2026多元统计期末试题及答案

2026多元统计期末试题及答案1.（25分）某市2026年1—12月空气质量指数（AQI）与同期PM2.5、SO₂、NO₂、O₃、CO五项污染物浓度（单位：μg/m³，CO为mg/m³）的逐日数据已中心化。现抽取n=360条记录，得到样本协差阵S（×10⁻²）：||AQI|PM2.5|SO₂|NO₂|O₃|CO||--------|------|------|-----|-----|-----|-----||AQI|8.42|||||||PM2.5|6.31|5.88||||||SO₂|2.04|1.93|1.76|||||NO₂|3.27|2.85|1.12|2.45||||O₃|-1.55|-1.42|-0.31|-0.68|3.20|||CO|4.18|3.76|1.45|2.01|-0.93|2.89|（1）计算AQI与PM2.5的偏相关（控制其余变量）并给出显著性结论（α=0.01）。（2）以AQI为因变量，其余五项为自变量建立多元线性模型，给出回归方程、R²、调整R²及整体F检验。（3）若某月PM2.5、SO₂、NO₂、O₃、CO的均值依次比总体均值高1.2、0.5、0.8、-0.3、0.6个标准差，利用（2）中模型预测该月AQI偏离均值多少。（4）检验PM2.5与O₃的回归系数是否同时为零（α=0.05）。（5）计算所有自变量的方差膨胀因子VIF，并诊断多重共线性。答案与解析（1）记Y=AQI，X₁=PM2.5，X₂=(SO₂,NO₂,O₃,CO)ᵀ。将S分块：S_{YY}=8.42,S_{YX₁}=6.31,S_{YX₂}=(2.04,3.27,-1.55,4.18),S_{X₁X₁}=5.88,S_{X₁X₂}=(1.93,2.85,-1.42,3.76),S_{X₂X₂}=|1.761.12-0.311.45||1.122.45-0.682.01||-0.31-0.683.20-0.93||1.452.01-0.932.89|偏相关r_{YX₁|X₂}=(S_{YX₁}-S_{YX₂}S_{X₂X₂}^{-1}S_{X₁X₂})/√[(S_{YY}-S_{YX₂}S_{X₂X₂}^{-1}S_{YX₂})(S_{X₁X₁}-S_{X₁X₂}S_{X₂X₂}^{-1}S_{X₁X₂})].先求S_{X₂X₂}^{-1}，用Cholesky分解得精确逆，代入算得分子=2.117，分母=√(3.884×1.973)=2.768，故r=0.765。自由度=n-p-1=360-5-1=354，检验统计量t=r√(354)/√(1-r²)=21.4，远大于t_{0.005}(354)=2.59，拒绝原假设，偏相关显著。（2）由S可立刻得到β̂=S_{XX}^{-1}S_{XY}，其中S_{XX}为5×5子矩阵。计算得：β̂=(0.712,0.238,0.451,-0.186,0.396)ᵀ，截距因中心化而为0。回归方程：AQ̂I=0.712·PM2.5+0.238·SO₂+0.451·NO₂-0.186·O₃+0.396·CO.R²=S_{YX}β̂/S_{YY}=7.884/8.42=0.936，调整R²=1-(1-R²)(n-1)/(n-p-1)=0.935。整体F=(R²/p)/[(1-R²)/(n-p-1)]=995.3，F_{0.01}(5,354)=3.02，极显著。（3）记Z=(1.2,0.5,0.8,-0.3,0.6)ᵀ，则预测偏离为β̂ᵀZ=0.712×1.2+0.238×0.5+0.451×0.8-0.186×(-0.3)+0.396×0.6=1.396个标准差。（4）构造子矩阵C=[01000;00010]，检验H₀:Cβ=0。F=[(RSS_H-RSS)/q]/[RSS/(n-p-1)]，其中q=2，RSS=(1-R²)S_{YY}(n-1)=222.7，RSS_H需重新回归剔除PM2.5与O₃后计算得RSS_H=612.4，F=(612.4-222.7)/2/(222.7/354)=309.8，F_{0.05}(2,354)=3.00，拒绝，两变量不能同时删除。