贵州省遵义市播州区2025-2026学年高一上学期学业水平监测数学试题（有解析）

播州区2025~2026学年度第一学期学业水平监测高一年级数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.2.所有题目答案均写在答题卡上，填写在试卷、草稿纸上无效3.选择题、判断题用2B铅笔涂黑，其他试题用黑色签字笔或黑色墨水笔答题；在规定区域以外的答题不给分.4.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，那么（）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.函数零点所在区间是（）A. B. C. D.4.年月日，国家统计局发布了“年全国专利密集型产业增加值数据公告”.年全国专利密集型产业增加值总量为千亿元，其内部构成用雷达图表示如图，以下说法正确的是：（）A.医药医疗产业在年全国专利密集型产业增加值的构成中规模最小B.信息通信技术服务业在年全国专利密集型产业增加值的构成中规模最大C.新装备制造业在年全国专利密集型产业增加值的构成中占比大于D.新装备制造业在年全国专利密集型产业增加值的构成中占比小于5.已知函数的大致图象如图所示，则其解析式可能是（）A. B.C. D.6.已知，，，则，，大小关系为（）A B. C. D.7.17世纪时，科学技术的飞速发展对计算技术的改进提出了前所未有的需求.为了简化数值计算，对数应运而生.利用，计算有多少位数（）A.19 B.20 C.30 D.648.已知函数定义域为，对，，且，当时，，则下列结论成立的是（）A. B.C D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0B.已知样本数据5，6，6，7，7，8，11，13，则该组数据的60%分位数为7C.已知的标准差为2，则，，，的方差为8D.已知数据的平均数，方差，若把剔除，则剩余这9个数的方差变大10.若，是正实数且满足，则以下选项中正确的有（）A.最小值为2 B.最小值为1C. D.11.已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.若函数有四个零点，则取值范围为B.若函数有四个零点，则的取值范围为C.函数的零点个数为3个D.函数的零点个数为4个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.幂函数过点，则__________.13.如图，元件通过电流的概率均为，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在，之间通过的概率是__________.14.已知函数，若实数，满足，则的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，计算的值；（2）计算.16.已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.17.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，，第二组，，第八组，，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.18.用水清洗一堆蔬菜上的农药，已知用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用个单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为.（1）试确定的值，并解释其实际意义；（2）根据题目写出函数应该满足的条件和具有的性质，在以下所给函数模型中选择一个最合适的，并求出解析式；①，②，③（3）现有个单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，根据（2）计算得到的解析式，确定用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，说明理由.19.函数，.（1）若是偶函数，求实数的值；（2）若在是增函数，试根据单调性的定义求实数的取值范围；（3）若是偶函数，，在上有两个零点，，求证：且.播州区2025~2026学年度第一学期学业水平监测高一年级数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.2.所有题目答案均写在答题卡上，填写在试卷、草稿纸上无效3.选择题、判断题用2B铅笔涂黑，其他试题用黑色签字笔或黑色墨水笔答题；在规定区域以外的答题不给分.4.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，那么（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的并集和补集的定义进行求解即可.【详解】因为，，所以，又因为，所以.故选：C2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是存在命题进行判断即可.【详解】因为全称命题的否定是存在命题，所以”的否定是，.故选：B3.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据零点存在性定理：若函数在区间上连续，且，则在内存在零点.【详解】因为的定义域为，和在均单调递增，故在上单调递增，因为，，因此，根据零点存在性定理，的零点在区间内；因为，所以，无零点；均大于0，对应区间也无零点.故选：A.4.年月日，国家统计局发布了“年全国专利密集型产业增加值数据公告”.年全国专利密集型产业增加值总量为千亿元，其内部构成用雷达图表示如图，以下说法正确的是：（）A.医药医疗产业在年全国专利密集型产业增加值的构成中规模最小B.信息通信技术服务业在年全国专利密集型产业增加值的构成中规模最大C.新装备制造业在年全国专利密集型产业增加值的构成中占比大于D.新装备制造业在年全国专利密集型产业增加值的构成中占比小于【答案】D【解析】【分析】根据雷达图的数值及各项占比分析判断各个选项可得.【详解】对A：雷达图中环保产业的点离中心最近，说明其规模最小，而不是医药医疗产业，故A错误；对于B：雷达图中新装备制造业的点离中心最远，说明其规模最大，而不是信息通信技术服务业，故B错误；年全国专利密集型产业增加值总量为千亿元，新装备制造业增加值约为千亿元，所以占比为，所以C错误，D正确.故选：D.5.已知函数的大致图象如图所示，则其解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通过分析函数的定义域，单调性和奇偶性，与所给图像的单调性和奇偶性进行对比，即可得出正确的解析式.【详解】对于，的定义域为，与图象不符，故错误；对于，因，所以为奇函数，与图象不符，故错误；对于，，，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；当时，，则在单调递增，满足题意，故正确；对于，，当时，，与图象不符，故错误.故选：6.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可求出．【详解】因为，所以，因为函数在定义域内单调递增，所以；因为，所以，因为函数在定义域内单调递增，所以；综上，．故选：D．7.17世纪时，科学技术的飞速发展对计算技术的改进提出了前所未有的需求.为了简化数值计算，对数应运而生.利用，计算有多少位数（）A.19 B.20 C.30 D.64【答案】B【解析】【分析】根据对数运算法则以及科学计数法表示方法直接计算结果即可.【详解】易知，所以可得，易知,再根据科学计数法表示方法可得有20位数.故选：B8.已知函数定义域为，对，，且，当时，，则下列结论成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题设对变量进行赋值，分别求出的值，进而判断函数为偶函数，然后结合函数的单调性即可判断.