2026年数据结构与算法复杂度分析习题集

2026年数据结构与算法复杂度分析习题集一、选择题（每题2分，共10题）1.在以下数据结构中，最适合进行快速插入和删除操作的是？A.数组B.链表C.栈D.堆E.哈希表2.快速排序的平均时间复杂度是？A.O(n²)B.O(nlogn)C.O(logn)D.O(n)E.O(n³)3.在一个长度为n的有序数组中，二分查找最坏情况下的时间复杂度是？A.O(1)B.O(logn)C.O(n)D.O(nlogn)E.O(n²)4.以下哪个算法是典型的分治算法？A.冒泡排序B.插入排序C.快速排序D.选择排序E.希尔排序5.在最坏情况下，归并排序的时间复杂度是？A.O(n)B.O(nlogn)C.O(n²)D.O(logn)E.O(n³)二、填空题（每空1分，共5题）6.在二叉搜索树中，任意节点的左子树中的所有节点的值都小于该节点的值，右子树中的所有节点的值都大于该节点的值，这一性质称为__________性质。7.堆是一种特殊的__________树，分为最大堆和最小堆两种。8.在动态规划中，解决子问题重叠的问题，通常采用__________和__________两种技术。9.递归算法的时间复杂度分析通常使用__________法或__________法。10.哈希表的冲突解决方法主要有__________和__________两种。三、简答题（每题5分，共5题）11.简述快速排序和归并排序的区别，并说明各自的时间复杂度和适用场景。12.解释什么是时间复杂度，为什么需要分析算法的时间复杂度？13.描述二叉搜索树的性质，并说明如何实现二叉搜索树的插入和删除操作。14.什么是动态规划？请举例说明动态规划的应用场景。15.解释哈希表的原理，并说明常见的哈希函数设计方法。四、计算题（每题10分，共3题）16.给定一个数组`arr=[5,2,9,1,5,6]`，使用快速排序算法对其进行排序，并写出每一步的中间状态。17.假设一个哈希表的大小为10，使用哈希函数`h(key)=key%10`，并采用链地址法解决冲突。请将关键字序列`[22,15,5,9,30]`插入哈希表，并画出最终的哈希表结构。18.给定一个斐波那契数列的递归函数：deffibonacci(n):ifn<=1:returnnelse:returnfibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)分析该函数的时间复杂度，并提出优化方法。五、编程题（每题15分，共2题）19.实现一个二叉搜索树，并编写插入和查找操作的时间复杂度分析。20.编写一个函数，使用归并排序对链表进行排序，并分析其时间复杂度。答案与解析一、选择题1.E.哈希表-链表和哈希表支持快速的插入和删除操作，但哈希表的平均时间复杂度为O(1)，链表为O(1)或O(n)（取决于操作位置）。2.B.O(nlogn)-快速排序在平均情况下时间复杂度为O(nlogn)，最坏情况为O(n²)（如已排序数组）。3.B.O(logn)-二分查找每次将搜索范围减半，时间复杂度为O(logn)。4.C.快速排序-快速排序通过递归将问题分解为更小的子问题，属于分治算法。5.B.O(nlogn)-归并排序无论最好、最坏或平均情况均为O(nlogn)。二、填空题6.二叉搜索树-这是二叉搜索树的核心性质，确保搜索效率。7.完全-堆是满足父子节点大小关系的完全二叉树。8.记忆化搜索、重叠子问题分解-记忆化搜索避免重复计算，重叠子问题分解指子问题被多次调用。9.递归树-通过树形结构分析递归调用次数，标记法通过标记递归调用关系简化分析。10.链地址法、开放地址法-链地址法用链表处理冲突，开放地址法通过探测解决冲突。三、简答题11.快速排序与归并排序的区别-快速排序：分治算法，通过枢轴分区，平均O(nlogn)，最坏O(n²)。适用于原地排序，不稳定性。-归并排序：分治算法，合并有序子数组，稳定，时间复杂度O(nlogn)，需额外空间。-适用场景：快速排序适用于数据量较大且允许不稳定性；归并排序适用于稳定性要求高或链表排序。12.时间复杂度分析目的-时间复杂度描述算法运行时间随输入规模增长的变化趋势，帮助比较算法效率，优化资源消耗。13.二叉搜索树性质与操作-性质：左子树值<节点值<右子树值。-插入：从根节点比较，递归找到合适位置插入。-删除：分三种情况（删除节点为叶节点、单子节点、双子节点），需调整树结构以保持性质。14.动态规划-通过将问题分解为子问题并存储结果（记忆化）避免重复计算，适用于有最优子结构和重叠子问题的问题（如背包问题）。15.哈希表原理与哈希函数设计-原理：通过哈希函数将关键字映射到表项，支持O(1)平均查找。-哈希函数设计：均匀分布关键字，常用方法有取模法、折叠法、乘法法等。四、计算题16.快速排序中间状态-初始：[5,2,9,1,5,6]-选择枢轴5，分区后：[2,1,5,5,9,6]→[1,2,5,5,9,6]（交换5和5）-继续分区，最终排序：[1,2,5,5,6,9]17.哈希表插入-h(22)=2,h(15)=5,h(5)=5,h(9)=9,h(30)=0-最终表：-0:30-1:-2:22-3:-4:-5:15->5-6:-7:-8:-9:918.斐波那契时间复杂度分析-递归树深度为n，每层节点数呈指数增长，时间复杂度O(2^n)。-优化：使用动态规划存储子问题结果，时间复杂度O(n)。五、编程题19.二叉搜索树实现pythonclassTreeNode:def__init__(self,val):self.val=valself.left=Noneself.right=NoneclassBST:definsert(self,root,val):ifnotroot:returnTreeNode(val)ifval<root.val:root.left=self.insert(root.left,val)else:root.right=self.insert(root.right,val)returnroot-插入时间复杂度O(h)，平衡树为O(logn)。20.归并排序链表pythonclassListNode:def__init__(self,val):self.val=valself.next=Nonedefmerge_sort(head):ifnotheadornothead.next:returnheadmid=get_mid(head)left=merge_sort(head)right=merge_sort(mid)returnmerge(left,right)defmerge(left,right):dummy=ListNode(0)ptr=dummywhileleftandright:ifleft.val<right.val:ptr.next=leftleft=le