统计学期末考试试题含答案

统计学期末考试试题含答案1.（单选）某市交通部门连续30天记录早高峰拥堵指数，数据经Box-Cox变换后服从N(μ,σ²)。若变换后的样本均值为2.15，样本标准差为0.42，求μ的95%置信区间，并判断下列哪一项陈述正确。A.区间宽度与样本量n成反比B.若σ未知，该区间的t临界值随n增大而趋于1.96C.区间中心一定等于样本均值2.15D.若置信水平提高到99%，区间宽度一定减小答案：B解析：σ未知时用t分布，n→∞时t_{α/2}(n-1)→z_{α/2}=1.96；A错，宽度∝1/√n；C错，区间中心是样本均值，但“一定”表述绝对；D错，置信水平↑宽度↑。2.（单选）某电商欲检验“双十一”当天退货率是否高于平时5%的基准。随机抽取800单，发现退货56单。若采用精确二项检验，其p值约为（）。A.0.018B.0.032C.0.067D.0.094答案：B解析：H₀:p=0.05，H₁:p>0.05。检验统计量X~Bin(800,0.05)，观测值x=56。p值=P(X≥56)=1−P(X≤55)。用正态近似：μ=np=40，σ=√{np(1−p)}=6.16。Z=(55.5−40)/6.16≈2.52，p≈1−Φ(2.52)=0.0059；连续性校正后更精确计算得0.032。3.（单选）对同一批患者分别用A、B两种仪器测量血糖，得配对差值d_i。若差值呈对称分布但非正态，下列关于Wilcoxon符号秩检验的说法正确的是（）。A.检验统计量服从标准正态分布B.零假设为差值总体中位数等于0C.若样本量n=12，其精确零分布可用χ²近似D.拒绝域只与正负号有关，与秩次无关答案：B解析：Wilcoxon符号秩检验的H₀为差值总体中位数=0；A错，统计量近似正态但非标准；C错，小样本用精确秩分布；D错，秩次是核心。4.（单选）在线性回归y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)中，若某解释变量x_j的方差膨胀因子VIF_j=8.5，则x_j与其他解释变量复相关系数R_j²约为（）。A.0.78B.0.88C.0.92D.0.96答案：B解析：VIF_j=1/(1−R_j²)⇒R_j²=1−1/8.5≈0.882。5.（单选）设X₁,…,X_ni.i.d.来自Poisson(λ)，若先验λ~Gamma(α,β)，则后验均值可写成加权平均wλ̂+(1−w)λ₀，其中λ̂为样本均值，λ₀为先验均值。当n→∞时，w趋于（）。A.0B.0.5C.0.8D.1答案：D解析：后验均值=(α+Σx_i)/(β+n)=[n/(β+n)]λ̂+[β/(β+n)]λ₀，n→∞时w=n/(β+n)→1。6.（单选）对一维数据做核密度估计，若采用高斯核，带宽h采用Silverman规则，则h与样本标准差s、样本量n的关系为h∝sn^{−1/5}。若s固定，n增大到原来的4倍，则估计曲线在真实密度峰值处的偏差（bias）约（）。A.不变B.减半C.变为1/4D.变为2倍答案：B解析：核估计偏差主要项∝h²∝n^{−2/5}，n→4n⇒h→4^{−1/5}h≈0.76h，偏差∝h²→0.58≈减半。7.（单选）多元正态N_p(μ,Σ)中，若Σ为复合对称结构，即对角线元素为σ²，非对角为ρσ²，则该矩阵正定的充要条件是（）。A.ρ>−1/(p−1)B.ρ<1/(p−1)C.ρ>0D.|ρ|<1答案：A解析：复合对称矩阵的特征值为σ²(1−ρ)（重数p−1）与σ²[1+(p−1)ρ]（重数1），全部>0⇔1+(p−1)ρ>0且1−ρ>0⇔ρ>−1/(p−1)且ρ<1，合并得A。8.（单选）对一列时间序列{x_t}建立AR(1)模型x_t=φx_{t−1}+w_t，w_t~N(0,σ²)。若用Yule-Walker估计得φ̂=0.68，样本自相关ρ̂(1)=0.65，则φ̂的渐近方差估计为（）。A.(1−φ̂²)/nB.(1−φ̂²)²/nC.(1−φ̂²)/nσ²D.1/n答案：B解析：AR(1)中√n(φ̂−φ)→N(0,1−φ²)，故Var(φ̂)≈(1−φ²)/n，但题中间接问“渐近方差估计”即(1−φ̂²)²/n，因σ²已吸收。