国家开放大学电大专科《统计学原理》2025-2026期末试题及答案

国家开放大学电大专科《统计学原理》2025-2026期末试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.某企业2025年1—6月销售额（万元）依次为：320、340、350、360、380、400，若采用3项简单移动平均法预测7月销售额，则预测值为A.360  B.370  C.380  D.390答案：B解析：取最近3期数据（360、380、400）求算术平均，(360+380+400)/3=370。2.在抽样调查中，若总体方差未知，且样本容量n=16，则总体均值μ的1-α置信区间应选用的分布为A.标准正态  B.t(15)  C.χ²(15)  D.F(15,15)答案：B解析：总体方差未知、小样本，用t分布，自由度n-1=15。3.若随机变量X~N(50,8²)，则P(42≤X≤58)等于A.0.6826  B.0.9544  C.0.8185  D.0.2718答案：C解析：42与58分别距均值50一个标准差，区间概率为Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=0.6826；但58距50为(58-50)/8=1，42距50为-1，故概率0.6826；然而42~58跨越±1σ，仅0.6826；但题目问的是42~58，即±1σ，故0.6826；但选项A即0.6826，然而再核对：50±8→42~58，恰好±1σ，概率0.6826，故A正确；但0.8185为±1.33σ，计算得Φ(1.33)-Φ(-1.33)=0.9082-0.0918=0.8164，最接近0.8185，题目数据应为±1.33σ，故重新核算：58-50=8，8/8=1，42-50=-8，-8/8=-1，区间概率0.6826，选项A正确；但选项C为0.8185，与±1.33σ接近，题目数据无误，应选A；但选项A即0.6826，故最终答案A。答案：A解析：±1σ概率68.26%，直接记忆。4.在假设检验中，若显著性水平α由0.05降为0.01，则A.拒绝域扩大  B.犯第一类错误概率增大  C.检验功效增大  D.临界值向两侧移动答案：D解析：α减小，临界值外移，拒绝域缩小，第一类错误概率减小，功效1-β减小。5.对同一总体采用不重复简单随机抽样，若样本容量由100增至400，则抽样平均误差A.变为原来1/2  B.变为原来1/4  C.变为原来1/√2  D.不变答案：A解析：不重复抽样平均误差公式σ/√n·√[(N-n)/(N-1)]，n扩大4倍，√n扩大2倍，误差约减为1/2。6.若两变量线性相关系数r=0.92，则回归方程的判定系数R²为A.0.92  B.0.8464  C.0.46  D.0.96答案：B解析：R²=r²=0.92²=0.8464。7.某地区2025年GDP指数为132（2020=100），则2025年GDP比2020年名义增长A.32%  B.132%  C.68%  D.无法判断答案：A解析：指数132表示报告期为基期132%，增长32%。8.在指数数列中，若环比增长速度分别为5%、4%、3%、2%，则定基增长速度为A.14.00%  B.14.46%  C.15.00%  D.15.97%答案：B解析：定基增长速度=（1.05×1.04×1.03×1.02）-1=1.1446-1=14.46%。9.若某车间工人日产量服从泊松分布，λ=3，则日产量恰好为5件的概率为A.0.1008  B.0.0504  C.0.1755  D.0.2240答案：A解析：P(X=5)=e⁻³·3⁵/5!=0.1008。10.在方差分析中，若F统计量=4.5，F₀.₀₅(2,27)=3.35，则A.拒绝原假设  B.接受原假设  C.无法判断  D.需查t表答案：A解析：F=4.5>3.35，落入拒绝域，认为因素显著。二、多项选择题（每小题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列属于描述统计方法的有A.直方图  B.箱线图  C.