的求导法则计算后可判断【详解】A：；B：；C：；D：故选：C10、B【解析】令，则，，然后利用函数的知识可得答案.【详解】令，则，当时，当时，，由双勾函数的知识可得在上单调递增，在上单调递减所以当即时，取得最大值，所以此数列的最大项是，最小项为故选：B11、C【解析】根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答.【详解】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点，则在双曲线中，，即有，解得，所以.故选：C12、B【解析】设出l1的方程为，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，用弦长公式表达出，同理表达出，利用基本不等式求出的最小值.【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F为，直线l1的方程为，则联立后得到，设，，，则，同理设可得：，因为|k1·k2|=2，所以，当且仅当，即或时，等号成立，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知找到异面直线所成角的平面角，再运用余弦定理可得答案.【详解】解：设BD的中点为O，连接EO，FO，所以，则∠EOF（或其补角）就是异面直线AD，BC所成的角的平面角，又因为EO=AD=1，FO=BC=，EF=.根据余弦定理得=-，所以∠EOF=150°，异面直线AD与BC所成角的大小为30°.故答案为：30°.14、【解析】首先利用椭圆的对称性和为平行四边形，可以得出、两点是关于轴对称，进而得到；设，，，从而求出，然后由，利用，求得，最后根据得出离心率【详解】解：是与轴重合的，且四边形为平行四边形，所以、两点的纵坐标相等，、的横坐标互为相反数，、两点是关于轴对称的由题知：四边形为平行四边形，所以可设，，代入椭圆方程解得：设为椭圆的右顶点，，四边形为平行四边形对点：解得：根据：得：故答案为：15、##【解析】设为这3张卡片的标号相邻的组数，则的可能取值为0，1，2，利用列举法分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望【详解】解：不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，，8的八张卡片从中随机取出3张，共有种，设为这3张卡片的标号相邻的组数，则的可能取值为0，1，2，的情况有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6个，，的情况有：取，另外一个数有5种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有5种取法的情况一共有：，，，随机变量的数学期望：故答案为：16、1【解析】由题意，可得，设，，，根据是线段的中点，求出的坐标，可得直线的斜率，利用基本不等式即可得结论【详解】解：由题意，可得，设，，，，是线段的中点，则，，，当且仅当时取等号，直线的斜率的最大值为1故答案为：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或或.【解析】（1）根据已知条件，求得的方程组，解得，即可求得椭圆的方程；（2）对的取值进行分类讨论，当时，根据三点共线求得，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，结合直线交椭圆两点，代值计算即可求得结果.【小问1详解】对椭圆，令，故可得，则，故，则，又，，故可得，则椭圆的方程为：.【小问2详解】直线与y轴交于点P，故可得的坐标为，当时，则，由椭圆的对称性可知：，故满足题意；当时，因为三点共线，若存在实数，使得，即，则，故可得.又直线与椭圆交于两点，故联立直线方程，与椭圆方程，可得：，则，即；设坐标为，则，又，即，故可得：，即，也即，代入韦达定理整理得：，即，当时，上式不成立，故可得，又，则，整理得：，解得，即或.综上所述：的取值范围是或或.【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中范围问题的处理；解决本题的关键一是要求得的取值，二是充分利用韦达定理以及直线和曲线相交，则联立方程组后得到的一元二次方程的，属综合中档题.18、（1）;（2）10.【解析】（1）由根据抛物线的定义求出可得抛物线方程；（2）求出抛物线过点A的切线，得出点M的坐标即可求三角形面积.【小问1详解】由抛物线的定义可知，即，抛物线的方程为.【小问2详解】，且A在第一象限，，即A(4,4)，显然切线的斜率存在，故可设其方程为，由，消去得，即，令，解得，切线方程为.令x=0，得，即,又，，.19、（1）当，在单调递增；当，在单调递增,在单调递减.（2）0.【解析】（1）求得，对参数分类讨论，即可由每种情况下的正负确定函数的单调性；（2）根据题意求得，利用进行放缩，只需证即，再利用导数通过证明从而得到恒成立，则问题得解.【小问1详解】以为，其定义域为，又，故当时，，在单调递增；当时，令，可得，且令，解得，令，解得，故在单调递增，在单调递减.综上所述：当，在单调递增；当，在单调递增，在单调递减.【小问2详解】因为，故可得，则，；下证恒成立，令，则，故在单调递减，又当时，，故在恒成立，即；因为，故，令，下证在恒成立，要证恒成立，即证，又，故即证，令，则，令，解得，此时该函数单调递增，令，解得，此时该函数单调递减，又当时，，也即；令，则，令，解得，此时该函数单调递减，令，解得，此时该函数单调递增，又当时，，也即；又，故恒成立，则在恒成立，又，故当时，恒成立，则在上的零点个数是.【点睛】本题考察利用导数研究含参函数的单调性，以及函数零点问题的处理；本题第二问处理的关键是通过分离参数和构造函数，证明恒成立，属综合困难题.20、（1）众数为0.82，8％分位数约为1.34（2）①；②【解析】（1）根据题中表格数据即可求得答案；（2）①两条鱼有可能均在A水池也可能都在B水池，故可根据互斥事件的概率结合相互独立事件的概率计算求得答案；②先求出这两条鱼由同一个小孔进入B水池的概率，然后根据对立事件的概率计算方法，求得答案.【小问1详解】由题意知，数据的众数为0.82，估计这批鱼该项数据的80％分位数约为【小问2详解】①记“两鱼最终均在A水池”为事件A，则，记“两鱼最终均在B水池”为事件B，则，∵事件A与事件B互斥，∴两条鱼最终在同一水池的概率为②记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第