高等教育自学考试《统计学原理》试题及答案

高等教育自学考试《统计学原理》试题及答案一、单项选择题（每小题1分，共20分）1.某市2022年人口普查资料显示常住人口为1236万人，该数据属于A.定类数据 B.定序数据 C.定距数据 D.定比数据答案：D解析：人口数具有绝对零点，且可计算倍数关系，符合定比尺度特征。2.在抽样调查中，若总体方差未知，且样本容量n=35，则总体均值μ的1–α置信区间应选用的分布为A.标准正态 B.t分布 C.χ²分布 D.F分布答案：B解析：n<50且总体方差未知，按t分布处理，自由度34。3.下列关于相关系数r的叙述，正确的是A.|r|越接近0，线性关系越强 B.r=0.8表示解释变量能解释80%的变异C.r无量纲 D.r>0时，两变量一定存在因果关系答案：C解析：相关系数标准化后无单位，取值–1~1，仅度量线性相关强度，不隐含因果。4.若随机变量X~N(μ,σ²)，则P(μ–σ<X<μ+σ)约为A.50% B.68.27% C.95% D.99%答案：B解析：正态分布经验法则，±1σ区间概率68.27%。5.在假设检验中，增大样本容量会导致A.α一定减小 B.β一定减小 C.检验功效1–β一定增大 D.临界值不变答案：C解析：样本量↑→标准误↓→分布更集中，β↓，功效↑；α由研究者事先设定，不受n直接影响。6.对同一组数据分别计算众数、中位数、均值，若分布右偏，则三者大小关系为A.众数<中位数<均值 B.均值<中位数<众数C.中位数<众数<均值 D.众数=中位数=均值答案：A解析：右偏时，右侧极端值将均值拉向较大值，众数最小，中位数居中。7.在单因素方差分析中，若F统计量显著，则A.各总体方差不全相等 B.各总体均值不全相等C.各样本方差不全相等 D.各样本容量必须相等答案：B解析：F检验的原假设H₀：μ₁=μ₂=…=μk，拒绝即至少一对均值不等。8.某时间数列环比增长率依次为2%，–1%，3%，则定基（以第0期为100）第三期值为A.104.00 B.104.06 C.103.94 D.102.97答案：B解析：100×1.02×0.99×1.03≈104.06。9.若回归模型ŷ=25+3x，x每增加1单位，y平均A.增加25 B.增加3 C.增加28 D.减少3答案：B解析：斜率3即为x边际效应。10.在指数编制中，拉氏价格指数使用A.基期数量加权 B.报告期数量加权 C.基期价格加权 D.报告期价格加权答案：A解析：Laspeyres指数公式∑p₁q₀/∑p₀q₀，权数固定为基期数量。11.对某批产品进行不放回抽样，若总体N=500，样本n=50，则样本比例的标准误计算应使用修正因子A.√[(N–n)/(N–1)] B.√[n/(N–1)] C.(N–n)/N D.1答案：A解析：有限总体修正因子为√[(N–n)/(N–1)]，可缩小标准误。12.若事件A、B互斥且P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)=A.0.15 B.0.8 C.0.2 D.0.5答案：B解析：互斥时P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8。13.在箱线图中，箱体长度表示A.全距 B.四分位距 C.标准差 D.方差答案：B解析：箱体上边缘Q3，下边缘Q1，长度=Q3–Q1即IQR。14.若随机变量X服从参数λ=2的泊松分布，则E(X²)=A.2 B.4 C.6 D.8答案：C解析：泊松分布E(X)=λ，Var(X)=λ，E(X²)=Var(X)+[E(X)]²=2+4=6。15.对同一总体采用同样样本量，分别用简单随机抽样与分层抽样，一般而言A.前者方差更小 B.后者方差更小 C.两者方差相等 D.无法比较答案：B解析：分层抽样层内同质性高，可降低估计量方差。16.在多元线性回归中，若某自变量VIF=8，则一般认为A.不存在多重共线 B.