2026届北京市第156中学高二数学第一学期期末经典试题含解析

2026届北京市第156中学高二数学第一学期期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题“存在，使得”的否定为（）A.存在， B.对任意，C对任意， D.对任意，2．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.1 B.0C.−1 D.−33．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（）A.30m B.C. D.4．下列命题中，结论为真命题的组合是（）①“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件②若命题“”为假命题，则命题一定是假命题③是的必要不充分条件④双曲线被点平分的弦所在的直线方程为⑤已知过点的直线与圆的交点个数有2个.A.①③④ B.②③④C.①③⑤ D.①②⑤5．过点且与原点距离最大的直线方程是（）A. B.C. D.6．设函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.7．已知数列的前n项和为，则“数列是等比数列”为“存在，使得”的（）A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.充分不必要条件8．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率（）A. B.C. D.9．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（）A. B.C. D.10．不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）A.C的方程为B.当A，B，P三点不共线时，面积的最大值为24C.当A，B，P三点不共线时，射线是的角平分线D.在C上存在点M，使得12．已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左，右焦点分别为，，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率___________.14．如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角为__.15．若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则___________.16．如图，按照以下规律排列的数阵中，第i行从左向右第j个数记为，如，，则______；令则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足，（）.（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）数列满足：（），求数列的前项和.18．（12分）某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数的分布列为567.表示2台设备使用期间需更换的零件数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.（1）求的分布列；（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选哪一个？19．（12分）已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心．过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从上到下）（1）求抛物线方程并证明是定值；（2）若，的面积比是，求直线的方程20．（12分）近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.参考数据：65091.552.51478.630.5151546.5表中.（1）根据散点图判断与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；（3）经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N），那这种化肥的有效率超过58%的概率约为多少？附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②若随机变量，则有，；③取.21．（12分）（1）某校运动会上甲、乙、丙、丁四名同学在100m、400m、800m三个项目中选择，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同学选报100m、400m、800m三个项目，每项均有一人报名，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同学争夺100m、400m、800m三项冠军，共有多少种可能的结果？22．（10分）某企业2021年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到．每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产．设从2021年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，…（1）写出，，，并证明数列是等比数列；（2）至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？（lg

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据特称命题否定的方法求解，改变量词，否定结论.【详解】由题意可知命题“存在，使得”的否定为“对任意，”.故选：D.2、B【解析】先画出可行域，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，求出点的坐标代入目标函数中可得答案【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，由，得，即，所以的最大值为，故选：B3、D【解析】在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【详解】由题设知：，又，△中，可得，在△中，，则.故选：D4、C【解析】求出两直线垂直时m值判断①；由复合命题真值表可判断②；化简不等式结合充分条件、必要条件定义判断③；联立直线与双曲线的方程组成的方程组验证判断④；判定点与圆的位置关系判断⑤作答.