第四章 4.3.1等比数列的概念及通项公式（第1课时）-课件（人教A版选择性必修第二册）

4.3.1

等比数列的概念

及通项公式

(第1课时)情境导入

我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”,类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你

觉得还有怎样的数列是值得研究的?请看下面几个问题中的数列.情境1:两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：9,92,9³,…,910;①100,100²,100³,…,10010;

②5,5²,5³,…,510.③情境2:

《庄子·

天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”,那么从第一天开始，各天得到的“棰”的新知

探

索长度依次是

是

2

,

4

,

8

,

1

6

,

3

2

,

6

4

,

…

.

⑤情境4:某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r,那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是a(1+r),a(1+r)²,a(1+r)³,a(1+r)⁴,a(1+r)⁵

.复利是指把前一期的利息和本金加在

一起算作本金，再计算下一期的利息.情境3:在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min

就通过分裂繁殖一代，每一个细菌都分裂成两个，那么一

个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次新

知探

索问题1:类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律?你发现了什么规律?我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.如果用{an}表示数列①,那么有

这表明，数列①有这样的规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9.其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律.新

知

探

索一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常会思考1:类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗?与等差中项类似，如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G²=ab.新知探索表示(显然q≠0

).用字母问题2:你能根据等比数列的定义推导出它的通项公式吗?设一个等比数列{an}的公比为q.根据等比数列的定义，可得：an+1=an

·q.所以

a₂=a₁qa₃=a₂q=(a₁9)q=a₁q²,a₄=a₃q=(a₁q²)q=a₁q³,由此可得，an=a₁qn-1(n≥2).又a₁=a₁q⁰=a₁q¹-1,

这就是说，当n=1时上式也成立.因此，首项为a₁,

公比为q的等比数列{an}的通项公式为：an=a₁qn-1.新

知探

索所以

所以，(n-1)

个由此可得，an=a₁qn-1.问题3:你能用其他的方法推导出等比数列的通项公式吗?设一个等比数列{an}的公比为q.根据等比数列的定义，可得：新

知探

索累

乘

法类比于等差数列与一次函数的关系，由可知，当q>0

且q≠1

时，等比数列{an}的第n项是函数(x∈R)

当x=n

时的函数值，即an=f(n)

(如图所示).反之，任给函数f(x)=ka×(k,a为常数，k≠0,a>0,

且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka²,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列{kan},其首项为ka,公比为a.f(x)rw)=3

·

(5,a₅)(4,a/(3,a₃)(2,a₂)(1,中，)o新知

探

索a4a3a50<q<1q>1q=1指数函数y=q×的单调性单调递减单调递增等比数列an=q"的单调性单调递减单调递增不变等比数列an=a₁qn-1的

单调性a₁

>0单调递减单调递增不变a₁

<0单调递增单调递减不变问题4:类比指数函数的性质，说说公比q>0

的等比数列的单调性.新知探索辨析1.判断正误.(1)等比数列中至少含有三项.

()(2)等比数列每相邻两项的比都相同.

(

)(3)等比数列的首项不能为0,但公比可以为0.

(

)(4)任意两个数都有等比中项.

()(5)若G²=ab,

则G

一定是a,b

的等比中项

.

()(6)等比数列{an}的首项为1,公比为2,则an=2n-1.()(7)数列a,a³,a⁵

,a⁷

,…

的通项公式为an=a²n-1.

()答案：

√

,

√

,×,×,×,√

,×

.新

知

探

索辨析2.2+

√

3与2-

√

3的等比中项为(

).A.1B.-1

C.±1

D.2答

案

：C.辨析3.在等比数列{an}

中，a₃=2,a₆=16,则数列

{an}的公比是().A.-2B.√2C.2D.4答

案

：C.新知探索例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项.解法一：由

得②的两边分别除以①的两边，得

.

解得

或把

,

得a₁=384.此时，,

得a₁

=-

384.

