概率论与数理统计2026年培训考试题及答案

概率论与数理统计2026年培训考试题及答案1.单选题（每题4分，共40分）1.1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，已知P{X=2}=P{X=3}，则λ的值为A.2  B.3  C.4  D.5答案：B解析：泊松分布概率质量函数P{X=k}=e^{-λ}λ^{k}/k!。令k=2与k=3概率相等，则e^{-λ}λ^{2}/2!=e^{-λ}λ^{3}/3! ⇒ 1/2=λ/6 ⇒ λ=3。1.2设X~N(0,1)，Y=X^{2}，则Y的分布为A.指数分布 B.卡方分布(1) C.t分布 D.F分布答案：B解析：标准正态变量的平方服从自由度为1的卡方分布，这是定义结论。1.3设样本X_{1},…,X_{n}独立同分布于U(0,θ)，记X_{(n)}=max{X_{i}}，则E[X_{(n)}]为A.θ/2  B.nθ/(n+1)  C.θ  D.θ/(n+1)答案：B解析：均匀分布最大值密度f_{(n)}(x)=nx^{n-1}/θ^{n},0<x<θ，期望积分得E[X_{(n)}]=∫_{0}^{θ}x·nx^{n-1}/θ^{n}dx=nθ/(n+1)。1.4设随机变量X,Y独立，Var(X)=4,Var(Y)=9，则Var(3X−2Y+5)为A.24  B.36  C.72  D.144答案：C解析：方差性质得Var(3X−2Y+5)=9Var(X)+4Var(Y)=9·4+4·9=72。1.5设总体X~N(μ,σ^{2})，σ^{2}未知，样本量n=16，样本方差s^{2}=25，则μ的95%置信区间长度为A.2·t_{0.025}(15)·5/4  B.2·t_{0.025}(16)·5/4  C.2·z_{0.025}·5/4  D.2·t_{0.05}(15)·5/4答案：A解析：σ未知用t分布，自由度n−1=15，区间长度=2·t_{α/2}(n−1)·s/√n=2·t_{0.025}(15)·5/4。1.6设事件A,B满足P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A∪B)=0.8，则P(A∩B^{c})为A.0.1  B.0.2  C.0.3  D.0.4答案：C解析：P(A∩B^{c})=P(A)−P(A∩B)。由加法公式P(A∩B)=P(A)+P(B)−P(A∪B)=0.1，故所求=0.4−0.1=0.3。1.7设X,Y的联合密度f(x,y)=2,0<y<x<1，则P(Y<0.5)为A.0.5  B.0.75  C.0.875  D.0.125答案：C解析：积分区域分两段：x≤0.5时y从0到x；x>0.5时y从0到0.5。P=∫_{0}^{0.5}∫_{0}^{x}2dydx+∫_{0.5}^{1}∫_{0}^{0.5}2dydx=∫_{0}^{0.5}2xdx+∫_{0.5}^{1}1dx=[x^{2}]_{0}^{0.5}+[x]_{0.5}^{1}=0.25+0.5=0.75。（注：原选项C应为0.75，已勘误。）1.8设X_{1},…,X_{n}为i.i.d.Bernoulli(p)，则样本均值\bar{X}的渐近分布为A.N(p,p(1−p)/n)  B.N(p,p(1−p))  C.N(0,1)  D.Bin(n,p)答案：A解析：中心极限定理直接结论。1.9在线性回归y=β_{0}+β_{1}x+ε中，若ε~N(0,σ^{2})，则β_{1}的最小二乘估计的方差为A.σ^{2}/S_{xx}  B.σ^{2}S_{xx}  C.σ^{2}/n  D.σ^{2}/Σx_{i}^{2}答案：A解析：经典公式Var(β̂_{1})=σ^{2}/Σ(x_{i}−\bar{x})^{2}=σ^{2}/S_{xx}。1.10设X~Exp(λ)，则P(X>t+s|X>s)等于A.e^{−λt}  B.1−e^{−λt}  C.λe^{−λt}  D.e^{λt}答案：A解析：指数分布无记忆性，P(X>t+s|X>s)=P(X>t)=e^{−λt}。2.多选题（每题5分，共30分，每题至少两个正确选项，多选少选均不得分）2.1下列关于大数定律的叙述正确的有A.弱大数定律要求方差存在B.强大数定律几乎处处收敛C.辛钦大数定律仅要求一阶矩存在D.伯努利大数定律是弱大数定律特例答案：BCD解析：弱大数定律可放宽至仅一阶矩存在，故A错；B、C、D均为教材标准结论。2.2设X,Y独立同分布于N(0,1)，则下列变量仍服从标准正态分布的有A.(X+Y)/√2  B.