【详解】若直线与直线相互垂直，则，解得或，则“”是“直线与直线相互垂直”的充分而不必要条件，①正确；命题“”为假命题，则与至少一个是假命题，不能推出一定是假命题，②不正确；，，则是的必要不充分条件，③正确；由消去y并整理得：，，即直线与双曲线没有公共点，④不正确；点在圆上，则直线与圆至少有一个公共点，而过点与圆相切的直线为，直线不包含，因此，直线与圆相交，有两个交点，⑤正确，所以所有真命题的序号是①③⑤.故选：C5、A【解析】过点且与原点O距离最远的直线垂直于直线，再由点斜式求解即可【详解】过点且与原点O距离最远的直垂直于直线，，∴过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，∴过点且与原点O距离最远的直线方程为：，即.故选：A6、A【解析】利用导数的几何意义求解即可【详解】由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即，故选：A7、D【解析】由充分必要条件的定义，结合等比数列的通项公式和求和公式，以及利用特殊数列的分法，即可求解.【详解】由题意，数列是等比数列，设等比数列的公比为，则，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，当，可得，此时数列不是等比数列，即必要性不成立，所以数列是等比数列为存在，使得的充分不必要条件.故选：D.8、A【解析】先根据前三项的系数成等差数列求，再根据古典概型概率公式求结果【详解】因为前三项的系数为，，，当时，为有理项，从而概率为.故选：A.9、D【解析】根据等比数列性质可知，，，成等比数列，由等比中项特点可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果.【详解】由等比数列的性质可得：，，，成等比数列，则，即，解得：，，，解得：.故选：D.10、A【解析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解即可【详解】由，得，解得，所以原不等式的解集为，故选：A11、C【解析】根据题意可求出C的方程为，即可根据题意判断各选项的真假【详解】对A，由可得，化简得，即，A错误；对B，当A，B，P三点不共线时，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，B错误；对C，当A，B，P三点不共线时，因为，所以射线是的角平分线，C正确；对D，设，由可得点的轨迹方程为，而圆与圆的圆心距为，两圆内含，所以这样的点不存在，D错误故选：C12、A【解析】根据离心率求出的值，再根据渐近线方程求解即可.【详解】因双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为：，又因为双曲线离心率为，且，所以，解得，即渐近线方程为：.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】设切点，根据，可得，在中，利用余弦定理构造齐次式，从而可得出答案.【详解】解：设切点，由，∴，∵为中点，则为中位线，∴，，中，，，，∴.故答案为：2.14、【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角.【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，2，，，1，，，，设异面直线与所成角为，，异面直线与所成角为.故答案为：.15、-1【解析】根据给定条件设出点A，B的坐标，再借助“点差法”即可计算得解.【详解】依题意，线段的中点在椭圆C内，设，，由两式相减得：，而，于是得，即，所以.故答案为：16、①.55②.【解析】令易知是首项为，公差为1的等差数列，写出通项公式，再应用累加法求及通项公式，结合求通项公式，进而可得，最后两次应用错位相减法求即可.【详解】由题设知：令，则是首项为，公差为1的等差数列，故，所以，即，由上可得：，则，而，所以，则，所以，，所以，令，则，所以，故，综上，，则.故答案为：，.【点睛】关键点点睛：通过图总结规律，易知是等差数列，应用累加法求，再由求通项公式，最后应用错位相减法求前n项和.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析，；(2).【解析】(1)将给定等式变形，计算即可判断数列类型，再求出其通项而得解；(2)利用(1)的结论求出数列的通项，然后利用错位相减法求解即得.【详解】(1)因数列满足，，则，而，于是数列是首项为1，公比为2的等比数列，，即，所以数列是等比数列，，；(2)由(1)知，则于是得，，所以数列的前项和.18、（1）答案见解析；（2）应选择.【解析】(1)由每台设备需更换零件个数的分布列求出的所有可能值，并求出对应的概率即可得解.(2)分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答.【小问1详解】的可能取值为10，11，12，13，14，，，，，，则的分布列为：10111213140.090.30.370.20.04【小问2详解】记为当时购买零件所需费用，，，，，元，记为当时购买零件所需费用，，，，元，显然，所以应选择.19、（1），证明见解析（2）【解析】（1）根据，结合韦达定理即可获解（2），再结合焦点弦公式即可获解【小问1详解】由题知，故，抛物线方程为，设直线的方程为，，，，，，得，，，，【小问2详解】，由（1）知，可求得，，故的方程为，即【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是要把面积的比例关系转为为边的比例关系20、（1）；（2）；810公斤；（3）.【解析】（1）根据散点图的变化趋势，结合给定模型的性质直接判断适合的模型即可.（2）将（1）中模型取对得，结合题设及表格数据求及参数，进而可得参数c，即可确定回归方程，进而估计时粮食亩产量y的值.（3）由题设知，结合特殊区间的概率值及正态分布的对称性求即可.【小问1详解】根据散点图，呈现非线性的变化趋势，故更适合作为关于的回归方程类型.【小问2详解】对两边取对数，得，即，由表中数据得：，，，则，∴关于的回归方程为，当时，，∴当化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量约为810公斤.小问3详解】依题意，，则有，∴，则，∴这种化肥的有效率超过58%的概率约为.21、（1）81种；（2）24种；（3）64种【解析】（1）利用分步计数原理可求报名方法总数.（2）利用分步计数原理可求报名方法总数.（3）利用分步计数原理可求报名方法总数.【详解】（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有（种）报名方法（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此100m项目有4种选法，400m项目有3种选法，800m项目只有2种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有（种）（3）要完成的