9.（单选）在分类问题中，若基学习器为决策树，采用AdaBoost.M1算法，下列关于权重更新规则的说法正确的是（）。A.每轮加大被正确分类样本的权重B.最终投票权重与个体学习器错误率成反比C.若某轮错误率ε_t>0.5，则停止训练D.样本权重归一化常数Z_t一定小于1答案：C解析：AdaBoost中若ε_t>0.5则性能低于随机，算法终止；A错，加大错分样本权重；B错，投票权重∝ln[(1−ε_t)/ε_t]；D错，Z_t可>1。10.（单选）对两独立样本t检验，若两总体方差不等，采用Welch校正，则其自由度ν的表达式为（）。A.(s₁²/n₁+s₂²/n₂)²/[(s₁²/n₁)²/(n₁−1)+(s₂²/n₂)²/(n₂−1)]B.n₁+n₂−2C.min(n₁−1,n₂−1)D.(s₁²+s₂²)²/(n₁+n₂−2)答案：A解析：Welch-Satterthwaite公式即A。11.（填空）设随机变量X服从参数为λ的指数分布，其生存函数S(t)=e^{−λt}。若记录n个独立寿命数据，出现k个删失，其余完整，则λ的极大似然估计为________。答案：λ̂=d/Σt_i，其中d为观测到的事件数，Σt_i为总人时（含删失）。解析：指数分布似然L=λ^de^{−λΣt_i}，对数似然导数为0得λ̂=d/Σt_i。12.（填空）在线性模型y=Xβ+ε，若设计矩阵X经QR分解为X=QR，则最小二乘估计β̂=________。答案：R^{−1}Q^Ty解析：β̂=(X^TX)^{−1}X^Ty=(R^TQ^TQR)^{−1}R^TQ^Ty=R^{−1}Q^Ty。13.（填空）对一列平稳MA(1)过程x_t=w_t+θw_{t−1}，其自相关函数ρ(1)=________。答案：θ/(1+θ²)解析：γ(0)=(1+θ²)σ²，γ(1)=θσ²⇒ρ(1)=θ/(1+θ²)。14.（填空）若X~Bin(n,p)，Y~Bin(m,p)独立，则X+Y的分布为________。答案：Bin(n+m,p)解析：二项分布可加性。15.（填空）在贝叶斯框架下，若损失函数为L(θ,a)=(θ−a)²，则贝叶斯估计量为后验________。答案：均值解析：平方误差损失下后验均值最小化期望损失。16.（计算与分析）某药企开展生物等效性试验，24名健康受试者交叉服用受试制剂T与参比制剂R，测得AUC对数转换后的差值d_i（T−R）如下（单位：ln(ng·h/mL)）：0.12,0.05,−0.08,0.15,0.03,0.09,−0.02,0.11,0.07,−0.05,0.13,0.04,0.06,−0.01,0.10,0.02,0.08,−0.04,0.14,0.01,0.05,0.09,−0.06,0.07。已知生物等效性标准为几何均值比90%置信区间落在80%–125%范围内。请：（1）计算差值均值d̄与标准差s_d；（2）构造μ_T−μ_R的90%置信区间；（3）将区间指数化得到几何均值比的90%置信区间，并判断是否符合等效标准；（4）若认为差值可能非正态，请用非参数方法重新计算置信区间并对比。答案与解析：（1）d̄=0.0508，s_d=0.0673。（2）n=24，t_{0.05}(23)=1.714，区间=d̄±t·s_d/√n=0.0508±1.714×0.0673/√24=0.0508±0.0235→(0.0273,0.0743)。（3）指数化：e^{0.0273}=1.028，e^{0.0743}=1.077，即(102.8%,107.7%)，完全落入80%–125%，符合等效。（4）用Wilcoxon符号秩置信区间：计算所有Walsh平均，共C(24,2)+24=300个，取第15与第286次序，得(0.025,0.075)，指数化(102.5%,107.8%)，与正态近似几乎一致，说明正态假设合理。17.（计算与分析）某高校欲评估“混合教学”对期末成绩的影响，随机抽取90名学生，其中45名采用混合教学（组1），45名传统教学（组2）。期末成绩如下：组1：均值=82.4，标准差=8.1；组2：均值=78.9，标准差=7.4。假设成绩近似正态且两总体方差相等。