多元统计分析期末复习试题及答案

多元统计分析期末复习试题及答案1.单选（每题2分，共20分）1.1在p维正态总体N_p(μ,Σ)中，若Σ已知，样本容量n=36，检验H_0:μ=μ_0，应采用的统计量是A.T²=n(X̄−μ_0)ᵀΣ⁻¹(X̄−μ_0)B.T²=(n−1)(X̄−μ_0)ᵀΣ⁻¹(X̄−μ_0)C.T²=n(X̄−μ_0)ᵀS⁻¹(X̄−μ_0)D.T²=(n−p)(X̄−μ_0)ᵀS⁻¹(X̄−μ_0)答案：A解析：Σ已知时用HotellingT²=n(X̄−μ_0)ᵀΣ⁻¹(X̄−μ_0)～χ²(p)。B错在系数，C、D把Σ换成S，属于Σ未知情形。1.2对同一组n=50、p=4的数据，若欲检验协方差阵Σ是否等于给定的Σ_0，应选用的检验统计量服从A.χ²分布B.F分布C.似然比统计量−2lnΛ～χ²D.WilksΛ分布答案：C解析：Σ的检验属于似然比范畴，−2lnΛ在正则条件下渐近χ²，自由度为p(p+1)/2。1.3主成分分析中，第k主成分的方差贡献率等于A.λ_k/(∑λ_i)B.λ_k/pC.λ_k/nD.λ_k/(∑λ_i²)答案：A解析：贡献率定义为该特征值占全部特征值之和的比例。1.4若样本协差阵S的特征值为8,3,1,0.2，则前两个主成分的累计贡献率为A.11/12.2B.8/12.2C.11/8D.8/11答案：A解析：(8+3)/(8+3+1+0.2)=11/12.2≈90.16%。1.5在典型相关分析中，若X为p维、Y为q维，则第一对典型变量(a₁ᵀX,b₁ᵀY)的相关系数ρ₁满足A.ρ₁=maxcorr(aᵀX,bᵀY)B.ρ₁=mincorr(aᵀX,bᵀY)C.ρ₁=maxvar(aᵀX)D.ρ₁=maxcov(aᵀX,bᵀY)答案：A解析：典型相关即最大化两组变量的相关系数。1.6对n=30、p=5的数据做聚类，若采用Ward法，其合并准则本质上是A.组间平方和增量最小B.组内平方和增量最小C.全linkage最大距离D.重心距离答案：B解析：Ward法最小化合并后组内平方和的增量。1.7若判别分析中两个总体的协差阵相等，则Fisher线性判别函数等价于A.距离判别B.Bayes判别C.主成分得分D.逻辑回归答案：A解析：等协差阵时，Fisher、距离、Bayes（等先验）三者等价。1.8对同一数据，若逐步判别选入变量的准则为WilksΛ最小化，则每一步实质在做A.单变量t检验B.多变量方差分析C.似然比检验D.主成分提取答案：C解析：WilksΛ是多元方差分析的似然比统计量。1.9若样本协差阵S奇异，则A.不能做主成分B.不能做因子分析C.不能求广义逆D.不能求Mahalanobis距离答案：D解析：Mahalanobis距离需S⁻¹，奇异时无通常逆；但可用广义逆做PCA、FA。1.10在多维尺度分析（MDS）中，若选择欧氏模型，则最终得到的坐标矩阵X满足A.XXᵀ=ΔB.XᵀX=ΔC.XXᵀ≈−½JΔJD.XᵀX≈−½JΔJ答案：C解析：经典MDS对双中心化后的距离矩阵做谱分解，XXᵀ≈−½JΔJ。2.多选（每题3分，共15分，多选少选均不得分）2.1下列哪些统计量可用来检验多元正态性A.Mardia偏度B.Mardia峰度C.Royston’sHD.WilksΛE.Q-Q图答案：ABCE解析：WilksΛ用于均值或协差检验，不直接检验正态性。2.2关于主成分回归（PCR），正确的是A.用全部主成分做回归等价于最小二乘B.舍弃小特征值主成分可缓解多重共线C.主成分回归系数可解释回原变量D.PCR对样本外预测一定优于OLSE.PCR需标准化答案：ABCE解析：D错，PCR未必总是优于OLS，取决于舍弃信息是否含噪声。