【详解】令，则，解得；令，则，解得；令，，则，得，所以函数为偶函数；又因为，当时，都有，即，所以在上是增函数；又函数为偶函数，所以在上是减函数；又，所以.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0B.已知样本数据5，6，6，7，7，8，11，13，则该组数据的60%分位数为7C.已知的标准差为2，则，，，的方差为8D.已知数据平均数，方差，若把剔除，则剩余这9个数的方差变大【答案】ABD【解析】【分析】根据极差为0，得所有数据相等，进而得方差为0，即可判断A，利用百分位数的定义即可判断B，利用方差的性质即可判断C，计算剩余这9个数的方差即可判断D.【详解】对于A，如果一组数据的极差为0，则这组数据都相等，所以方差为0，故A正确；对于B，由，所以这组数据的60%分位数为7，故B正确；对于C，由的标准差为2，所以的方差为，所以，，，的方差为，故C错误；对于D，由数据的平均数，方差，所以，若把剔除，则剩余这9个数的平均数为，所以，所以，所以，所以剩余这9个数的方差变大，故D正确；故选：ABD.10.若，是正实数且满足，则以下选项中正确的有（）A.最小值为2 B.最小值为1C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据基本不等式及“1”的代换求解判断各选项即可.【详解】因为是正实数，所以由基本不等式得：，当且仅当时取等.但且，所以，因此（因为）.因此，选项A错误；因为，为正实数，由公式（当且仅当时，等号成立），可得：（当且仅当时，等号成立），故B错误；（当且仅当时，等号成立），故C正确；利用，即，代入：，因为，是正实数且满足，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时取等号.故，因此，选项D正确.故选：CD.11.已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.若函数有四个零点，则的取值范围为B.若函数有四个零点，则的取值范围为C.函数的零点个数为3个D.函数的零点个数为4个【答案】ABD【解析】【分析】由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数的零点与的关系，且得到的取值范围，即可判断A选项；由与的关系化简，利用的范围及函数的单调性求得取值范围，判断B选项；由函数的零点，得到时的值，然后分别由函数图像知道对应零点个数，即可判断C选项；令，求得的值，分别求解方程，即可求得函数的零点个数，判断D选项.【详解】函数为偶函数，即则函数关于对称，当时，，，函数的大致图像如图，对于A，令，则，，，为方程的解，所以，，即，，，由图可知，，，A选项正确；对于B，，，，，且，令，，由函数的性质可知，函数在上单调递减，，B选项正确；对于C，有两个零点或，时，或，当时，由函数图象可知，函数有3个零点，当时，由函数图象可知，函数有2个零点，函数存在5个零点，C选项错误；对于D，令，即，则或或，有1个实数解；，有1个实数解；，无实数解；，有1个实数解；，无实数解；，有1个实数解；故函数有4个零点，D选项正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.幂函数过点，则__________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，代入计算即可求解.【详解】设幂函数，由题意可得，解得，所以，.故答案为：.13.如图，元件通过电流的概率均为，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在，之间通过的概率是__________.【答案】【解析】【分析】先分析电流通过的路径情况，再利用独立事件概率公式分别计算各路径概率，最后求和得到总概率.【详解】串联，只有两者都通过电流时，该支路才能导通，，并联部分导通的条件是串联支路导通或导通（至少一个导通），先计算该并联部分不导通的概率：，因此，并联部分导通的概率为：，整个电路导通的条件是并联部分导通且导通，，最终，电流能在之间通过的概率是.故答案为：.14.已知函数，若实数，满足，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】令，得出为定义在上的奇函数且在上单调递增，从而由得出的关系，消元后利用基本不等式求最大值即可.【详解】由，得，令，则，所以为定义在上的奇函数；由于与均在上单调递增，则在上单调递增；由得：，由为定义在上的奇函数可得：，，故（当且仅当，即，时取等号），，即的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知，计算的值；（2）计算.【答案】（1）7；（2）4【解析】【分析】（1）对已知等式进行平方，展开计算即可.（2）根据指数运算、对数运算及换底公式化简求值即可.【详解】解：（1）因为，所以，即，所以.（2）.16.已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解指数不等式化简集合，再根据交集的定义计算可得；（2）依题意可得真包含于，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.【小问1详解】由，即，解得，所以，当时，所以【小问2详解】若“”是“”成立的充分不必要条件，可得真包含于，因为，，①当时，，解得；②当时，故或，解得或，即；综合①②：.17.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，，第二组，，第八组，，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）求第七组频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.【答案】（1）0.08，图见解析；（2）102；（3）.【解析】【分析】（1）由频率和为1，求得第七组的频率，并补全频率分布直方图；（2）利用平均数求解公式，用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分即可.（3）样本成绩属于第六组的有人，样本成绩属于第八组的有人，求得基本事件总数和分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数，从而求得概率.【详解】(1)由频率分布直方图得第七组的频率为：.完成频率分布直方图如下：(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：(3)样本成绩属于第六组的有人，设为a，b，c，样本成绩属于第八组的有人，设为d，e，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，则总数，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件为：(a,b)，(a,c)，(b,c)，(d,e)，其个数，他们的分差的绝对值小于10分的概率.18.用水清洗一堆蔬菜上的农药，已知用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用个单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为.（1）试确定的值，并解释其实际意义；（2）根据题目写出函数应该满足的条件和具有的性质，在以下所给函数模型中选择一个最合适的，并求出解析式；①，②，③（3）现有个单位量水，可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，根据（2）计算得到的解析式，确定用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少，说明理由.【答案】（1），表示的是未用清水冲洗蔬菜时，蔬菜上残留农药量就是清洗前残留农药量（2）答案见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由表示未清洗的意思，进而得解；（2）结合题意可