统计学复习试题含答案

统计学复习试题含答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.某高校欲了解本科生每日平均睡眠时间，随机抽取400名学生，测得样本均值为7.2小时，标准差为1.5小时。若构造总体均值的95%置信区间，则区间宽度约为A.0.15小时 B.0.29小时 C.0.44小时 D.0.58小时答案：B解析：区间宽度=2×z₀.₀₂₅×s/√n=2×1.96×1.5/√400=0.294小时。2.在单因素方差分析中，若组间均方MSB=120，组内均方MSE=30，则F统计量的值为A.0.25 B.4 C.90 D.150答案：B解析：F=MSB/MSE=120/30=4。3.设随机变量X~N(μ,σ²)，则P(|X−μ|≤1.96σ)等于A.0.90 B.0.95 C.0.975 D.0.99答案：B解析：由标准正态分布对称性，P(|Z|≤1.96)=0.95。4.对同一批数据分别拟合线性回归模型Y=β₀+β₁X+ε与二次模型Y=β₀+β₁X+β₂X²+ε，若二次项系数β₂显著不为0，则线性模型的残差平方和SSE₁与二次模型的SSE₂满足A.SSE₁<SSE₂ B.SSE₁=SSE₂ C.SSE₁>SSE₂ D.无法确定答案：C解析：二次模型增加一个参数，拟合优度不可能下降，故SSE₂≤SSE₁，若β₂≠0则严格小于。5.在假设检验中，若显著性水平α从0.05降到0.01，则A.Ⅰ型错误概率减小，检验功效增大 B.Ⅰ型错误概率减小，检验功效减小C.Ⅰ型错误概率增大，检验功效减小 D.Ⅰ型错误概率增大，检验功效增大答案：B解析：α减小，拒绝域缩小，Ⅰ型错误概率减小，同时β增大，功效1−β减小。6.某城市过去10年GDP（单位：万亿元）分别为1.2,1.4,1.5,1.7,1.9,2.0,2.2,2.4,2.6,2.8，若采用3期移动平均预测下一年，则预测值为A.2.53 B.2.60 C.2.67 D.2.73答案：C解析：取最近三期均值(2.4+2.6+2.8)/3=2.67。7.设X₁,X₂,…,Xₙ为来自指数分布Exp(λ)的样本，则λ的极大似然估计为A.1/X̄ B.X̄ C.n/∑Xᵢ D.∑Xᵢ/n答案：A解析：似然函数L=λⁿexp(−λ∑Xᵢ)，对λ求导得n/λ−∑Xᵢ=0⇒λ̂=n/∑Xᵢ=1/X̄。8.在列联表χ²独立性检验中，若期望频数小于5的单元格比例超过20%，应优先采用A.增大样本量 B.Fisher精确检验 C.合并行或列 D.校正χ²统计量答案：B解析：期望频数过小，χ²近似失效，Fisher精确检验不依赖大样本。9.若随机变量X的偏度为0，峰度为3，则X一定服从A.正态分布 B.对称分布 C.均匀分布 D.无法确定答案：D解析：偏度0且峰度3是正态分布的必要条件，但非充分，例如t分布自由度>30亦接近该特征。10.对某时间序列建立AR(1)模型Xₜ=0.8Xₜ₋₁+εₜ，若序列平稳，则其自相关函数ρ(k)为A.0.8ᵏ B.0.8k C.0.2ᵏ D.0.8/k答案：A解析：AR(1)自相关函数呈指数衰减，ρ(k)=φᵏ=0.8ᵏ。二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列关于抽样分布的描述正确的有A.样本均值的标准误随样本量增大而减小B.若总体不服从正态，样本均值的抽样分布一定不服从正态C.当n≥30时，样本均值的抽样分布可用正态近似D.样本方差S²的期望等于总体方差σ²E.t分布比标准正态分布尾部更厚答案：ACDE解析：B错，中心极限定理保证大样本下样本均值近似正态。12.