基本初等函数的导数高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

6.1.3基本初等函数的导数人教B版（2019）选择性必修第三册学习目标CONTENTS1.理解导函数的概念，体现数学抽象能力（重点）2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用，体现数学计算能力（难点）课程引入尝试与发现已知函数f(x)=x2，任取一个实数x0，判断f(x)在x0处是否可导，如果可导，求出f′(x0)，并观察f′(x0)与的x0联系.

课程内容教学尝试与发现已知函数f(x)=x2，任取一个实数x0，判断f(x)在x0处是否可导，如果可导，求出f′(x0)，并观察f′(x0)与的x0联系.显然，f′(x0)随x0的变化而变化，而且x0的值确定之后，x0也就确定了．例如，x0=2时，f′(2)=2×2=4；

x0=3时，f′(-3)=2×(-3)=-6．这就说明，f′(x0)是x0的函数．课程内容教学导数的概念一般地，如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数

f′(x)．于是，在f(x)的定义域内，

f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数，记作f′(x)（或y′,yx′），即导函数通常也简称为导数．本书后续内容中，除了特别声明指的是求某一点的导数之外，“求导数”均指的是“求导函数”．课程内容教学思考一下：如何求出一个点的导数？如果已知函数f(x)的导函数是f′(x)，那么可以方便地求得这个函数在x=x0处的导数f′(x0)：只要将x=x0代入导函数的表达式即可．这也说明，如果函数f(x)的导函数存在，那么曲线y=f(x)在每一点处的切线都存在．举个例子：前面的尝试与发现说明，当f(x)=x2时，其导函数f′(x)=2x．为了求得f′(-1)的值，只要将x=-1代入导函数的表达式即可，即f′(-1)=2(-1)=-2．课程内容教学例1：分别求出下列函数的导数.(1)f(x)=C，其中C是常数；根据定义可知(2)f(x)=x；根据定义可知课程内容教学(3)f(x)=x3；例1：分别求出下列函数的导数.根据定义可知课程内容教学(4)f(x)=；例1：分别求出下列函数的导数.根据定义可知课程内容教学(5)f(x)=(x>0)根据定义可知例1：分别求出下列函数的导数.课程内容教学思考一下：根据例1，你可以得到导数的几何意义是什么？上述结果表明，例1中的函数在它们的定义域或指定的范围内都是可导的，这也就说明对应的曲线在各点处都存在切线．我们还能根据导函数来分析不同点的切线有什么联系或不同．例如：由f(x)=x3的导函数f′(x)=3x2是偶函数可知，在曲线y=x3上，自变量互为相反数的两点，它们的切线的斜率相等；又因为x>0时，f′(x)=3x2是增函数，这就说明曲线y=x3在x>0的那一部分，自变量越大，切线的斜率越大，如图所示．课程内容教学思考一下：根据例1，你可以得到导数的几何意义是什么？同样，由f(x)=的导函数为f′(x)=

也能得到类似的结论．例如：曲线y=在x>0的那一部分，自变量越大，切线的斜率越大，如图所示．课程内容教学尝试与发现观察上述导函数的结论，归纳出f(x)=xa(a≠0)的导函数具有的形式（即写出(xa)′的结果）．结合(x2)′=2x和(x3)′=3x2，可以归纳出

(xa)′=axa-1事实上，可以证明上式对任意实数a都成立.课程内容教学例2：已知f(x)=，求f′(4)以及曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程.因为y-8=3(x-4)即y=3x-4.课程内容教学例3：已知函数f(x)=ex，g(x)=lnx，求f′(x)，g′(x).在(ax)′=axlna中令a=e，可得(ex)′=exlne=ex因此f′(x)=ex在(logax)′=axlna中令a=e，可得课程内容教学例4：求曲线y=sinx在(0,sin0)处切线的切线方程.因为(sinx)′=cosx，所以所求切线的斜率为cos0=1，又因为sin0=1，所以所求切线方程为y-0=1(x-1)即y=x.课程内容教学例5:已知函数f(x)=x2，而l是曲线y=f(x)的切线，且l经过点(2,3)．(1)判断(2,3)是否是曲线y=f(x)上的点；

(2)求l的方程.设切点为(x0,f(x0))，因为f′(x)=2x所以切线的斜率为f′(x)=2x0，又因为f(x0)=x02，所以直线l的方程为y-x02=2x0(x-x0)将(2,3)代入上式并整理，可得课程内容教学例5:已知函数f(x)=x2，而l是曲线y=f(x)的切线，且l经过点(2,3)．(2)求l的方程.x02-4x0+3=0

因此，切点为(1,1)或(3,9)，切线方程为y-1=2(x-1)或y-9=2(x-3)即l的方程为y=2x-1或y=6x-9.注意：例5说明，在利用导数求曲线的切线时，关键是要确定切点．课程内容教学总结：导数的公式表：1.C′=02.(xa)′=axa-13.(ax)′=axlna5.(sinx)′=cosx6.(cosx)′=-sin