数列的概念高二上学期数学人教A版选择性必修二

4.1数列的概念(1)第四章数列数列的概念与通项公式2025新高考1卷，T13+T16 共20分2025新高考2卷，T7+T9 共11分2024新高考1卷，T19 共17分2024新高考2卷，T12+T19(2) 共11分2023新高考1卷，T17+T20 共17分(共22题)2023新高考2卷，T8+T18 共17分教学目标

理解数列的有关概念和几种简单的表示方法（重点）01

发现数列的规律，找出数列可能的通项公式（难点）02掌握数列通项公式概念及其应用（重点、难点）03

04学科素养

理解数列的有关概念数学抽象

直观想象

逻辑推理

发现数列的规律，找出数列可能的通项公式数学运算

数据分析

数列的几种简单的表示方法

数学建模在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:1.王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位:cm)依次排成一列数:

75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168

①

2.在两河流域发掘的一块泥版上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:5,10,

20,40,80,96,

112,128,144,160,176,

192,

208,224,240②这一列数是身高按岁数从1到17的顺序排列得到的，它们之间不能交换位置.所以，①是具有确定顺序的一列数.这一列数按日期从1到15的顺序排列得到的，同样它们之间也不能交换位置.所以，②也是具有确定顺序的一列数.数列的相关概念：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.备注：1、数列中的数有顺序，如1,2,3,4和4,3,2,1是不同的数列；2、数列中的数可以相同，如1,1,1,1和2,2,2,2都是数列.1、数列的定义：2、数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项(也称为首项)，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示······第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，….(n∈N*)，简记作{an}.备注：1、{an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，….；

an表示数列{an}中的第n项.{an}是数列的简记符号，不表示一个集合.2、{a1，a2，a3，…，an…}是错误的。由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:序号123···n

···项a1

a2

a3···an

···所以从函数的观点看，数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,···,n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n).也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2),···,f(n),···就是数列{an}.另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意义，那么f(1)，f(2),···,f(n),···构成了一个数列{f(n)}.以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示.数列的分类：1.以项数来分类：(1)有穷数列：(2)无穷数列：2.以各项的大小关系来分类：(1)递增数列：(2)递减数列：(3)常数列：(4)摆动数列：各项都相等的数列；从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.项数有限的数列；项数无限的数列.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.1．下列说法中，正确的是(

)A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C．数列的项可以相等D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列CC练习：数列的通项公式

填空：(1)2，4，

，16，32，

，128，…，通项公式为________;

思考数列5,10,

20,40,80,96,

112,128,144,160,176,

192,

208,224,240有通项公式吗？

为什么？

①通项公式就是数列的函数解析式，借助通项公式可以求数列中的任何一项；②可以判断某个数是不是数列中的项；③判断数列的增减性；④求数列的最大项和最小项。

数列图象是一些离散的点

数列与函数函数数列定义域R或R的子集N*或它的子集解析式y=f(x)an=f(n)图像点的集合一些离散的点的集合1.写出下列数列的前10项，并作出它们的图象:(1)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列;

(2)当自变量x依次取1,2,3,‧‧‧时，函数f(x)=2x+1的值构成的数列;课本P52.根据数列{an}的通项公式填表:n12‧‧‧5‧‧‧‧‧‧‧‧‧nan‧‧‧‧‧‧153‧‧‧273‧‧‧3(3+4n)21336912223.除数函数(divisorfunction)y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数,例如,d(1)=1,d(4)=3.写出数列d(1),

d(2),‧‧‧,d(n),‧‧‧的前10项.课本P5

常见数列通项公式求法：(1)常见数列：正整数列，奇数列，偶数列，平方数列等直接写通项公式；(2)分式数列：观察分子、分母的特点后写通项公式；(3)指数数列：观察底数、指数的特点后写通项公式；(4)各项符号一正一负：

课本P5

根据下列数列的通项公式，写出前五项

4.1数列的概念(2)第四章数列数列的单调性与最值教学目标

了解数列的单调性的相关概念（重点）01

理解数列的单调性与函数单调性的联系与区别（重点）02

掌握判断数列的单调性的常用方法（重点、难点）03

会求数列最大、最小项及参数范围（难点）

04学科素养

数列的单调性的相关概念数学抽象

通过特定数列及其图像归纳出数列的单调性

直观想象

判断数列的单调性的常用方法逻辑推理

求数列最大、最小项及参数范围数学运算

数据分析

数学建模数列的分类：以各项的大小关系来分类：(1)递增数列：

(2)递减数列：

(3)常数列：

(4)摆动数列：各项都相等的数列；从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.对任意n∈N*，总有an+1=an.要判断数列{an}的单调性，从单调性的定义来看，我们只需比较

an+1与an的大小，而作差法是比较大小常用的一种方法．

数列的单调性.变式.判断下列数列{an}的单调性：练习.判断下列数列{an}的单调性：

4.1数列的概念(3)第四章数列

教学目标

了解数列递推公式的定义，理解用递推公式定义数列的方法（重点）01

能根据递推公式和首项写出数列的后续各项（重点）02根据数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式（重点、难点）03

04数列的递推公式学科素养

数列递推公式的定义数学抽象

直观想象

用递推公式定义数列的方法，由Sn求an的推导过程逻辑推理

根据递推公式和首项写出数列的后续各项，由Sn求an数学运算

数据分析

根据数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式数学建模数列的概念数列的递推公式例1.图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项,写出这个数列的一个通项公式.换个角度观察图可以发现，从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.这样，例1中的数列的前4项满足：

a1=1,a2=3a1,a3=3a2,a4=3a3.由此猜测这个数列满足公式像an=3an-1(n≥2)这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.数列的递推公式：如果知道了一个数列的首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了.当不能明显看出数列的项的取值规律时,可以尝试通过运算来寻找规律.如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.

练习:

根据递推公式和初始条件，写出数列{an}的前5项，并猜想数列{an}的通项公式．

解

反复利用递推公式，列表如下：n12345……nan1……3715312n-1于是，数列{an}的前5项分别是：1，3，7，15，31，猜想数列{an}的通项公式为2n-1．数列的递推公式例3.2500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子．他们发现1，3，6，10，15，…这些数量的石子，都可以排成三角形(如图)，并称这样的数为“三角形数”．记图中小圆的个数依次构成数列{an}，试写出数列{an}的一个递推关系．数列的递推公式解

由图可知，

a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，而且，在第n个“三角形数”图案的下面添加n＋1个小圆，即得到第n＋1个“三角形数”图案，因此，

an+1=an＋n＋1(n≥1)，a1=1为数列{an}的一个递推关系．数列的递推公式练习.观察下图，写出点数列{an}的一个递推关系，并写出数列{an}的一个通项公式．解

由图可知，

a1=4，a2=7，a3=10，a4=13，……而且，在第n个图案的添加3个小圆，即得到第n＋1个图案，因此，

an+1=an＋3(n≥1)，a1=4为数列{an}的一个递推关系．数列{an}的一个通项公式为：an=3n＋1．探索延拓创新斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci，生于