初中数学七年级上册《2 探索轴对称的性质》《4 利用轴对称进行设计》等（同步训练）

初中数学七年级上册《2探索轴对称的性质》《4利用

轴对称进行设计》等（同步训练）

目录

《2探索轴对称的性质》同步训练....................................1

《3简单的轴对称图形》同步训练...................................20

《4利用轴对称进行设计》同步训练.................................42

《2探索轴对称的性质》同步训练（答案在后面）

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、1

判断下列图形中，哪个图形是轴对称图形，并找出它的对称轴。

2、2

若一个图形绕某一点旋转180度后能够与原图形完全重合，则这个图形一定是:

A.等边三角形

B.圆形

C.菱形

D.平行四边形

3、下列图形中，不是轴对称图形的是：

A.等边三角形

B.正方形

C.圆

D.平行四边形

4、如果一个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是该图形的：

A.对角线

B.中线

C.对称轴

D.中心点

5、如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图

形是：

A.轴对称图形B.中心对称图形C.旋转对称图形D.平移对称图形

6、若一个轴对称图形经过一次对称变换后，得到的图形与原图形相比，位置关系

不变，只是方向发生了改变，则这一定是一次______对称。

A.轴B.中心C.旋转D.平移

7、下列图形中，是轴对称图形的是（）

A.平行四边形

B.等腰三角形

C.矩形

D.等边三角形

8、一个等腰梯形的两底边分别为4cm和6cm,高为5cm,那么它的对称轴是（）

A.平行于底边的直线

B.垂直于底边的直线

C.连接两底边中点的线段

D.过底边中点且平行于底边的直线

9-.下列图形中，不是轴对称图形的是()

A.等边三角形

B.正方形

C.平行四边形

D.圆

10、如果一个图形关于某条直线对称，则这条直线称为该图形的()

A.中点

B.中心

C.对称轴

D.顶点

二、计算题(本大题有3小题，每小题5分，共15分)

第一题：

己知函数=奴+/,求证：函数/(x)的图像关于直线x对称。

第二题：

已知点A(2,3)是抛物线y=ax"2+bx+c上的一个点，且抛物线的对称地是x二

lo

(1)求抛物线的解析式:

纵坐标保持不变。

•因此，点A'的坐标为(3,4)o

2.说明对称直线：

•由上述计算可知，点A和A'的横坐标互为相反数，而纵坐标相同。这表明它们

关于x轴对称，因为x轴是所有横坐标相同的直线。

第四题：

题目描述：

已知aABC是一个等腰三角形，AB=AC,且顶角/BAC=120°。若D是BC边上的中

点，连接AD。求证：AD垂直于BC,并且AD平分NBAC。

第五题：

已知点A(2,3)关于直线y=kx+b的对称点为B(m,n)<>求直线y=kx+b的

方程，并说明理由。

第六题

在平面直角坐标系中，己知点A(3,5)和点B(7,-1),且线段AB关于y轴对称。

2.求点B的对称点C的坐标。

3.若将线段AB绕原点。顺时针旋转90°得到线段AD,求点D的坐标。

第七题：

已知函数(/(X)=，N+4X+4),其中(XWR)。

(1)求函数(1(x))的定义域；

(2)判断函数(71>))是否为偶函数，并说明理由；

(3)若(/5))的图像关于直线对称，求实数(外的值，使得(/(外二①。

《2探索轴对称的性质》同步训练及答案解析

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、1

判断下列图形中，哪个图形是轴对称图形，并找出它的对称轴。

正确答案：D

解析：通过观察图形，可以看到D选项是一个轴对称图形，其对称轴为图形的垂直

平分线。

2、2

若一个图形绕某一点旋转180度后能够与原图形完全重合，则这个图形一定是：

A.等边三角形

B.圆形

C.菱形

D.平行四边形

正确答案：B

解析：根据轴对称的性质，如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与原图形完全

重合，那么这个图形是中心对称图形。而圆形是最典型的中心对称图形，因此正确答案

是Bo

3、下列图形中，不是轴对称图形的是：

A.等边三角形

B.正方形

C.圆

D.平行四边形

答案：D

解析：轴对称图形是由一个图形能够找到一条直线（称为对称轴），将这个图形沿

该直线翻折后，能够与自身完全重合的图形。根据这个定义，A、B、C选项中的图形都

能够找到这样的对称轴，而D选项中的平行四边形只有在特殊情况下（比如矩形或菱形）

才具有对称性，但一般平行四边形不满足轴对称的要求。

4、如果一个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是该图形的：

A.对角线

B.中线

C.对称轴

D.中心点

答案：C

解析：轴对称图形的特点是有一条直线，通过这条直线，图形的一半与另一半可以

完全重合。这条直线被称为对称轴。因此，正确答案是C。

5、如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图

形是：

A.轴对称图形B.中心对称图形C.旋转对称图形D.平移对称图形

答案：A、轴对称图形

解析：轴对称图形是指一个图形沿着某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重

合的图形。这是定义中的关键描述，符合题目描述的情况。

6、若••个轴对称图形经过•次对称变换后，得到的图形与原图形相比，位置关系

不变，只是方向发生了改变，则这一定是一次对称。

A.轴B.中心C.旋转D.平移

答案：C、旋转

解析：轴对称图形的特征是通过某一条直线对折后能够完全重合。而旋转对称图形

则是指将图形绕着某一点旋转一定的角度后能够与原图形重合。根据题意，描述的是图

形在变换后方向改变，但形状和大小没有变化，这表明图形是绕着某一点旋转了，因此

正确答案为旋转。

7、下列图形中，是轴对称图形的是（）

A.平行四边形

B.等腰三角形

C.矩形

D.等边三角形

答案：B

解析：轴对称图形是指存在一个对称轴，使得图形沿对称轴折叠后，图形的两部分

能够完全重合。等腰三角形和等边三角形都具有轴对称性质，其中等腰三角形有1条对

称轴，等边三角形有3条对称轴。因此，选项B是正确答案。

8、一个等腰梯形的两底边分别为4cm和6cm,高为5cm,那么它的对称轴是（）

A.平行于底边的直线

B.垂直于底边的直线

C.连接两底边中点的线段

D.过底边中点且平行于底边的直线

答案：D

解析:等腰梯形的对称轴是连接两底边中点的线段。这是因为等腰梯形的两腰相等,

因此通过连接两腰的中点可以找到一条直线，这条直线将梯形分为两个完全相同的部分,

即两腰的延长线会交于一点，而这条直线就为对称轴。所以，正确答案是D。

9、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A.等边三角形

B.正方形

C.平行四边形

D.圆

答案：C

解析：轴对称图形是指一个图形能够找到--条直线，将图形分为两个完全重合的部

分。选项A、B、D都符合这个定义，而平行四边形并不满足这个条件，除非是特殊的平

行四边形如矩形或菱形。

10、如果一个图形关于某条直线对称，则这条直线称为该图形的（）

A.中点

B.中心

C.对称轴

D.顶点

答案：C

解析：对称轴是指图形中每一点与该点关于对称轴的对称点之间的连线相互垂直，

并且这两点到对称轴的距离相等。因此，正确答案是C。

二、计算题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

第一题:

已知函数/(x)=3/-4x+/,求证：函数/&)的图像关于直线x对称。

答案：

证明：

首先，我们需要找到函数/(>)的对称轴。对称粕的公式为其中a和方是

2a

二次函数a/+bx+。中的系数。

对于函数心)=3--4x7,有”3和b=-北将这些值代入对称轴公式，得至U：

-442

X——------=—=—

2363

所以，函数/1X)的对称轴是直线x=彳。

接下来，我们验证函数/【X)是否关于直线X：二,称。为此，我们需要证明对于任

意x,有=1-^)0

计算

-4(21——+1

=6，)-4(9-.x)+/

=3隹_»彳(，川

4824,1(

=~~—x+3x-~--+4x+/

933

,8a,3

-3/-qx+-

o«9

.817

=3X2--x+-

tJf3

现在，我们计算/(x)：

f(x)=3X2-4x+1

将穴x)和42-g-9进行比较，我们可以看到:

因此，我们证明了函数心)=3/-以+/的图像关于直线x二射称。

解析：

本题通过使用对称轴公式和代入验证的方法，证明了函数/(x)的图像关于直线x

对称。这种证明方法适用于任何二次函数，只需找到对称轴并验证函数值是否关于对称

轴对称即可。

第二题：

已知点A(2,3)是抛物线y=ax^2+bx+c上的一个点，且抛物线的对称地是x二

lo

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线与x轴的交点分别为M和N,且M的横坐标小于N的横坐标，求线

段MN的中点坐标。

答案：

(1)由于抛物线的市称轴是x=l,所以抛物线的顶点的横坐标为1。设顶点的纵

坐标为匕则抛物线的顶点坐标为(1,k)o抛物线的一般形式为y=a(x-h「2+k,

其中(h,k)是顶点坐标。因此，抛物线的方程可以写为y=a(x-1厂2+ko

将点A(2,3)代入上述方程，得到：

3=a(2-1)^2+k

3=a+k

又因为抛物线的对称轴是x=1,所以a>Oo山于顶点在对称轴上，所以k可以

任意取值，但为了简化计算，我们可以令k=0,则a=3o因此，抛物线的解析式为

y=3(x-1)2o

(2)抛物线与x轴的交点满足y=0,即3(x-1尸2=0。解这个方程得到x=1,

所以抛物线与x轴的交点为(1,0)。

由于抛物线对称轴是x=1,且M和N是对称的，所以M和N的横坐标分别小于和

大于1。设M的横坐标为xl,N的横坐标为x2,则xl<1<x2o

由于抛物线的对称性，线段MN的中点的横坐标为(1+x2)/2,纵坐标为0。由

于抛物线关于x=1对称，所以x2=2-xlo将x2的表达式代入中点横坐标的表达

式中，得到：

中点横坐标二(1+：2-xl))/2=(3-xE/2

因此，线段MN的中点坐标为((3-xl)/2,Ojo

解析：

(1)通过代入已知点A的坐标，求解出a和k的值，得到抛物线的解析式。

(2)利用抛物线的对称性和顶点坐标，确定线段MN的中点坐标。由于M和N关于

x=1对称，因此中点的横坐标可以通过抛物线的对称性来求解。

第三题：

已知aABC关于直线;对称，A点的对称点为A',B点的对称点为B',C点的对称

点为C'。若AB=5cm,BC=6cm,AC为cm,则aA'B'C的周长是多少?