此时，因此，{an}的第5项是24或-24.例

析把例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项.解法二：因为a₅是a₄

与a₆的等比中项，所以a₅²=a₄a₆=48×12=576.所以，a₅=±√576=±24.因此，{an}的第5项是24或-24.例

析an=a₁qn-1.

②②的两边分别除以①的两边，所以，an=amqn-m.例2.已知等比数列{an}的公比为q,

试用{an}的第m

项am

表示an.解：由题意，得

①等比数列的任意一项都可以由该数列

的某一项和公比表示.例

析例3.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列.解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d,则数列的各项依次为80+d,80+2d.

于是得：解

所以这个数列是20,40,80,96,112或180,120,80,16,-48

.例

析题型一：等比数列的通项公式例1.在等比数列{an}中，(1)a₄=2,a₇

=8,

求an;解(1):设首项为a₁,

公比为q.[法一]∵由

,

从

而q=4,[法二]∵a₇=a₄q³,∴q³=4,q=³√4.练

习而a₁q³=2,∴

即2n-6=1=2⁰,∴n=6.例1.在等比数列{an}中，(2)a₂+a₅=18,a₃+a₆=9,an=1,

求n.解(2):[法一由a₁9+a₁q⁴=18,

知a₁=32.由an=a₁qn-1=1,

知n=6.练

习[法二]∵

a₃+a₆=9=q(a₂+a₅),∴得从而a₁=32,由等比数列通项公式的求法1.根据已知条件，建立关于a₁,q

的方程组，求出a₁,q

后再求出an,

这是常规方法.2.充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a₁

,

最后求an,

这种方法带有一

定的技巧性，能简化运算.练习方法技巧：变1.已知{an}是首项为1,公比为3的等比数列，则log₃a2022=

答案：2021.解：∵a₁=1,q=3,∴an=a₁qn-1=3n-1,∴a2022=32021,即log₃a2022

=log₃32021=2021.练

习题型二：等比中项例2.等比数列{an}的前三项之和为168,a₂-a₅=42,

求的等比中项.解：设等比数列{an}首项为a₁

,

公比为q.∵a₂-a5=42,∴q≠1,由已知得

练

习即G=±3.∴a₅与a₇

的等比中项是±3.例2.等比数列{an}的前三项之和为168,a₂-a₅=42,求a₅

与a₇

的等比中项.练

习设G是a₅,a₇

的等比中项，方法技巧：1.由等比中项的定义可知G²=ab→G=±

√ab,所以只有a,b

同号时，a,b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.2.在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项

和后一项的等比中项.3.a,G,b

成等比数列等价于G²=ab(ab>0).练

习变2.如果-1,a,b,c,-9成等比数列，那么(

).

A.b=3,ac=9

B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9

D.b=-3,ac=-9答案：B.解：∵b²=ac=(-1)×(-9)=9,且b与首项-1同号，∴b=-3,

且a,c

必同号.∴ac=b²=9.练

习题型三：等比数列的判定与证明例3.在数列{an}中，若an>0,

且an+1=2an+3(n∈N*).证明：数列{an+3}

是等比数列.证明：[定义法]∵

an>0,∴an+3>0.又∵an+1=2an+3,∴数列{an+3}

是首项为a₁+3,

公比为2等比数列.练

习例3.在数列{an}中，若an>0,

且an+1=2an+3(n∈N*).

证明：数列{an+3}

是等比数列.证明：[等比中项法]∵

an>0,∴an+3>0.又∵an+1=2an+3,∴an+2=4an+9.∴(an+2+3)(an+3)=(4an+12)(a₂+3)=(2an+6)²=(an+1+3)²

.即an+3,an+1+3,an+2+3成等比数列，∴数列{an+3}

是等比数列.练

习方法技巧：证明数列是等比数列的常用的方法1.定义法：

常数且q≠0)(q

为常数且q≠0,n≥2)

→

{an}

为等比数列.2.

等比中项法：an+1²=an·an+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}

为等比数列.练

习变3.已知数