北京市西城区2025-2026学年高三（上）期末数学试卷（含答案）

第一部分(选择题共40分)(1)已知集合A={x|x²+x-6=0},集合B={x||x-1>1},则集合A∩B=(2)复数的模等于(A)y=x³+1(C)y=1n|x|(4)在平行四边形ABCD中，M为CD的中点.记AB=a,AD=b,则MB=(5)若过坐标原点的圆W被直线y=-2x平分，且被y轴截得弦的长度为4,则圆W的方(C){4,8}((9)设sina+2sinβ=1,则M=sinα-cos2β的取值范围是(C)0.51第二部分(非选择题共110分)(11)双曲线的离心率为(13)设函数f(x)=cosx,g(x)=cos(x+φ).若对于任意的t∈R,函数f(x)和g(x)中至少有一个在上具有单调性，则φ的一个取值为(14)窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国人喜爱。下AB=√2,那么这个正方形彩纸边长的最小值为;设a,b(a≠b)均是以正①存在数列{an3和{bn},使得an+an+1=bn+bn+1;②存在数列{an}和{bn},使得anan+1=bnbn+1;③对于任意无穷等差数列{cn},总存在{an}和{bn}使得Cn=an+bn;④对于任意无穷等比数列{cn},总存在{an3和{bn}使得Cn=anbn.(16)(本小题13分)(I)求证：AB₁//平面BDC₁;(Ⅱ)若AB=BC=√5,AC=2,AA₁=3,求直线AB与平面BDC₁所成角的正弦值.(17)(本小题14分)(Ⅱ)若△ABC的面积为D为边BC上的一点，再从条件①、条件②、条件③这三条件②:BD=cosA-sinA;注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.(18)(本小题13分)子悬浮在空气中，称为带菌粒子.科研人员采用六级空气微生观测点粒数中值直径(μm)ABC级数IⅡⅢV采集范围(μm)记这3份中粒数中值直径为Ⅲ级的份数为X,求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)为研究带菌粒子的生物特征，计划在C点再采集n(n≥6)份带菌粒子.记这n份带菌粒子中有k(O≤k≤n)份的粒数中值直径为Ⅲ级的概率为P(k).试给出n的一个值，(19)(本小题15分)的垂线交椭圆E于另一点C(Ⅱ)问是否存在点B,分别使得∠ACB等于30°,45°和60°?说明理由.(20)(本小题15分)已知函数f(x)=(2x-a)e满足f'(1)-3f(1)=0,其中a∈R.(Ⅱ)证明：在曲线y=f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线与直线y=2x平行；(Ⅲ)若存在m,使得对于任意x₁,x∈(0,+0∞),且x₁<x₂,都有求实数m的取值范围.(21)(本小题15分)已知N项数列{an}的各项均为正整数.若存在m∈N*,使得{an}满足以下两个条件：①对任意i(1≤i≤m),a₁=aN-i+1=i;②对任意奇数j(1≤j≤N-m+1),{a;,a:+1,,ai+m-1}={1,2…,m}.则称数列{an}具有性质P(m).(I)判断下面两个数列是否具有性质P(3);(结论不要求证明)数列A:1,2,3,1,2,3,2,1;数列B:1,2,3,1,2,3,1,2,3,2,1.(Ⅱ)已知数列{an3具有性质P(5),且N=18,判断{an3中是否存在5项，其值均为2?(Ⅲ)若数列{an}具有性质P(9),证明：N≥50.(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)北京市西城区2025—2026学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考2026.1一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)注：(14)题第一空2分，第二空3分；(15)题全部选对得5分，有一个选对得3分，其他情况得0分.三、解答题(共6小题，共85分)(16)(本小题13分)因为在三棱柱ABC-AB₁C₁中，四边形BCC₁B是平行四边形，所以0为B₁C的中点.又因为AB₁α平面BDC₁,DOc平面BDC₁,(Ⅱ)设AC₁的中点为E,连又因为AA₁⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC,所以DE⊥DB,DE⊥DA.x得BD⊥AC.得BD=2. DC₁=(-1,3,0).则即则故AB=(-1,0,2),DB=(0,0,2),(17)(本小题14分)(Ⅱ)由a=c,得,故………………11分第2页(共8页)………………12分14分所以△ABD的内角………………12分在△ABD中，由正弦定理，得.………………14分(18)(本小题13分)解：(I)设事件“在甲地空气中随机采集一份带菌粒子，其粒数中值直径为Ⅱ级”为M,由题意，采集的24份带菌粒子中粒数中值直径为Ⅱ级的有9份，根据数据，A点采集的12份带菌粒子中有4份粒数中值直径为Ⅲ级；B点采集的4份带菌粒子中有2份粒数中值直径为Ⅲ级，X0123P112…10分(Ⅲ)答案不唯一，如24.………………13分北京市西城区2025—2026学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考第3页(共8页)(19)(本小题15分)解：(I)由题意，椭圆E的上顶点A(0设B(xg,0),则,解得xg=1.所以点B的坐标为(1,0).………………5分解得x=0,或………………8分所以2k²-42k+1=0(*).故关于k的一元二次方程(*)的△=16λ²-8≥0,即因为15分(20)(本小题15分)则f'(1)-3f(1)=(2a-2)e=0,设函数g(x)=(2x+1)eˣ,x∈R.………………5分令g'(x)=0,得………………6分x0+1故函数g(x)的最小易得曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线为y=(2t+1)e'x+(-2t²+t-故不等式可化为f(x₂)-f(x)>m(x²-x²),即f(x₂)-m²>f(x)-m².设u(x)=f(x)-mx²=(2x-1)e-mx²,则u(x)在(0,+o)上单调递增.……12分所以对任意x∈(0,+∞),(2x+1)e-2mx≥0恒成立(有限个x使得等号成立).即当x>0时，恒成立.由h(x)<0,解得,故h(x)在上单调递减；由h'(x)>0,解得,故h(x)在区间上单调递增.(21)(本小题15分)由条件①,得p<N-m+1=14.由条件①,知a₂=a₁₇=2,若{an}中有五项均为2,即a₂,a₃,…,a₇这16项中有5项均为2,则项数应满足16≥4×4+1,这是不可能的.所以数列{an中不存在5项均为2.………………9分(Ⅲ)由①知，前9项依次为1,2,…,9;最后9项依次为9,8,7,…,1.下同),第四个9∈{a₃4,a₃5,…,a39};……………12分若第二个9为{a,}中最后一个9,则最后一个8∈{a,a2₀},与(*)不符；若第三个9为{a}中最后一个9,则最后一个7∈{a28,a29,a30,a₃},与(*)不符；a₃5=9,a36=8,a₃7=7或a₃9=9,a40=8,a41=7.若a₃4=9,a₃s