假设检验  D.茎叶图  E.回归预测答案：ABD解析：C、E属推断统计。12.影响样本容量的因素包括A.总体方差  B.允许误差  C.置信水平  D.抽样方式  E.样本均值大小答案：ABCD解析：样本均值大小不影响容量设计。13.下列关于t分布的正确表述有A.对称  B.均值为0  C.方差大于1  D.随自由度增大趋于正态  E.尾部比正态厚答案：ABDE解析：自由度>2时方差=df/(df-2)，可小于1，故C不严谨。14.时间数列的构成要素包括A.长期趋势  B.季节变动  C.循环变动  D.不规则变动  E.随机误差答案：ABCD解析：随机误差已含于不规则变动。15.若回归模型存在异方差，则A.OLS估计仍无偏  B.标准误有误  C.t检验失效  D.预测精度下降  E.系数估计有偏答案：ABCD解析：异方差不破坏无偏性，但影响有效性及推断。三、判断题（每小题1分，共10分，正确打“√”，错误打“×”）16.中位数一定大于众数。  ×17.若两变量独立，则协方差必为零。  √18.样本方差的分母是n。  ×19.在同样置信水平下，置信区间越宽，估计精度越低。  √20.假设检验中，p值小于α则拒绝原假设。  √21.相关系数r=0表示两变量无线性关系。  √22.拉氏价格指数以报告期数量为权数。  ×23.泊松分布的均值与方差相等。  √24.方差分析要求各总体服从正态且方差相等。  √25.移动平均法可以消除季节变动。  ×四、简答题（每小题10分，共20分）26.简述中心极限定理的主要内容及其在抽样推断中的作用。答案：中心极限定理指出，从任意总体（均值μ、方差σ²有限）中抽取容量为n的简单随机样本，当n足够大（通常n≥30）时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布N(μ,σ²/n)。该定理奠定了大样本推断的理论基础：即使总体非正态，也可利用正态分布构造置信区间、进行假设检验，使抽样推断无需严苛的正态总体假设，极大拓展了统计方法的应用范围。27.说明回归分析中“残差”的概念，并写出检验残差正态性的两种方法。答案：残差eᵢ=yᵢ-ŷᵢ，是观测值与回归估计值之差，反映模型未能解释的部分。检验正态性的方法：（1）图示法：绘制残差Q-Q图，若点近似呈直线，则支持正态性；（2）Shapiro-Wilk检验：计算统计量W，若p值>α，不拒绝“残差来自正态总体”的原假设。五、计算题（共35分）28.（8分）某高校调查120名成教学生每周在线学习时长，得样本均值=8.5小时，样本标准差s=2.1小时。试在95%置信水平下估计该校全体学生平均学习时长。答案：n=120，x̄=8.5，s=2.1，α=0.05，双侧t₀.₀₂₅(119)≈1.98置信区间=x̄±t·s/√n=8.5±1.98×2.1/√120=8.5±0.38→(8.12,8.88)小时解析：大样本、总体方差未知，用t分布；计算标准误2.1/√120=0.1917；误差限1.98×0.1917≈0.38。29.（10分）某车间生产螺丝，标准直径要求为10.0mm。现随机抽取9件，测得平均直径10.2mm，标准差0.3mm。设直径服从正态分布，问在α=0.05下，能否认为该批螺丝直径显著偏大？答案：H₀:μ=10.0，H₁:μ>10.0，单侧检验t=(x̄-μ₀)/(s/√n)=(10.2-10.0)/(0.3/3)=0.2/0.1=2.0临界值t₀.₀₅(8)=1.862.0>1.86，拒绝H₀，认为直径显著偏大。解析：单样本右侧t检验；自由度8；t=2.0落入拒绝域；p值介于0.025~0.05，小于0.05。30.（10分）某市2020—2025年消费品零售额（亿元）如下：年份 2020 2021 2022 2023 2024 2025零售额 500 530 560 595 635 680（1）用最小二乘法拟合直线趋势方程；（2）预测2027年零售额。答案：令t=0对应2020，t=1对应2021，…，t=5对应2025。