2.3以下哪些方法属于无监督学习A.K-meansB.层次聚类C.DBSCAND.线性判别E.自组织映射答案：ABCE解析：D为监督。2.4若因子分析模型X=ΛF+ε，满足A.cov(F,ε)=0B.E(F)=0C.cov(ε)=对角D.Λ唯一E.F可观测答案：ABC解析：Λ不唯一，F不可观测。2.5关于Bayes判别，正确的是A.需先验概率B.需类条件密度C.最小化期望错判损失D.等价于Fisher当协差阵相等且先验相等E.对异常值不敏感答案：ABCD解析：Bayes对异常值仍敏感。3.填空（每空2分，共20分）3.1若X～N_3(μ,Σ)，Σ=[[4,2,1],[2,3,0],[1,0,2]]，则X₁与X₂的偏相关系数ρ₁₂|₃=____。答案：2/√(3×3)=2/3解析：ρ₁₂|₃=σ₁₂|₃/√(σ₁₁|₃σ₂₂|₃)，其中σ₁₂|₃=σ₁₂−σ₁₃σ₂₃/σ₃₃=2−1×0/2=2，σ₁₁|₃=4−1²/2=3.5，σ₂₂|₃=3−0²/2=3，故ρ=2/√(3.5×3)≈0.617。3.2对n=100、p=6的样本，检验H_0:μ=μ_0，Σ未知，HotellingT²=25.3，则对应的F统计量为____，自由度为____。答案：F=(n−p)/p(n−1)T²=(94/6)×25.3≈396.2，df1=6，df2=94解析：T²～p(n−1)/(n−p)F(p,n−p)。3.3若样本相关阵R的特征值为3.5,1.2,0.8,0.3,0.2，则Kaiser准则下应保留____个主成分。答案：3解析：特征值>1。3.4在Q型聚类中，样本间距离常用____距离；在R型聚类中，变量间距离常用____距离。答案：欧氏；1−|r|3.5若两总体π₁,π₂的密度分别为f₁,f₂，先验π₁=0.6，错判损失c(1|2)=5，c(2|1)=1，则Bayes判别规则为：若f₁(x)/f₂(x)____，则判x∈π₁。答案：>(0.4×5)/(0.6×1)=10/33.6因子分析中，共性方差h_i²表示____。答案：第i个变量能被公因子解释的部分方差。3.7若样本协差阵S=[[5,2],[2,3]]，则第一主成分的方向向量为____。答案：对应最大特征值7.162的特征向量(0.923,0.385)ᵀ。3.8在多维尺度分析中，Stress-I公式为____。答案：√(∑(d_ij−d̂_ij)²/∑d_ij²)3.9对n=200、p=10的数据，若Bartlett检验球形假设的χ²=450，df=45，则p值____0.05（填<或>）。答案：<解析：450远大于χ²_{0.95}(45)≈61.66。3.10若X～N_p(μ,Σ)，则(X−μ)ᵀΣ⁻¹(X−μ)服从____分布。答案：χ²(p)4.判断并改错（每题3分，共15分）4.1主成分分析要求变量间相互独立。答案：错。改：主成分分析要求变量间存在相关，否则无降维意义。4.2典型相关分析中，典型变量对之间一定正交。答案：错。改：同一组典型变量之间正交，不同组之间仅相关系数最大化，未必正交。4.3若S奇异，则无法做任何因子分析。答案：错。改：可用广义逆或缩减变量做因子分析。4.4K-means算法对初始中心不敏感。答案：错。改：K-means对初始中心敏感，常用k-means++改进。4.5判别分析中，当总体非正态时，Fisher线性判别完全失效。答案：错。改：Fisher判别仍可用，但未必最优。5.简答（每题8分，共24分）5.1写出多元线性回归模型Y=XB+E的矩阵形式，并给出最小二乘估计及协差阵。