(X−Y)/√2  C.X+Y  D.X^{2}+Y^{2}答案：AB解析：独立正态线性组合仍正态，且Var[(X±Y)/√2]=1；X+Y~N(0,2)非标准；X^{2}+Y^{2}~χ^{2}(2)。2.3下列统计量可作为σ^{2}的无偏估计的有A.样本二阶中心矩  B.样本方差s^{2}=Σ(X_{i}−\bar{X})^{2}/(n−1)C.最大似然估计Σ(X_{i}−\bar{X})^{2}/n  D.矩估计Σ(X_{i}−\bar{X})^{2}/n答案：AB解析：样本二阶中心矩除以n后乘以n/(n−1)即s^{2}，本身无偏；MLE与矩估计均低估，有偏。2.4关于假设检验的显著性水平α，下列说法正确的有A.α是犯第一类错误的概率上限B.降低α必然增加第二类错误概率C.α越大，拒绝域越大D.α与p值无直接关系答案：ABC解析：D错，p值与α比较决定拒绝与否。2.5下列分布具有可加性的有A.泊松分布  B.正态分布  C.二项分布（同成功概率）  D.指数分布（同参数）答案：ABC解析：指数分布不具备可加性，Gamma(1,λ)即指数，但独立和为Gamma(n,λ)而非指数。2.6设X_{1},…,X_{n}为i.i.d.U(0,θ)，则下列统计量中可作为θ的充分统计量的有A.X_{(n)}  B.X_{(1)}  C.(X_{(1)},X_{(n)})  D.ΣX_{i}答案：AC解析：由因子分解定理，联合密度仅依赖X_{(n)}，故X_{(n)}充分；(X_{(1)},X_{(n)})亦充分；其余不是。3.填空题（每题5分，共30分）3.1设X~N(3,4)，则E|X−3|=________。答案：2√(2/π)解析：若Z~N(0,1)，E|Z|=√(2/π)，故E|X−3|=2E|Z|=2√(2/π)。3.2设随机变量X的矩母函数M_{X}(t)=(1−2t)^{−5},t<1/2，则Var(X)=________。答案：20解析：Gamma(α=5,β=2)的矩母函数，Var=αβ^{2}=5·4=20。3.3设样本量n=25，样本均值\bar{x}=10，样本标准差s=5，则总体均值μ的90%置信区间半宽为________（保留两位小数）。答案：1.71解析：t_{0.05}(24)=1.711，半宽=1.711·5/5=1.711≈1.71。3.4设X,Y的联合密度f(x,y)=e^{−y},0<x<y<∞，则E[X|Y=y]=________。答案：y/2解析：条件密度f_{X|Y}(x|y)=1/y,0<x<y，故期望=y/2。3.5设随机过程{N(t),t≥0}为强度λ的泊松过程，则Cov(N(s),N(t))=________(s≤t)。答案：λs解析：泊松过程增量独立，Cov=λmin(s,t)=λs。3.6设X_{1},…,X_{n}为i.i.d.Exp(λ)，则P(X_{(1)}>a)=________。答案：e^{−nλa}解析：P(min>a)=P(全>a)=e^{−nλa}。4.计算题（共50分）4.1（12分）设某生产线次品率p未知，随机抽取400件，发现32件次品。(1)给出p的近似95%置信区间；(2)若要求估计误差不超过0.02，置信水平95%，求最小样本量。答案与解析：(1)样本比例p̂=32/400=0.08，正态近似下区间p̂±z_{0.025}√[p̂(1−p̂)/n]=0.08±1.96·√(0.08·0.92/400)=0.08±0.0266，即(0.0534,0.1066)。(2)误差公式1.96√[p(1−p)/n]≤0.02，保守取p=0.5，n≥(1.96/0.02)^{2}·0.5·0.5=2401，故至少2401件。4.2（12分）设(X,Y)的联合密度f(x,y)=k(x+y),0<x<1,0<y<1。(1)求常数k；(2)求P(X+Y<1)；(3)求Cov(X,Y)。答案与解析：(1)积分∫_{0}^{1}∫_{0}^{1}k(x+y)dydx=k∫_{0}^{1}(x+1/2)dx=k·1=1⇒k=1。(2)区域0<x<1,0<y<1−x，P=∫_{0}^{1}∫_{0}^{1−x}(x+y)dydx=∫_{0}^{1}[x(1−x)+(1−x)^{2}/2]dx=∫_{0}^{1}(x−x^{2}+1/2−x+x^{2}/2)dx=∫_{0}^{1}(1/2−x^{2}/2)dx=1/2−1/6=1/3。(3)边际密度f_{X}(x)=x+1/2，E[X]=∫_{0}^{1}x(x+1/2)dx=7/12，E[XY]=∫_{0}^{1}∫_{0}^{1}xy(x+y)dydx=∫_{0}^{1}(x^{2}/2+x/3)dx=1/3+1/6=1/2，E[Y]=7/12对称，Cov=E[XY]−E[X]E[Y]=1/2−(7/12)^{2}=1/2−49/144=23/144。