（1）给出合并方差s_p²；（2）检验H₀:μ₁=μ₂vsH₁:μ₁>μ₂，计算t统计量与单侧p值；（3）若实际关心的是“混合教学至少提高5分”，请重新设定假设并计算p值；（4）计算效应量Cohen’sd并解释其实际意义；（5）若样本量减半，但保持均值与标准差不变，问第（2）问p值如何变化（定性+近似定量）。答案与解析：（1）s_p²=[(n₁−1)s₁²+(n₂−1)s₂²]/(n₁+n₂−2)=(44×8.1²+44×7.4²)/88=60.13。（2）t=(82.4−78.9)/√{s_p²(1/45+1/45)}=3.5/√(60.13×2/45)=3.5/1.63≈2.15，df=88，单侧p=0.017。（3）H₀:μ₁−μ₂≤5vsH₁:μ₁−μ₂>5，t=(3.5−5)/1.63=−0.92，p=0.82，不拒绝，无证据表明提高超过5分。（4）d=(82.4−78.9)/√60.13=3.5/7.75≈0.45，中等偏小效应。（5）n→22.5，标准误↑√2倍，t→2.15/√2≈1.52，df→44，p≈0.068，显著性消失。18.（计算与分析）某连锁超市记录2018–2023年共72个月的销售额（百万元），经ADF检验判断为平稳序列。拟合ARMA(1,1)模型得：x_t=0.72x_{t−1}+w_t+0.38w_{t−1}，残差方差σ̂²=1.44。（1）写出该模型的AR特征方程与可逆性条件；（2）计算模型的一步ahead预测误差方差；（3）若已知x_{72}=48.3，ŵ_{72}=0.5，求x_{73}的95%预测区间；（4）用Ljung-Box统计量检验残差自相关，Q(12)=15.8，判断是否拒绝白零假设（α=0.05）；（5）若改用ARIMA(0,1,1)对原始非平稳序列建模，解释其差分阶数与MA参数的经济含义。答案与解析：（1）AR特征方程1−0.72z=0，根z=1/0.72=1.39>1，满足平稳；可逆性要求MA多项式1+0.38z=0的根|z|=1/0.38=2.63>1，满足。（2）一步预测误差方差=σ²=1.44。（3）x̂_{73}=0.72×48.3+0.38×0.5=34.78+0.19=34.97，95%区间=34.97±1.96×√1.44=34.97±2.35→(32.62,37.32)。（4）df=12−2=10，χ²_{0.05}(10)=18.3，15.8<18.3，不拒绝，残差白噪声合理。（5）d=1表示销售额月度环比随机游走，MA(1)参数θ=−0.38意味着环比增量存在负向短期修正：上月异常高增，本月增量倾向于下调。19.（计算与分析）为研究吸烟与肺癌的关联，进行1:1配对病例对照研究，共800对。每对记录吸烟状况（吸烟/不吸烟），得如下表：对照吸烟不吸烟病例吸烟220320不吸烟140120（1）计算McNemar检验统计量；（2）给出优势比OR估计及95%置信区间；（3）若仅收集到400对，但保持不一致对比例不变，问OR估计值如何变化？区间宽度如何变化？（4）解释配对设计相比独立样本设计的优势；（5）若怀疑存在多次匹配混杂，请提出一种改进分析方法。答案与解析：（1）不一致对：320（病例吸烟对照不）vs140（对照吸烟病例不），χ²=(320−140)²/(320+140)=180²/460=70.43，p<0.001。（2）OR=320/140=2.29，95%CI：e^{ln(OR)±1.96√(1/320+1/140)}=e^{0.83±1.96×0.098}=(1.89,2.77)。（3）OR不变，因OR仅依赖不一致对比例；区间宽度↑√2倍，因信息量减半。（4）配对设计控制个体层面混杂（年龄、性别、职业等），提高效能。（5）采用条件logistic回归，引入潜在混杂变量作为协变量，或采用分层McNemar。20.（综合建模）某城市欲预测PM2.5浓度，收集2022年全年逐小时数据共8760条，变量包括：PM2.5（μg/m³）、车流量（千辆/小时）、气温（℃）、相对湿度（%）、风速（m/s）、压强（hPa）。经探索发现：•PM2.5存在明显昼夜与季节效应；•车流量与PM2.5呈正相关，但滞后1–3小时；•风速与