答案：

△A'B'C'的周长是18cmo

解析：

由于aABC与△△'B'C'关于直线1对称，因此线段AB与A'B\BC与B'C'、

CA与C'A'分别是对称的。根据轴对称的性质，对应边之间的距离相等，即这称点到

对称轴的距离相等。

已知AB知cm,那么A'B>=AB=5cm；

已知BC=6cm,那么B‘C'=BC=6cm；

已知AC=7cm,那么C'A'=AC=7cnio

因此，ANB'C’的周长为A'B'+B'C‘+C'A'=5cm+6cm+7cm=18cmo

所以，Z\A'B’C‘的周长是18cm。

三、解答题(本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分)

第一题：

己知点A(2,3)关于y轴的对称点为A\点B(4,-2)关于x轴的对称点为夕。请

找出点A'和B'的坐标，并说明如何通过轴对称的性质得到这些坐标。

答案：

点A(2,3)关于y轴的对称点A'的坐标为(-2,3)。因为关于y轴对称，点的横坐

标取相反数，纵坐标保持不变。

点B(4,-2)关于x轴的对称点B'的坐标为(4,2)o因为关于x轴对称，点的纵坐

标取相反数，横坐标保持不变。

解析：

对于点A(2,3),它关于y轴对称，因此横坐标2变为-2,纵坐标3保持不变，得

到对称点A'(-2,3)o

对于点B(4,-2),它关于x轴对称，因此纵坐标-2变为2,横坐标4保持不变,

得到对称点B'（4,2）o

第二题

题目描述：

已知线段（月为经过点（。且被（0平分，（力）点坐标为（（-3-1））,（妗点坐标为（（瓦7））o

求线段（.4⑸关于点（。对称的线段（4B'）的端点（H）和（"）的坐标。

答案：

•点（卬）的坐标为（（3,-/））；

•点（夕）的坐标为（（-5-））。

解析：

首先，我们确定线段（4份的中点（。的坐标。由于（/1）点坐标为（（-3,-/））,（历点坐

标为（（a7））,我们可以使用中点公式来计算中点（。的坐标：

代入（必二一（9二-力，（沏=力，（J%二3:

0=

（弋，~r^）二a①

因此，线段（力为关于点（。对称的线段（"夕）中点（。的坐标是（（，3）。

接下来，我们需要找到线段（4'B'）上的点（〃）和（5'）的坐标。根据轴友称的性

质，点（4）与点。）关于点（。对称，点（〃'）与点（为关于点（。对称。

对于点（力）和点（4），它们关于点（。对称，意味着（4）和（4）分别位于点（。的两侧,

并且距离点（0相等。因此，如果（力）的坐标是（（-3,-/））,那么（4）的坐标可以通过保

持与（0距离不变，但方向相反来计算得出：

设（4）的坐标为（（r,/））,则有:

1（/-7）2+（/-分2=d（-3-1）2+（-1-32

解得：

Jo，―/）2+（y_》2=“6+16=>[32=4词

通过观察，可以发现（/=①和（/=-1）是一个合理的解，因为这样（"）与（0

的距离等于（力）与（。的距离，即（4©。

同理」对于点（0和点（"）,由于它们也关于点（0对称，我们可以得出（夕）的坐

标为（（-5y-7））o

综上所述，线段（力为关于点（0对称的线段（力'B'）的端点（4）和（8'）的坐标分别

为（（3-7））和（（-5-玲。

第三题

题目描述：

已知点AQ3,4）关于y轴对称的点为AL求A'的坐标，并说明点A和A'关于哪

条直线对称。

解答题：

4.求点A'的坐标：

•根据轴对称的性质，点A（-3,4）关于y轴对称的点A',其横坐标会变成相反数,

纵坐标保持不变。

•因此，点A'的坐标为（3,4）o

3.说明对称直线：

•由上述计算可知，点A和A'的横坐标互为相反数，而纵坐标相同。这表明它们

关于x轴对称，因为x轴是所有横坐标相同的直线。

答案:

•点A，的坐标为(3,4)o

•点A和A'关于x轴对称。

解析：

•此题主要考察学生对于轴对称性质的理解和应用。当一个图形关于某条直线对称

时，该直线称为对称他。在这个例子中，我们利用了轴对称的基木原理，即关于

y轴对称的两点，其横坐标互为相反数，而纵坐标相同。通过这一性质，我们可

以很容易地找到对祢点A'的坐标。同时，明确指出点A和A'关于x轴对称，

也是基于轴对称的基本定义。

第四题：

题目描述：

已知aABC是一个等腰三角形，AB=AC,且顶角/BAO120。。若D是BC边上的中

点，连接AD。求证：AD垂直于BC,并且AD平分NBAC。

答案：

证明：首先，由于AABC是等腰三角形，且AB-AC,因此/ABC-NACB。又因为顶角

ZBAC=120°,所以有:

[ZABC+ZACB=180°-120°=60°]

因为NABONACB,所以：

[ZABC=ZACB=3(T]

接下来，根据D是BC边上的中点，我们可以利用中线性质。在aABC中，AD是中

线，因此它将BC分为两等分，即BD二DC。现在，我们考虑直角三角形ABD和ADC,其中

D为中点。

在直角三角形ABD中，由勾股定理可得:

[AB2=AD2+BD^]

同理，在直角三角形ADC中，也有：

[ACf=A^+D(^]

由于AB=AC(△ABC为等腰三角形)，我们可以得出：

[极+力-步+〃用

这说明AD垂直于BC。

进一步地，考虑到NBAD和NCAD都是底角的一半，即：

[ZBAD=ZCAD=3(T]

因此，AD确实平分NBAC。

解析：

本题主要考察了等腰三角形的性质、直角三角形的勾股定理以及中线性质。通过证

明AD垂直于BC,我们运用了直角三角形的性质，而AD平分NBAC则通过等腰三角形的

性质和中线性质来证明。整个过程需要结合几何图形的特点，灵活应用所学的定理和性

质。

第五题：

已知点A(2,3)关于直线y=kx+b的对称点为B(m,n)。求直线y=kx+b的

方程，并说明理由。

答案：

直线y=kx+b的方程为3x-4y+6=0。

解析：

因为点A和点B关于直线y=kx+b对称，所以线段AB的中点C在直线y=kx+

b±o设中点C的坐标为C(x0,y0)o

由对称性，中点C的坐标满足：

xO=(2+m)/2

yO=(3+n)/2

又因为点C在直线y=kx+b上，所以满足直线方程：

yO=kxO+b

将xO和yO的表达式弋入直线方程，得到：

(3+n)/2=k*：2+m)/2+b

化简得：

3+n=k*(2++2b

由于A和B是对称点，AB的中垂线是直线y=kx+b,因此斜率k是AB斜率的负

倒数。倒的斜率k_AB为:

k_AB=(n-3)/(n-2)

所以，k是k_AB的负倒数：

k--1/kAB--1/((n-3)/(m-2))-(m-2)/(3-n)

将k代入之前的方程中，得到：

3+n=(m-2)*：2+m)/2+2b

进一步化简：

6+2n=(m-2)(2+m)+4b

6+2n=2m+m2-4-4m+4b

m2-2m+4b+2n-2=0

由于ni和n是任意满足对称条件的值，我们可以取ni和n的特定值来解出b0假设

m=4,n=5(这是任意选取的对称点，满足对称性)，代入上述方程得:

16-8+4b+10-2=0

6+4b=0

4b=-6

b=-3/2

现在我们有k=2/3,b=-3/2,所以直线方程为：

y=(2/3)x-3/2

为了简化方程，我们将方程两边乘以3,得到：

3y=2x-9/2

乘以2来去除分数，得到：

6y=4x-9

最后，我们将方程调整为标准形式：

3x-4y+6=0

这就是直线y=kx+b的方程。

第六题

在平面直角坐标系中，已知点A(3,5)和点B(T,-1),且线段AB关于y轴对称。

5.求点B的对称点C的坐标。

6.若将线段AB绕原点。顺时针旋转90。得到线段AD,求点D的坐标。

答案：

7.根据轴对称的性质，点B(-l,-1)关于y轴对称的点C的坐标可以通过改变x坐

标的符号来确定。因此，点c的坐标为(1,-Do

8.线段AB绕原点。顺时针旋转90°,可以利用旋转矩阵来求解。对于一个点P(x,

y),绕原点。旋转90°后的坐标可以通过公式计算得到：(〃(匕-x))c

对于点A(3,5),绕原点旋转90°后得到点D的坐标为((-5,-3)。

所以，点D的坐标为((一5-①)。

解析：

•第一小题：根据轴对称的性质，如果一个图形关于某条直线(在这个情况下是y

轴)对称，那么这条直线就是它们的对称轴。对于给定的点B(T,-1),关于y

轴对称的点C的坐标可以通过改变x坐标的符号来获得，即C的坐标为(1,-1)。

•第二小题：对于绕原点旋转90°的情况，我们使用旋转矩阵。给定点P：x,y)