在线性回归模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ²I)中，下列关于最小二乘估计β̂的说法正确的有A.β̂是β的无偏估计B.Cov(β̂)=σ²(XᵀX)⁻¹C.残差e=Y−Xβ̂与拟合值Ŷ独立D.若X列满秩，β̂唯一E.β̂的分布为多元正态答案：ABDE解析：C错，残差与拟合值仅不相关，非独立。13.下列属于非参数检验方法的有A.Wilcoxon符号秩检验 B.Kruskal-Wallis检验 C.Mann-WhitneyU检验 D.符号检验 E.游程检验答案：ABCDE14.关于贝叶斯估计，下列说法正确的有A.后验分布∝似然函数×先验分布B.若采用平方误差损失，贝叶斯估计为后验均值C.先验分布越平坦，贝叶斯估计越接近MLED.贝叶斯估计不依赖样本量E.可信区间与置信区间含义相同答案：ABC解析：D错，样本量影响后验；E错，可信区间概率陈述基于后验分布，频率学派置信区间基于重复抽样。15.下列关于主成分分析（PCA）的说法正确的有A.主成分方向对应协方差矩阵特征向量B.第一主成分解释方差最大C.主成分得分互不相关D.标准化与否不影响主成分方向E.主成分可用来降维答案：ABCE解析：D错，若变量量纲不同，标准化会改变协方差结构，方向随之改变。三、填空题（每空2分，共20分）16.设X~B(n=100,p=0.2)，用正态近似计算P(X≤18)时，需做连续性校正，其标准化值为________。答案：−0.5解析：Z=(18+0.5−np)/√[np(1−p)]=(18.5−20)/√16=−1.5/4=−0.375，但题目问“标准化值”指分子，即18.5−20=−1.5，除以标准差4得−0.375，若仅填校正后分子差值为−1.5，除以4得−0.375，但空格仅需写出校正后差值除以标准差，故填−0.375。然而按惯例“标准化值”即Z值，故填−0.375。（注：若严格按空格要求填数值，填−0.375）17.若随机变量X的矩母函数为Mₓ(t)=exp(2t+5t²)，则E(X)=________，Var(X)=________。答案：2；10解析：Mₓ(t)=exp(μt+½σ²t²)⇒μ=2,σ²=10。18.对某批产品进行不放回抽样，批量N=500，样本量n=50，发现不合格品3件，则不合格率p的近似95%置信区间为________。（保留三位小数）答案：[0.020,0.100]解析：有限总体校正，p̂=3/50=0.06，SE=√[p̂(1−p̂)/n×(N−n)/(N−1)]=√[0.06×0.94/50×450/499]=0.032，95%CI=0.06±1.96×0.032≈[−0.003,0.123]，截断[0,1]得[0.000,0.123]，但用Wilson得分更准，计算得[0.020,0.100]。19.设X₁,X₂,…,Xₙ为来自U(0,θ)的样本，则θ的矩估计为________，极大似然估计为________。答案：2X̄；max(Xᵢ)解析：一阶矩E(X)=θ/2⇒矩估计θ̂=2X̄；似然函数L=θ⁻ⁿI_{max(Xᵢ)≤θ}，在θ=max(Xᵢ)处取最大。20.若某变量服从泊松分布，λ=4，则其众数为________，中位数约为________。答案：4；4解析：泊松众数=⌊λ⌋或⌈λ⌉，λ=4整数，众数4；中位数近似λ，亦为4。四、计算与证明题（共45分）21.（8分）某电商平台想比较A、B两种推荐算法对转化率的影响，随机将1000名用户均分两组。A组转化45人，B组转化60人。（1）建立假设，检验两种算法转化率是否显著不同（α=0.05）。（2）计算检验统计量与p值，并给出结论。（3）求两组转化率差值的95%置信区间。答案与解析：（1）H₀:p_A=p_B，H₁:p_A≠p_B。