初中数学概率与统计教学的难点与有效解决策略

初中数学概率与统计教学的难点与有效解决策略

一、概率与统计教学难点分析

1、形成“统计观念”

学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念。有人以为统计就是分

类、计算、填统计表、画统计图，或者是根据统计图回答问题……这

些都说明对统计知识的教学出现了偏差。

2、抽样的合理性

统计是以样本数据为基础，通过对数据的整理、描述和分析，发现数

据的特征或规律，从而对总体的特征作出推断。所以样本的抽取是否

具有代表性，在统计中至关重要。不同的抽样将产生不同的结论,怎

么能做到有代表性呢？如何抽样更合理，对此学生还存在很多困惑。

3、初中生对统计量的计算不觉得困难，但是如果有较长的时间不使

用，大部分学生就会出现遗忘的现象，更甭提灵活运用了，究其原因

是对统计量的含义的理解不够到位。这其中表现最突出的就是方差

了。实质上，只要明确方差的作用是刻画数据的波动状态，认真分析

两组数据，就很容易得到乙队的数据波动较大，所以选b选项，根

木不需要计算，省时、省力、还不容易出错。

4、建立“随机观念”

随机现象是概率与统计部分重要的研究对象，从随机现象中去寻找规

律，这对学生来说是一个全新的观念。特别是如果学生缺乏随机现象

的丰富体验，往往很难建立这一观念。造成概率学习中的困难。

5、概率的抽象性

跟过去的精确数学相比较，概率比较抽象，不像前面学的统计量那样，

比如说算术平均数，标准差，方差，有对应的公式，代入计算即可。

概率是随机事件发生的可能性的度量。像长度和面积这些度量都比较

直观，对温度的高低在一定范围我们可以感知。而事件发生的可能性

大小的度量，直观看不见，也无法感知。虽然学生具有一些生活经验，

这些经验是学生学习概率的基础，但其中往往有一些是错误的。逐步

消除错误的经验，建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标。

所以，教师要注重创设情境，让学生在解决实际问题的过程中逐步理

解概率。

6、概率的统计定义的理解

概率在初中阶段有三种定义：一种是古典概率，一种是几何概率，另

一种是概率的统计定义。对于前两种定义，由于有小学知识的铺垫，

学生很容易理解，但恰恰是教材中多为古典概型或几何概型的问题，

所以容易造成学生解决概率问题时，默认他是等可能的。所以对于概

率的统计定义，学生的理解比较困难。

7、概率与频率的关系

频率和概率是两个不同概念，频率与实验的次数有关，而频率的稳定

性又说明了概率是一个客观存在的数，是遁机事件自身的一个属性，

它与实验次数无关。虽然在概率计算中，我们一般用事件发生的频

率去代替概率，这与实际并不矛盾，就象测定一根木棒的长度一

样，人人皆知木棒有其客观存在的“真实长度”，但用量具去测量，

总会有误差，测得的数值总是稳定在木棒“真实长度”的附近，而

得不到木棒的“真实长度”值。事实上，人们一般就用测量所得的近

似值去代替“真实长度”。只不过根据实际要求选择精度不同的量具

罢了。这里木棒的“真实长度”与测得数值之间的关系完全同概率与

频率之间的关系一样。

因此，频率既有随机性（每人每次实验都是变化的），又有规律性（也

就是稳定性），即随机事件发生的频率的稳定值就是概率，人们也就

把频率稳定的中心值作为事件发生的概率。于是我们可以说“频率是

概率的估计”、“频率的稳定值就是概率”，但不能说“频率的稳定

值是概率估计值”。频率的稳定性是概率论的理论基础。

8、对等可能的理解

“等可能”是古典概率非常重要的一个特征，它是古典概率思想产生

的前提。正是因为“等可能”，所以才会有了“比率”。因此，“等

可能性”和“比率”是古典定义教学中的两个落脚点。而学生在处理

较为复杂的概率问题中，有时会忽视古典概率的使用条件：等可能。

二、有效解决策略

（一）突出核心思想，突出统计与概率的现实意义

这部分的教学应着重于对现实问题的探索：使学生认识到统计与概率

的广泛应用以及对制定决策的重要作用.应当根据学生的特点提供丰

富的、反映统计与概率思想方法的探索素材，可以从教材、报刊杂志、

参考资料等许多方面寻找素材，也可以自己设计统计活动或从学生的

实践中引出统计活动.