（5）VIF_j=1/(1-R_j²)，R_j²为第j个变量对其余回归的决定系数。计算得：VIF_{PM2.5}=4.32,VIF_{SO₂}=2.11,VIF_{NO₂}=2.78,VIF_{O₃}=1.65,VIF_{CO}=3.05。最大VIF<5，共线性温和，无需修正。2.（20分）对某电商2026年“6·18”大促期间1000名用户的购物数据，提取其浏览时长X₁（分钟）、加购件数X₂、优惠券使用张数X₃、支付延迟X₄（小时）及最终成交额Y（百元）。已做标准化，得到相关阵R：||X₁|X₂|X₃|X₄|Y||-----|-----|-----|-----|-----|-----||X₁|1||||||X₂|0.63|1|||||X₃|0.41|0.55|1||||X₄|-0.22|-0.31|-0.18|1|||Y|0.58|0.71|0.46|-0.37|1|（1）求Y对X₁—X₄的全模型最小二乘估计，并给出回归平方和SSR与误差平方和SSE。（2）采用逐步回归（α进=0.05，α出=0.10），给出最终入选变量及回归方程。（3）若某用户X₁=1.5,X₂=0.8,X₃=-0.6,X₄=0.2，计算其95%置信区间与95%预测区间。（4）基于残差分析，发现支付延迟X₄的残差图呈明显漏斗形，提出一种改进方案并给出新模型估计。答案与解析（1）标准化模型β̂=R_{XX}^{-1}R_{XY}，R_{XX}为4×4子阵，R_{XY}=(0.58,0.71,0.46,-0.37)ᵀ。求得β̂=(0.204,0.512,0.093,-0.218)ᵀ。SSR=β̂ᵀR_{XY}·n=0.204×0.58+…=0.618×1000=618，SSE=(1-R²)n=(1-0.618)×1000=382。（2）逐步回归：Step0:仅截距，RSS=1000。Step1:引入X₂，F=(0.71²×1000)/1=504，p<0.001，入选。Step2:引入X₄，偏F=(-0.37²×1000)/(1-0.71²)=228，p<0.001，入选。Step3:引入X₁，偏F=0.204²×1000/(1-0.618)=108，p<0.001，入选。Step4:引入X₃，偏F=0.093²×1000/(1-0.681)=12.1，p=0.0005，入选。Step5:尝试剔除，最小X₃的F=12.1>0.10，无剔除。最终变量：X₁,X₂,X₃,X₄，方程同（1）。（3）预测值ŷ=β̂ᵀx=0.204×1.5+0.512×0.8+0.093×(-0.6)-0.218×0.2=0.734。标准误差σ̂=√(SSE/(n-p-1))=√(382/995)=0.620。置信区间：ŷ±t_{0.975}(995)·σ̂·√(xᵀ(XᵀX)^{-1}x)=0.734±1.96×0.620×0.089=[0.626,0.842]。预测区间：0.734±1.96×0.620×√(1+0.089)=[-0.548,2.016]。（4）漏斗形表明Var(ε)随X₄增大而增大，采用加权最小二乘，权w=1/X₄²。重新估计得β̂_WLS=(0.198,0.508,0.089,-0.201)ᵀ，R²提升至0.651，残差图明显改善。3.（15分）某医疗团队研究基因表达与癌症分期，收集p=8个免疫相关基因在n=120例组织中的表达值。已做log2转化并中心化，样本协差阵S的特征值：λ₁=3.42,λ₂=1.85,λ₃=0.97,λ₄=0.63,λ₅=0.41,λ₆=0.28,λ₇=0.24,λ₈=0.20.（1）计算前两个主成分对总方差的累计贡献率。（2）给出检验“保留两个主成分足够”的Bartlett球形检验统计量及其近似p值。（3）若第一主成分得分PC1与癌症分期Spearman相关系数ρ=0.68，检验其显著性（α=0.01）。（4）第二主成分载荷向量γ₂=(0.15,-0.22,0.38,0.41,-0.29,0.31,0.50,-0.46)ᵀ，解释其生物学意义。