（2）p̂_A=45/500=0.09，p̂_B=60/500=0.12，合并率p̂=(45+60)/1000=0.105，Z=(0.09−0.12)/√[0.105×0.895×(1/500+1/500)]=−0.03/0.0194=−1.546，双侧p=2×Φ(−1.546)=0.122>0.05，不拒绝H₀。（3）差值d̂=−0.03，SE=√[0.09×0.91/500+0.12×0.88/500]=0.0195，95%CI=−0.03±1.96×0.0195=[−0.068,0.008]。22.（10分）设随机变量X的密度函数为f(x)=θx^{θ−1},0<x<1,θ>0。（1）求θ的矩估计θ̂₁与极大似然估计θ̂₂。（2）证明θ̂₂是θ的充分统计量。（3）若样本量为n，求θ̂₂的渐近分布。答案与解析：（1）E(X)=∫₀¹xθx^{θ−1}dx=θ/(θ+1)，令X̄=θ/(θ+1)⇒θ̂₁=X̄/(1−X̄)。似然L=θⁿ∏xᵢ^{θ−1}，lnL=nlnθ+(θ−1)∑lnxᵢ，d/dθ=n/θ+∑lnxᵢ=0⇒θ̂₂=−n/∑lnxᵢ。（2）由因子分解定理，L=θⁿexp[(θ−1)∑lnxᵢ]=g(θ,∑lnxᵢ)h(x)，其中h(x)=1，故T=∑lnxᵢ为充分统计量，θ̂₂=−n/T，故θ̂₂亦为充分。（3）I(θ)=−E[d²lnL/dθ²]=n/θ²，由MLE渐近正态性，θ̂₂~AN(θ,θ²/n)。23.（9分）某连锁超市记录了过去24个月的销售额（单位：百万元）并拟合线性趋势模型Ŷₜ=50+1.2t，t=1,2,…,24，残差平方和SSE=96。（1）计算标准误差s_e。（2）预测第30个月的销售额，并给出其95%预测区间。（3）若实际第25个月销售额为85，问该值是否异常（α=0.05）？答案与解析：（1）n=24，参数k=2，s_e=√[SSE/(n−k)]=√[96/22]=2.09。（2）t₀=30，Ŷ=50+1.2×30=86，预测误差SE=s_e√[1+1/n+(t₀−t̄)²/Sxx]，t̄=12.5，Sxx=∑(t−12.5)²=1430，SE=2.09√[1+1/24+(30−12.5)²/1430]=2.09×1.15=2.41，t₀.₀₂₅,₂₂=2.074，95%PI=86±2.074×2.41=[81.0,91.0]。（3）第25个月Ŷ=50+1.2×25=80，残差=85−80=5，学生化残差=5/(2.09√[1+1/24+(25−12.5)²/1430])=5/2.28=2.19>2.074，异常。24.（8分）设(X,Y)服从二维正态，E(X)=E(Y)=0，Var(X)=Var(Y)=1，Corr(X,Y)=ρ。（1）求条件期望E(Y|X=x)。（2）求条件方差Var(Y|X=x)。（3）证明ρ=0与X,Y独立等价。答案与解析：（1）E(Y|X=x)=ρx。（2）Var(Y|X=x)=1−ρ²。（3）二维正态密度可写为f(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)，当ρ=0，f_{Y|X}=f_Y，故f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)，即独立；反之若独立，则Cov(X,Y)=0⇒ρ=0。25.（10分）某研究收集n=100对双胞胎，分别测量其IQ得分，欲检验遗传因素是否显著，建立模型：令Dᵢ=Xᵢ−Yᵢ，假设Dᵢ~N(μ_D,σ²)。（1）若测得D̄=5，S_D=15，检验H₀:μ_D=0vsH₁:μ_D≠0（α=0.05）。（2）计算检验功效，当真实μ_D=3（σ仍=15）。（3）若希望功效达到0.8，问