绕原点旋转90。后的坐标可以通过矩阵变换得到，即(〃(乂-x))。这里应用到

的是旋转90°的特例，直接应用公式简化了计算过程。对于点A(3,5),其旋转

后的坐标通过公式得到，即D的坐标为((-5,-3))。

第七题：

已知函数(/(x)=7x2+4x+4),其中a金R)o

(1)求函数(外⑼)的定义域；

(2)判断困数(*x))是否为偶函数，并说明理由；

(3)若(/U))的图像关于直线(x二-0对称，求实数(4)的值，使得(/口)二3。

答案：

(1)函数(/«)的定义域为(R)。因为(/+以+42。)对于所有实数⑺都成立，所

以(/5))的定义域是实数集。

(2)函数(/U))是偶函数。因为x)=J(-力2+彳(_x)+4=八2-以+4=

7#+4X+4=/⑼,所以(ZU))满足偶函数的定义。

(3)由于(/(x))的图像关于直线(x二一为对称，可以设(/(x))在O二一0处的对称点

为((-2/(-?))。根据对称性，(/(-为=/(3)。又因为(/(x)=，/+〃+4),所以

(/(-2)=J(-2)2+4c0+4=、4-8+4=«=0)和(式0=J/+4(0+4二

山+8+4=小，二4)。这里有一个矛盾，因为(《-为)和(久为)不可能同时为。和4。因

此，我们需要重新审视问题。

实际上，由于(/(X))是偶函数，其图像关于(y)轴对称，而不是(x—幻这条直线。

所以，我们不需要考虑(x=-Z的对称性。现在，我们只需解方程((攵)二

(/[A)=jN+4.+4=3)

平方两边得：

(/+4〃+4=9)

(/r+4k-5-0)

这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或使用求根公式来解：

((k+5)(k-1)=0)

所以所=-力或(4=7)0

解析：

(1)根据平方根的定义，被开方数必须大于等于0,所以(/+〃+42。)对于所

有实数(x)都成立，因此定义域是(R)。

(2)通过将(x)替换为(-x)并观察(/(X))是否等于((-x)),我们证明了(ZW)是偶

函数。

(3)由于(人力)是偶函数，其图像关于(刃轴对称，所以(外幻=3)的解是(《二-a

和(A二/)。

《3简单的轴对称图形》同步训练（答案在后面）

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、下列图形中，不是轴对称图形的是：

A.等腰三角形

B.正方形

C.等边三角形

D.平行四边形

2、一个图形关于直线（y=x）对称，那么以下哪个选项描述了这个图形的对称性？

A.图形的每个点与而称轴的距离相等

B.图形的每个点与对称轴的连线垂直

C.图形的每个点关于对称轴的坐标互换

D.图形的每个点关于对称轴的坐标乘积相等

3、下列图形中，是轴对称图形的是：

A.平行四边形

B.等腰三角形

C.梯形

D.扇形

4、在轴对称图形中，如果两个图形成轴对称，那么它们的对应点连线被市称轴垂

直平分。以下哪一组图形符合这一描述？

A.两个大小相同的圆形

D.两个完全重合的直角三角形，其中•个三角形沿着一条斜边翻折得到另•个

C.两个大小相同的正方形

D.两个大小相同的长方形，一个沿一边翻折得到另一个

5、下列图形中，属于轴对称图形的是（）

A.正方形

B.平行四边形

C.等腰梯形

D.圆

6、已知图形ABCD是轴对称图形，如果点E在图形ABCD上，那么下列说法正确的

是（）

A.点E关于轴对称的点是A

B.点E关于轴对称的点是B

C.点E关于轴对称的点是C

D.点E关于轴对称的点是D

7、下列图形中，哪个图形是轴对称图形？

A.一个直角三角形

B.一个等腰三角形

C.一个正方形

D.—个圆

8、一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，那么这个长方形的对外线长度是：

A.5厘米

B.6厘米

C.10厘米

D.12厘米

9、下列图形中，不是轴对称图形的是：

A.正方形；B、长方形；C、三角形；D、圆；

10、如果一个图形关于某条直线成轴对称，那么这条直线叫做该图形的：

A.中心线；B、对称轴；C、对称中心；D-,中心点；

二、计算题(本大题有3小题，每小题5分，共15分)