答案：模型：Y_{n×m}=X_{n×(p+1)}B_{(p+1)×m}+E_{n×m}，vec(E)～N(0,Σ⊗I_n)。最小二乘：B̂=(XᵀX)⁻¹XᵀY。协差阵：cov(vec(B̂))=Σ⊗(XᵀX)⁻¹。5.2简述WilksΛ分布与HotellingT²的关系。答案：当m=1时，WilksΛ=1/(1+T²/(n−1))，即T²可转化为Λ，二者均检验均值向量差异；m>1时，Λ为广义似然比，T²为其特例。5.3说明在聚类分析中，单链接可能产生“链式”现象的原因及改进方法。答案：单链接以最近邻距离为组间距离，易因中间点串联远离簇，形成长链；改进可用全链接、Ward法或DBSCAN密度方法。6.计算与综合（共46分）6.1（10分）随机抽取n=50名大学生，测得数学(X₁)、物理(X₂)、编程(X₃)成绩，样本均值X̄=(75,70,80)ᵀ，样本协差阵S=[[100,40,60],[40,64,32],[60,32,144]]。（1）检验H_0:μ=(80,80,80)ᵀ，α=0.05。（2）若拒绝，求μ的95%同时置信区间（Bonferroni）。答案：（1）T²=50(X̄−μ_0)ᵀS⁻¹(X̄−μ_0)=50×[−5,−10,0]S⁻¹[−5,−10,0]ᵀ=50×3.125=156.25。临界值T²_{0.05}=p(n−1)/(n−p)F_{0.05}(p,n−p)=3×49/47×2.81≈8.78。156.25>8.78，拒绝。（2）Bonferronit_{0.05/6}(49)=2.47，标准误=√(S_ii/n)，得μ₁:75±2.47×√(100/50)=75±3.49→[71.51,78.49]μ₂:70±2.47×√(64/50)=70±2.79→[67.21,72.79]μ₃:80±2.47×√(144/50)=80±4.18→[75.82,84.18]6.2（12分）对同一数据做主成分分析，求载荷矩阵及前两个主成分对总方差的贡献率；若用前两个主成分得分做后续回归，解释其优缺点。答案：特征值：λ₁=204.8,λ₂=67.2,λ₃=36.0。贡献率：λ₁/(λ₁+λ₂+λ₃)=65.1%，前二累计86.5%。载荷：第一主成分a₁=(0.68,0.48,0.55)ᵀ，解释“综合学业”；第二主成分a₂=(−0.25,0.86,−0.44)ᵀ，解释“文理差异”。优点：降维去噪、克服共线；缺点：主成分可能难以解释，且舍弃的13.5%方差或含重要信息。6.3（12分）设两个多元正态总体π₁,π₂，μ₁=(0,0)ᵀ，μ₂=(2,2)ᵀ，Σ₁=Σ₂=I₂，先验相等，损失c(1|2)=c(2|1)=1。（1）求Bayes判别函数及决策边界。（2）若实测点x=(1,1)ᵀ，求后验概率及判类。答案：（1）判别函数：δ_i(x)=xᵀμ_i−½μ_iᵀμ_i，δ₁=0，δ₂=2x₁+2x₂−4，决策边界：δ₁=δ₂⇒2x₁+2x₂−4=0⇒x₁+x₂=2。（2）x=(1,1)在边界上，后验相等，可随机判；通常判样本量大的类或任一类。6.4（12分）对某城市15个区县测得8项经济指标，经标准化后做因子分析，得共性方差h_i²均在0.75以上，前三个因子累计贡献率82%，旋转后因子载荷如下（节选）：F1:工业产值0.91，固定资产投资0.85…F2:零售总额0.88，餐饮收入0.82…F3:专利申请0.79，高校数量0.75…（1）命名三个公因子。（2）计算第一因子得分系数（回归法），已知相关阵R及Λ₁。答案：（1）F1:工业投资因子；F2:消费服务因子；F3:科技创新因子。（2）