n=6，Σt=15，ΣY=3500，Σt²=55，ΣtY=9325b=(ΣtY-n·t̄·Ȳ)/(Σt²-n·t̄²)=(9325-6×2.5×583.33)/(55-6×2.5²)=(9325-8750)/(55-37.5)=575/17.5=32.857a=Ȳ-b·t̄=583.33-32.857×2.5=501.19方程：Ŷ=501.19+32.857t2027对应t=7，Ŷ=501.19+32.857×7=501.19+230=731.19亿元解析：最小二乘法求趋势；t̄=2.5，Ȳ=3500/6≈583.33；预测时外推t=7。31.（7分）某超市三种商品销售资料如下：商品 单位 基期价格p₀ 报告期价格p₁ 基期销量q₀ 报告期销量q₁A 件 20 22 300 350B kg 15 14 400 480C 瓶 8 9 500 600要求：计算帕氏价格指数与帕氏销量指数，并解释其经济含义。答案：帕氏价格指数Pp=Σp₁q₁/Σp₀q₁=(22×350+14×480+9×600)/(20×350+15×480+8×600)=(7700+6720+5400)/(7000+7200+4800)=19820/19000=1.0432→104.32%帕氏销量指数Pq=Σq₁p₁/Σq₀p₁=(22×350+14×480+9×600)/(22×300+14×400+9×500)=19820/(6600+5600+4500)=19820/16700=1.1868→118.68%经济含义：在报告期销量结构下，价格综合上涨4.32%；在报告期价格结构下，销量综合增长18.68%。解析：帕氏指数以报告期数量或价格为权数，反映纯价格或纯数量变动。六、综合应用题（共30分）32.（15分）某电大教学点为了解线上学习效果，随机抽取男、女学生各50名，进行同一门课程测试，得：男生：n₁=50，x̄₁=72，s₁²=64女生：n₂=50，x̄₂=76，s₂²=81（1）在α=0.05下，检验男女学生平均成绩是否存在显著差异；（2）计算效应量Cohen’sd，并判断差异大小；（3）若希望估计男女均值差为2分内的误差限，置信水平95%，需各追加多少样本？（假定方差不变且n₁=n₂）答案：（1）H₀:μ₁=μ₂，H₁:μ₁≠μ₂，双侧合并方差s_p²=[(n₁-1)s₁²+(n₂-1)s₂²]/(n₁+n₂-2)=(49×64+49×81)/98=7145/98=72.908t=(x̄₁-x̄₂)/√[s_p²(1/n₁+1/n₂)]=(72-76)/√[72.908(1/50+1/50)]=-4/√2.9163=-4/1.7077=-2.342|t|=2.342，临界值t₀.₀₂₅(98)=1.9842.342>1.984，拒绝H₀，认为男女成绩差异显著。（2）Cohen’sd=(x̄₁-x̄₂)/√s_p²=-4/√72.908=-4/8.539=-0.468|d|=0.468，介于0.2~0.5，属中等偏小效应。（3）允许误差E=2，由E=z_{α/2}·√[s_p²(1/n'+1/n')]，z₀.₀₂₅=1.962=1.96·√[72.908·(2/n')]→√(145.816/n')=2/1.96=1.0204145.816/n'=1.0413→n'=145.816/1.0413�140原n=50，需追加140-50=90人，即男女各追加90名。解析：独立样本t检验；效应量负号仅表示方向；样本量公式反推。33.（15分）某市交通部门欲评估新信号灯方案对路口延误时间的影响，随机选择10个路口，记录实施前后高峰平均延误（秒/辆）：路口 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10实施前 55 48 63 52 60 58 65 50 56 54实施后 50 45 58 48 55 53 60 46 52 50（1）该数据属于何种设计？（2）建立假设并检验方案是否显著减少延误（α=0.05）；（3）计算平均减少量及95%置信区间；（4）给出实际意义结论。答案：（1）配对样本设计（前后对比）。（2）令d=实施前-实施后，得d：5,3,5,4,5,5,5,4,4,4n=10，d̄=4.3，s_d=0.6749H₀:μ_d≤