第一题：

已知一个轴对称图形，该图形沿对称轴折叠后，其两部分完全重合。若对称轴将图

形分为两个三角形，其中一个三角形的顶点坐标为A(3,-2),另一个三角形的顶点坐

标为B(T,2)o求对称轴的方程。

第二题：

在一张纸上画一个等腰三角形ABC,其中AB=AC=5cm,BC=6cm0现在要求将这个等

腰三角形ABC沿着某一条直线折叠，使得点A落在BC边上，并且与点B重合。请问这

条折痕会穿过哪个位置？这条折痕的长度是多少？

第三题：

已知点A(2,3)是轴对称图形y=kx+b上的一点，且该图形关于x轴对称。求

该图形的解析式。

三、解答题（本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分）

第一题

题目描述：

在平面直角坐标系中，点A位于（-4,3）,点B位于（2,-Do求线段AB的中点M

的坐标，并判断线段AB是否是轴对称图形。

第二题：

己知一个轴对称图形，其中一条对称轴是直线（y二x）,另一条对称轴是直线3二-x）。

在坐标系中，该图形上的点（力（23）关于这两条对称轴的对称点分别是（妗和（0。

（1）求点（为和点（。的坐标；

（2）如果该图形的面积是（3⑨平方单位，求该图形的周长。

第三题

题目描述：

已知一个等腰三角形ABC中，AB=AC,点D是BC边上的中点，E是AC边上一点，

且DE垂直于AC。若AD=4cm,求BE的长度。

第四题：

已知等腰三角形ABC中，AB=AC,点D为底边BC的中点。若NBAC=45°,求证：AD

垂直于BCo

第五题

在一张纸上画一个等边三角形ABC（假设AB=AC=BC）,然后将这个三角形沿一条直

线折叠，使得顶点A落在BC边上的某个点D上，并且AD与BC平行。

1.求证：AD是等边三角形ABC的一条中线。

2.若等边三角形ABC的边长为6厘米，求AD的长度。

3.证明：

•首先，由于AABC是等边三角形，所以NBAC=ZABC=ZACB=60°<>

•当我们将^ABC沿其条直线折叠时，顶点A会落在BC边上的某个点D上，并且

AD与BC平行。

•因为AD〃BC,根据平行线性质，我们有NBAD=ZABC（同位角相等）。

•已知/ABC=60°,所以NBAD=60°。

•同理可得，ZCAD=60°o

•这样，ZBAD+ZCAD=600+60°=120°。

•在4ABD中，因为/BAD+ZABD+ZADB=180°,且NABD=60°,所以N

ADB=180°-60°-60°=60°。

•因此，^ABD是一人等边三角形，即AB=BD=AD。

•又因为AABC是等边三角形，AB=AC,所以AD也是等边三角形ABC的中线。

2.II算AD的长度：

•根据等边三角形的性质，等边三角形ABC的边长为6厘米。

•由于AD是等边三角形ABC的中线，它同时也是高。

•在等边三角形中，中线、高和角平分线三者重合，因此我们可以利用直角三角形

的性质来计算AD的长度。

•设等边三角形的边长为a=6厘米，那么中线AD将边BC分为两部分，每部分为

a/2=3厘米。

•在直角三角形ABD中，AB是斜边，BD是底边，且BD=3厘米。

•根据勾股定理，（力胪=力〃+啊，代入己知值得到（〃=力〃+为。

•解方程得到（36=/A+外从而进而（力〃=啰=3、⑶厘米。

4.证明过程如上所述，AD是等边三角形ABC的一条中线。

5.AD的长度为（3，司厘米。

第六题：

已知点A（2,3）是等腰三角形ABC的顶点，且AB=AC。若点B在x轴上，点C在

y轴上,求三角形ABC的边长AB和AC。

第七题

题目描述：

在平面直角坐标系中，已知点A（2,4）和点B（-1,-3）,请画出线段AB的垂直平分

线，并求出这条垂直平分线的方程。

《3简单的轴对称图形》同步训练及答案解析

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1、下列图形中，不是轴对称图形的是：

A.等腰三角形

B.正方形

C.等边三角形

D.平行四边形

答案：D

解析：轴对称图形是指存在一条直线（对称轴），使得图形沿这条直线折叠后，直

线两旁的部分能够完全重合。等腰三角形、正方形和等边三角形都具有这样的性质，而

平行四边形则没有，因此选项D不是轴对称图形。

2、一个图形关于直线(y=x)对称，那么以下哪个选项描述了这个图形的对称性？

A.图形的每个点与而称轴的距离相等

B.图形的每个点与而称轴的连线垂直

C.图形的每个点关于对称轴的坐标互换

D.图形的每个点关于对称轴的坐标乘积相等

答案：C

解析：当一个图形关于直线(y=x)对称时，图形的每个点与其对称点在直线。二x)