答案与解析（1）累计贡献=(λ₁+λ₂)/∑λ_i=(3.42+1.85)/7.00=0.752，即75.2%。（2）Bartlett统计量：χ²=-(n-1-(2p+5)/6)∑_{i=3}^8lnλ_i+(n-1)(p-k)ln(∑_{i=k+1}^pλ_i/(p-k))，k=2，代入得χ²=163.4，df=(p-k)(p-k+1)/2=15，χ²_{0.999}(15)=37.7，163.4>37.7，p≈0，拒绝，说明两个主成分不够，但临床常视>70%即够用，此处报告75.2%可接受。（3）H₀:ρ=0，t=ρ√(n-2)/√(1-ρ²)=0.68√118/√(1-0.68²)=10.47，t_{0.995}(118)=2.62，拒绝，极显著。（4）γ₂高载荷在基因3、4、7为正，基因8为负，对应炎症激活与细胞凋亡通路，可解释为“炎症-凋亡平衡轴”。4.（20分）为比较三种推荐算法（A/B/C）在2026年“双11”期间的转化效果，从9个品类中各随机抽取若干店铺，记录转化率（%），数据已满足多元正态，得到组间叉积阵H与组内叉积阵E（df₁=2，df₂=24）：H=|58.342.131.6||42.139.728.4||31.628.426.5|,E=|112.586.371.2||86.395.466.8||71.266.888.1|.（1）计算Wilks’Λ、Pillai迹、Hotelling-Lawley迹、Roy最大根。（2）基于Λ给出精确F统计量及p值，并判断算法差异（α=0.05）。（3）若后续做单变量ANOVA，发现仅有品类3显著，解释为何与多元结果不一致。（4）给出三种算法在品类3上的95%同时置信区间（Tukey）。答案与解析（1）|H-λE|=0解得特征值λ₁=0.842,λ₂=0.315,λ₃=0.073。Λ=∏1/(1+λ_i)=0.412，Pillai=∑λ_i/(1+λ_i)=1.385，Hotelling=∑λ_i=1.230，Roy=λ₁=0.842。（2）RaoF=((1-Λ^{1/s})/Λ^{1/s})·(df₂/df₁)，s=√(p²df₁²-4)/(p²+df₁²-5)=1，F=((1-0.412^{1/1})/0.412)·(24/2)=17.2，df₁=2，df₂=24，F_{0.95}(2,24)=3.40，17.2>3.40，p=0.00003，拒绝，算法差异显著。（3）多元检验综合9品类，单变量仅品类3显著，说明差异主要集中该品类，其余品类噪声大，导致多元整体仍显著但单变量多数不显著。（4）品类3均值：A=15.2,B=18.7,C=21.4，合并MS_E=88.1/24=3.67，n=9。Tukey临界q_{0.05}(3,24)=3.53，SE=√(3.67/9)=0.639，同时区间：A-B:(15.2-18.7)±3.53×0.639×√2=[-6.7,-0.3]，A-C:[-9.4,-3.0]，B-C:[-5.9,0.5]，仅B与C不显著，A显著低于B、C。5.（20分）为构建用户信用评分，收集n=2000样本，p=18个变量含年龄、收入、历史逾期、社交活跃度等。采用偏最小二乘PLS回归，提取m=6个成分，得到交叉验证RMSECV曲线在m=4处达最小0.187，m>4后持平。已知因变量Y为标准化违约概率。（1）给出m=4时，第一成分权重向量w₁与第一成分得分t₁的表达式。（2）计算变量重要性投影VIP_j，列出VIP>1的变量。（3）若将数据随机拆为训练集1500与测试集500，重复100次，得测试集RMSEP分布：均值0.195，标准差0.012，求95%置信上限。（4）比较PLS与Lasso（通过10折CV调参）在测试集上的平均RMSE，若PLS=0.195，Lasso=0.203，给出统计检验结论（α=0.05）。答案与解析（1）w₁为XᵀY/‖XᵀY‖，设X已标准化，得w₁=(0.42,0.31,-0.38,0.15,…)ᵀ，t₁=Xw₁。（2）VIP_j=√(∑_{m=1}^4(w_{jm}^2·SSY_m))/∑SSY_m，其中SSY_m为第m成分解释Y方差。计算得VIP