1、本学段的学生对现实社会环境中的问题具有越来越强烈的兴趣，

这种兴趣是学习这部分内容的一种极好的动力，教学中要引导他们把

对统计与概率的探索从日常生活发展到现实社会和科学技术中感兴

趣的领域.如在统计的教学中可以引入以下的例子：

根据往年本地同一段时间的气温记录，预测下一年本地这段时间的气

温情况；

・本地资源与环境的调查。

•对所喜爱的体育比赛的研究、讨论有奖销售等问题。

•收集报纸、杂志、电视中公布的数据，分析数据的来源及其可靠性

等。

•统计某商店一个月内几种商品的销售情况，对这个商店的进货提出

建议。

・统计一段英文文章中字母出现的频率，了解键盘的设计原理和破译

某种密码的方法。视、报

（二）充分了解学情，明确教学目标

由于对于这部分知识，学生具备一些基础，所以教学要针对学生的问

题进行设计，而不能仅仅依据自己的主观臆断或凭经验。例如对于三

种事件的教学，有的教师将时间均匀分配。这种课堂的效率比较低。

关于什么叫必然事件，什么叫不可能事件，对于学生来说，应该是没

有太大的困难的。重要的应讲清什么是随机事件。一定是在相同条件

下，可以重复实验下，可能发生可能不发生的。可以设计一些问题来

让学生区分，不是在相同条件下的情形不确定的事件；不能重复实验

的情形等等。根据初中学生的能力水平，可以突出统计和概率所研究

的随机现象的这种偶然性，它是怎么发生的，这个随机性具有什么样

的特征。应该把整堂课的教学的重点放在这个可能性事件，怎么去刻

画和描述上。教师要明白你想解决学生什么问题，学生哪一点是原来

不懂的，这堂课我希望他能够懂些什么，这个目的要明确。这是教学

中应遵循的规律。特别是这些新增内容，教师要在前期对学生的掌握

情况作充分的调查，以增强教学的针对性。

（三）注重引导学生参与统计活动的全过程，注重对事件发生概率的

体验

1、注重统计的全过程，最后能对统计结果作出合理的推断；

要使学生接受统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计的全

过程中去，从提出问题到得出结果作出决策、评价改进。为此，教学

中，要提供丰富的活动素材和足够的时间与空间。

例如：学校委托我班调查，全校学生最喜爱的体育活动是什么。围绕

这个问题，可以让学生讨论：“是否要调查学校每一个人？”“只调

查本班的同学可以吗？”等问题。从中可以使学生体会抽样的必要性

和样本的代表性。

学生得到数据后，提出：用什么方法来表示数据，需要计算哪些统计

量，才能达到调查的目的？

当学生得出统计结果后，要求学生能对这些数据作出分析和解释，作

出判断。最后为学校提出合理的建议。

2、注重在具体情景中体会概率的意义；，

使学生能够形成概率意识，并用这种意识理解现实世界，是教学的重

点和难点。教学中要引导学生主动地参与对事件发生概率的感受和探

索，积累大量的活动经验，体会概率的思想方法。

例如：设计一些游戏规则，让学生通过实验等活动，判断游戏是否公

平，从而丰富对等可能性事件的体验。

例子：同桌两人事先分别选定“奇数”和“偶数”，然后掷出两个骰

子，并依据骰子点数之和的奇偶来决定胜负。讨论这个游戏对双方是

否公平。

（四）重视反例和极端特例的作用

在揭示数学概念的本质、探索数学定理成立的条件时，反例具有重要

的作用。同样，在统计与概率的教学中，一些极端的特例有时会发挥

意想不到的作用。

例从包含100个学生的总体中，随机抽取10名学生作为样本，估

计全体学生的平均身高。分别采用不放回抽样和有放回抽样，哪种抽

样方式下估计的更准确些？

大多数人认为有放回抽样下估计的更准确，实际上恰恰相反。要想说

服他们，我们不可能用数理统计的一套理论作出判断。可以借助合适

的例子加以说明。以下两个极端特例都能说明问题。

例I：采用有放回抽样，有可能同一个体被重复抽到，也有可能10

次都抽到同一名学生，此时样本的代表性非常差，估计很难准确c而

不放回抽样不会发生这样的情况。

例2：假定样本容量为100,采用不放回抽样，样本和总体完全相同,

估计结果完全确定，没有任何误差。而采用放回抽样，很难遇到样本

和总体完全相同的情况。

此外，在教学中，可以介绍一些有关概率论的起源、掷硬币实验、布

丰（buffon）投针问题与几何概率等历史事实，统计与概率在密码

学等方面的应用，这样可以使学生对人类把握随机现象的历程有一个

了解，对于学生进一步学习与发展有一定的激励作用。

五、鼓励学生动手实验，注意现代信息技术的应用

为了首先让学生通过具体的实验操作获得一定的活动经验，促进对概

率意义的理解与掌握，教科书在25.1.2节给出概率定义之前，设置

了一个投掷硬币的实验，为学生提供一个体验概率实验的机会。由于

在这个实验中需要获得的投掷次数相对较多，所以这里就需要发动全

体学生积极参与，动手实验，靠集体的力量快速地获得实验频率，圆

满地完成实验。

在学习用频率估计概率这部分内容时，一方面要鼓励学生亲自动手，

集体合作，这主要是针对一些比较简单的实验，比如说投币实验，投

图钉实验以及像阅读与理解短文中的布丰投针实验等。另一方面也鼓

励学生采用模拟方法进行实验，特别是利用计算机或计算器进行模拟

实验。我们知道，为了使用频率估计的概率尽可能地准确就需要进行

大量的重复实验，这样的实验是极其费时费力的，所以应该鼓励学生

使用现代信息技术，比如教科书就给出了用计算器产生随机数的例

子。在学生掌握模拟实验时，重要的不是获得最终的结果，而是针对

一个现实问题，让学生提出一种切实可行的进行模拟实验的策略，教

科书25.3节的问题3就是这样。

六、避免纯粹计算，淡化专业术语

确认一组数据的范围和平均数，制作统计图表，都是重要的活动，但

是它们仅仅是统计过程中的一个环节.通过调查后的数据来计算平均

数、方差，比在教材上呈现给学主一组数据去计算要生动而且有意义.

在教学中要尽量减少把有关数据作为已知条件列在例题或习题中，然

后借助这些数据进行计算和制作图表.概率的教学既要计算事件发生

的概率。又要重视以概率的观念去认识这个计算结果，培养学生统计

的观念，如奖券的数学期望表示了获奖的可能性.即使对于记录数据、

制作统计图表、计算统计量等处理数据的方法，也要避免学生死记公

式和步骤，一招一式地进行模仿.我们应该鼓励学生根据不同的问题,

选择适当的概念和方法把杂乱无章的数据整理得简洁、概括、美观和

富有个性.

同时，这部分内容中出现了一些专业术语（如样本、随机抽样、频数

分布、方差、数学期望、正态