的两侧，且这两个点的坐标互换。例如，如果点(穴号/»)在图形上，那么它的对称点

(〃(6,a))也在图形上。因此，选项C正确描述了图形关于直线(y=x)的对称性。选项

A、B和D描述的是其他类型的对称性。

3、下列图形中，是轴对称图形的是：

A.平行四边形

B.等腰三角形

C.梯形

D.扇形

答案：Bo解析：等腰三角形有一条对称轴，即底边上的高所在的直线，因此它是

一个轴对称图形。

4、在轴对称图形中，如果两个图形成轴对称，那么它们的对应点连线被这称轴垂

直平分。以下哪一组图形符合这一描述？

A.两个大小相同的圆形

B.两个完全重合的直角三角形，其中一个三角形沿着一条斜边翻折得到另一个

C.两个大小相同的正方形

D.两个大小相同的长方形，一个沿一边翻折得到另一个

答案：B。解析：当两个直角三角形关于某条斜边对称时，根据轴对称的性质，这

两个三角形的对应点连线会垂直于这条对称轴，并且被对称他平分。选项B中的两个直

角三角形满足这一条件。

5、下列图形中，属于轴对称图形的是（）

A.正方形

B.平行四边形

C.等腰梯形

D.圆

答案：C

解析•：轴对称图形的定义是：存在一条直线，将图形沿这条直线折碎后，图形的两

部分能够完全重合。A选项正方形和D选项圆都符合轴对称的定义，因为它们可以沿着

任意一条通过中心的直线折叠重合。B选项平行四边形不是轴对称图形，因为没有任何

一条直线可以使它折叠后两部分完全重合。C选项等腰梯形是轴对称图形，可以沿着垂

直于底边的中线折叠重合。所以正确答案是C。

6、已知图形ABCD是轴对称图形，如果点E在图形ABCD上，那么下列说法正确的

是（）

A.点E关于轴对称的点是A

B.点E关于轴对称的点是B

C.点E关于轴对称的点是C

D.点E关于轴对称的点是D

答案：无法确定

解析：题目没有给出图形ABCD的具体形状和轴对称的具体轴，所以无法确定点E

关于轴对称的点是哪一个选项中的点。轴对称的点与图形的具体形状和对称轴的位置有

关，没有具休信息.，无法直接判断。因此，这个题巨无法确定正确答案。

7、下列图形中，哪个图形是轴对称图形？

A.一个直角三角形

B.一个等腰三角形

C.一个正方形

D.一个圆

答案：B

解析：轴对称图形是指可以沿某条直线对折后，两边完全重合的图形。等腰三角形

沿着底边的中线对折后，两边可以完全重合，所以等腰三角形是轴对称图形。而其他选

项中的直角三角形、正方形和圆都不是轴对称图形，因为它们不能通过沿某条直线对折

后两边完全重合。

8、一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，那么这个长方形的对角线长度是：

A.5厘米

B.6厘米

C.10厘米

D.12厘米

答案：C

解析：长方形的对角线长度可以通过勾股定理来计算。勾股定理指出，在一个直角

三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。在这个长方形中，长和宽分别是直角

边，对角线是斜边。所以，对角线长度等于J(长的平方+宽的平方)O计算得到7(8^2

+，2)=V(64+16)=J80=4V5o由于选项中没有4J5,我们需要将其转换为

最简形式，即10厘米，所以正确答案是C。

9、下列图形中，不是轴对称图形的是：

A.正方形；B、长方形；C、三角形；D、圆；

答案：C、三角形；

解析：轴对称图形是指一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重

合的图形。正方形、长方形和圆都是轴对称图形，而三角形不一定是轴对称图形，只有

等腰三角形和等边三角形是轴对称图形。

10、如果一个图形关于某条直线成轴对称，那么这条直线叫做该图形的：

A.中心线；B、对称轴；C、对称中心；D、中心点；

答案：B、对称轴；

解析：轴对称图形中的对称轴是一条直线，它将图形分成两个完全相同的部分，这

两个部分可以通过这条直线对折后完全重合。因此，正确答案是B、对称轴。

二、计算题(本大题有3小题，每小题5分，共15分)

第一题：

已知一个轴对称图形，该图形沿对称轴折叠后，其两部分完全重合。若对称轴将图

形分为两个三角形，其中一个三角形的顶点坐标为A(3,-2),另一个三角形的顶点坐

标为B(T,2)o求对称轴的方程。

答案：对称轴的方程为丫=X。

解析：

6.根据题意，对称轴是两个三角形的公共边，也是它们的对称轴。

7.由于点A和点B是关于对称轴对称的点，因此它们关于对称轴的中点坐标应该在

对称轴上。

8.计算点A和点B的中点坐标：(3+(-1))/2,(-2+2)/2=1,0。

9.由于中点在对称轴上，且对称轴垂直于AB线段，因此可以求出AB线段斜率的负

倒数作为对称轴的斜率。

10.AB线段的斜率k=(2-(-2))/(-1-3)=-4/4=

11.对称轴的斜率为AB线段斜率的负倒数，即1。

12.现在我们有了对称轴的斜率和它通过的一个点(1,0),可以写出对称轴的方程为

y二Xo

所以，对称轴的方程为y=xo

第二题：

在一张纸，画一个等腰三角形ABC,其中AB-AC-5cm,BC-6cm0现在要求将这个等

腰三角形ABC沿着某一条直线折叠，使得点A落在BC边上，并且与点B重合。请问这

条折痕会穿过哪个位置？这条折痕的长度是多少？

答案：

折痕会穿过等腰三角形ABC底边BC的中点，即距离点B和C各3cm的位置。折痕

的长度是4cmo

解析：

首先，我们明确题目中的关键信息：等腰三角形ABC,AB=AC=5cm,BC=6cnio要求

将这个等腰三角形沿着某条直线折叠，使得顶点A恰好落在BC边上，并与点B重合。

这样做的目的是找到等腰三角形的对称轴，该轴线通过A点并垂直于BCo

由于等腰三角形ABC中AB二AC,因此其对称轴会通过顶点A并且垂直于底边BC。这

意味着折痕将沿着从A到BC的垂线进行。

为了确定折痕的长度，我们可以利用勾股定理来解决这个问题。设折痕(即垂直平

分线)交BC于D点,则BD=DC=3cm(因为D是BC的中点此时，AD即为折痕的长度,

且ADLBC。因此，在直角三角形ABD中，我们可以应用勾股定理来求解AD的长度。

根据勾股定理有：

[4方二#-的[AD^=25-.9]\j\ff=1^[AD=4\

因此，折痕的长度为4cm。

综上所述，折痕会穿过BC的中点，长度为4cm。

第三题：

已知点A(2,3)是轴对称图形y=kx+b上的一点，且该图形关于x轴对称。求

该图形的解析式。

答案：

该图形的解析式为y=-kx-bo

解析：

由于图形关于x轴对称，点A(2,3)关于x轴的对称点A'的坐标为(2,-3)。因为

对称轴是x轴，所以对称前后的点的x坐标相同，y坐标互为相反数。

根据点A和A'都在图形上，可以列出两个方程：

3=k*2+b

-3=k*2+b

将两个方程相减，消去b,得到:

3-(-3)=k*2-k*2

6=0

这个结果显然是错误的，因为我们期望得到一个关于k的方程。这里出现错误的原

因在于直接相减消去了b,而实际上我们只需要确定k的符号。由于A和A'的y坐标

互为相反数，且A的y坐标为正，A，的y坐标为负，因此k必须为负数，即k<0。

为了找到k的值，我们可以选择其中一个方程求解：

3:k*2+b

由于我们不知道b的具体值，我们不能直接解出k。但是，由于图形是关于x轴对

称的，我们可以知道，当x=0时，y的值应该是0(即y轴截距为0)。因此，我们可以

将x=0代入方程求解b：

0=k*0+b

b=0

现在我们知道b=0,可以将b的值代入任一方程求解k：

3-k*2+0

3二2k

k=3/2

但是，由于k必须为负数，我们之前的假设(k<0)是错误的。这意味着我们在

解题过程中犯了错误。实际上，由于A的y坐标为正，而对称后的y坐标为负，k应该

是负数，且绝对值大于1。因此，正确的方程应该是：

3=-k*2+0

3=-2k

k=—3/2

所以，图形的解析式为：

y=~kx-b

y=-(-3/2)x-0

y=(3/2)x

这就是图形的解析式，但是需要注意的是，由于题目中提到图形是关于x轴对称的,

所以最终的解析式应该是：

y=-kx-b

y=-(3/2)x-0

y=~(3/2)x

答案为y=~(3/2)Xo

三、解答题(本大题有7小题，第1小题7分，后面每小题8分，共

55分)

第一题

题目描述：

在平面直角坐标系中，点A位于(-4,3),点B位于(2,-Do求线段AB的中点M

的坐标，并判断线段AB是否是轴对称图形。

答案：

线段AB的中点M的坐标为(T,1)。线段AB不是轴对称图形。

解析：

首先，根据线段中点的坐标公式，线段AB的中点M的坐标可以通过以下公式计算

得出:

将给定的坐标值代入上述公式中：

因此，线段AB的中点M的坐标为（-1,Do

接下来，讨论线段AB是否是轴对称图形的问题。线段AB是否为轴对称图形取决于

其两端点关于某条直线（即对称轴）的对称性。对于线段AB,我们需要找到一个这样

的对称轴，使得A和B关于这条对称轴对称。

考虑线段AB上的任意一点P（x,y）与它的对称点P'（X，，y'）之间的关系，我们

知道它们必须满足以下条件之一：

13.对于垂直于AB的直线（即AB的垂直平分线），若P（x,y）位于直线左侧，则P'

必位于右侧，反之亦然。

14.对于AB的垂直平分线，若P（x,y）到直线的距离等于P'（x'，y'）到该直线的

距离u

然而，观察点A和点B的位置，可以看出它们并不满足上述条件。点A位于第二象

限，而点B位于第四象限，且两点间连线斜率为正，说明它们不关于任何一条直线对称。

综上所述，线段AB不是轴对称图形。

第二题：

已知一个轴对称图形，其中一条对称轴是直线x）,另一条对称轴是直线（y=-x）。

在坐标系中，该图形上的点（4（23）关于这两条对称轴的对称点分别是（9和（0。

（1）求点（Q和点（。的坐标；

（2）如果该图形的面积是（33平方单位，求该图形的周长。

答案:

（1）点（切的坐标为（（-3,-0）,点（。的坐标为（（-2,-3）。

解析：

（1）由于点（附2学）关于直线（y=x）对称，对称点的坐标交换（x）和（y）的值，所以

点（切的坐标为（（-3,-0）。同理，点（力）关于直线（y=-x）对称，对称点的坐标是原点与

点（4）坐标的相反数，所以点（。的坐标为（（-2-3）。

（2）由于点（用和点（为关于（y=x）对称，且点（力）和点⑷关于（y二-x）对称，可以

推断出图形是一个等腰直角三角形，其中Q1份和（力。是等腰直角三角形的两条腰，且

是斜边。

由于（/⑹和（力。的长度相等，可以通过点（⑷和点（囱的坐标计算（幽的长度：

[止J（2-（--+（3-02=1夕+—=\[50=对

等腰直角三角形的斜边（仇）的长度是（力切的（、/2）倍，因此：

[BC=AB-ey[2=J0\

图形的面积是（36）平方单位，对于等腰直角三角形，面积（5）可以用公式（S二（X

腰义腰）计算，所以：

\36={XABX/呵[36={X（,即1卜6=；X剑[36=2句

这显然是不正确的，因为我们的计算过程中出现了错误。正确的面积计算应该是：

（S=-XABXBC^[36=/X5^2X/〃][36=2乐冏

这同样是不正确的，因为等腰直角三角形的面积不能是（纤⑶。这意味着我们的假

设（图形是等腰直角三角形）是错误的。实际上，这个图形应该是一个正方形，因为两

条对称轴（y=x）和（y二-x）将正方形对称地分割