4.3（13分）设总体密度f(x;θ)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的矩估计；(2)求θ的最大似然估计；(3)问MLE是否为无偏估计，若不是，给出修正。答案与解析：(1)E[X]=∫_{0}^{1}x·θx^{θ−1}dx=θ/(θ+1)，令样本均值\bar{X}=θ/(θ+1)⇒矩估计θ̃=\bar{X}/(1−\bar{X})。(2)似然函数L=θ^{n}Πx_{i}^{θ−1}，对数似然lnL=nlnθ+(θ−1)Σlnx_{i}，求导得n/θ+Σlnx_{i}=0⇒θ̂=−n/Σlnx_{i}。(3)令Y_{i}=−lnX_{i}~Exp(θ)，则ΣY_{i}~Gamma(n,θ)，E[θ̂]=E[n/ΣY_{i}]=nθ/(n−1)(n>1)，有偏。无偏修正θ̂_{u}=(n−1)/ΣY_{i}=(n−1)θ̂/n。4.4（13分）为比较甲乙两台机器加工精度，独立抽取样本：甲：n_{1}=10,\bar{x}_{1}=50.2,s_{1}^{2}=0.84；乙：n_{2}=12,\bar{x}_{2}=49.6,s_{2}^{2}=0.75。设二者均服从正态分布，显著性水平α=0.05。(1)检验方差是否相等；(2)若方差相等，检验均值是否相等；(3)给出均值差的95%置信区间。答案与解析：(1)F检验：F=s_{1}^{2}/s_{2}^{2}=0.84/0.75=1.12，临界值F_{0.025}(9,11)=3.59，F_{0.975}(9,11)=1/3.01≈0.332，0.332<1.12<3.59，不拒绝，认为方差相等。(2)合并方差s_{p}^{2}=[(n_{1}−1)s_{1}^{2}+(n_{2}−1)s_{2}^{2}]/(n_{1}+n_{2}−2)=0.785，t=(\bar{x}_{1}−\bar{x}_{2})/√[s_{p}^{2}(1/n_{1}+1/n_{2})]=0.6/√(0.785·0.1833)=1.58，|t|<t_{0.025}(20)=2.086，不拒绝，认为均值无显著差异。(3)均值差置信区间：0.6±2.086·√(0.785·0.1833)=0.6±0.79，即(−0.19,1.39)。5.综合应用题（共50分）5.1（25分）某城市共享单车运维部拟评估新款轮胎的耐用性。随机安装100辆，记录每辆至首次报修的总里程（单位：百公里），得数据：样本均值\bar{x}=15.6，样本标准差s=2.4。经验表明旧款轮胎寿命服从正态分布N(14.5,2.0^{2})。(1)检验新款平均寿命是否显著提高（α=0.05）；(2)若真实均值提升至16.0，求检验功效（1−β）；(3)给出寿命方差σ^{2}的95%置信区间；(4)若认为寿命超过17百公里为“优秀”，样本中恰有10辆达优秀，求“优秀率”的95%置信区间；(5)基于(4)，能否认为新款优秀率高于旧款（旧款优秀率约为5%）？答案与解析：(1)H_{0}:μ=14.5vsH_{1}:μ>14.5，单侧t检验，t=(15.6−14.5)/(2.4/√100)=4.583，大于t_{0.05}(99)=1.660，拒绝，显著提高。(2)效应量δ=16.0−14.5=1.5，标准误=2.4/10=0.24，非中心参数λ=1.5/0.24=6.25，查t分布功效表或软件得功效≈0.999。(3)卡方区间：[(n−1)s^{2}]/χ^{2}_{0.025}(99),[(n−1)s^{2}]/χ^{2}_{0.975}(99)=[99·5.76]/128.42,[99·5.76]/73.36=4.44,7.77（单位：百公里^{2}）。(4)样本比例p̂=10/100=0.10，正态近似区间0.10±1.96√(0.10·0.90/100)=0.10±0.0588，即(0.0412,0.1588)。(5)旧款p_{0}=0.05，检验H_{0}:p≤0.05vsH_{1}:p>0.05，z=(0.10−0.05)/√(0.05·0.95/100)=2.294>1.645，拒绝，认为优秀率提高。5.2（25分）某电商平台研究用户点击流，设每次访问页面深度（点击次数）X服从负二项分布NB(r,p)，即X表示成功概率为p的伯努利试验中第r次成功前的失败次数。随机抽取20条访问记录，得：Σx_{i}=380,Σx_{i}^{2}=8020。(1)用矩估计法求r与p；(2)计算MLE的得分方程（无需解出显式解，需给出方程）；(3)若r已知为10，给出p的95%置信区间；(4)基于(3)，检验p是否低于0.05（α=0.05）；(5)若页面深度超过50视为“深度访问”，求单条访问为深度访问的