存在轻微共线 C.存在严重共线 D.模型无效答案：C解析：方差膨胀因子>10为严重，>5已需关注，8属较高。17.若某指标季节指数第一季度为115%，说明A.该季受随机因素影响大 B.该季比全年平均高15%C.该季比去年同季高15% D.该季数据错误答案：B解析：季节指数>100表示该季水平高于全年平均。18.对同一组数据，若峰度系数K>3，则分布形态为A.低阔峰 B.高尖峰 C.正态峰 D.无法判断答案：B解析：峰度>3称尖峰厚尾，比正态更集中顶部。19.在统计质量控制图中，中心线CL通常取A.规格上限 B.规格下限 C.过程均值 D.公差中心答案：C解析：控制图中心线即过程稳定时的μ估计值。20.若两独立样本t检验结果p=0.032，显著性水平α=0.05，则A.拒绝H₀，犯第一类错误概率为3.2% B.拒绝H₀，犯第一类错误概率为5%C.不拒绝H₀，可能犯第二类错误 D.无法判断答案：B解析：p<α拒绝H₀，第一类错误概率即α=5%，与p值无关。二、多项选择题（每小题2分，共10分，多选少选均不得分）21.下列属于描述统计方法的有A.直方图 B.箱线图 C.假设检验 D.散点图 E.参数估计答案：ABD解析：描述统计用图表概括数据，C、E属推断统计。22.影响样本容量确定的因素包括A.总体方差 B.允许误差 C.置信水平 D.抽样方式 E.问卷长度答案：ABCD解析：样本量公式均含σ、E、Zα/2及设计效应，与问卷长度无直接关系。23.下列关于移动平均法的说法正确的有A.可消除季节变动 B.阶数越大，平滑效果越强 C.会损失首尾数据 D.可用于趋势预测 E.对随机波动敏感答案：BCD解析：移动平均削弱短期波动，阶数大则更平滑，首尾无法计算，不能消除季节，需季节调整。24.若回归模型存在异方差，则A.OLS估计有偏 B.OLS估计仍无偏 C.标准误失效 D.t检验不可靠 E.可用加权最小二乘修正答案：BCDE解析：异方差下OLS仍线性无偏，但方差非最小，标准误估计偏，检验失效，可用WLS。25.下列属于时间数列构成要素的有A.长期趋势 B.季节变动 C.循环变动 D.不规则变动 E.抽样误差答案：ABCD解析：时间数列经典四要素，抽样误差属调查误差。三、判断题（每小题1分，共10分，正确打“√”，错误打“×”）26.标准差一定小于均值。答案：×解析：标准差与均值量纲相同，但数值大小无必然关系，如N(0.01,1)即反例。27.若两变量完全线性相关，则回归直线通过所有样本点。答案：√解析：|r|=1时残差平方和为0，拟合完美。28.泊松分布的均值与方差始终相等。答案：√解析：泊松分布参数λ同时等于期望与方差。29.在假设检验中，p值越大，拒绝原假设的证据越强。答案：×解析：p值越大，越不能拒绝H₀。30.指数平滑法平滑系数α越接近1，对历史数据遗忘速度越慢。答案：×解析：α→1表示最新观测权重极高，遗忘速度越快。31.对正态总体，样本均值的标准误随样本量增大而减小。答案：√解析：标准误=σ/√n，n↑则↓。32.若置信水平从95%提高到99%，则置信区间宽度一定变窄。答案：×解析：置信水平↑→Zα/2↑→区间变宽。33.中位数对极端值比均值更敏感。答案：×解析：中位数仅依赖位次，对极端值稳健。34.在列联表χ²检验中，期望频数小于5的单元格比例应低于20%。答案：√解析：Cochran准则建议，否则需合并或改用Fisher精确检验。35.若随机变量X~N(10,4)，则2X~N(20,8)。答案：×解析：线性变换Var(aX)=a²Var(X)，故Var(2X)=4×4=16，应为N(20,16)。四、填空题（每空2分，共20分）36.若样本数据5，7，8，9，11，则其极差为6。37.设随机变量T服从自由度为15的t分布，则其方差为15/13（保留分数）。38.在指数体系中，销售额指数=价格指数×数量指数。39.若回归决定系数R²=0.64，则解释变量对因变量的变异解释比例为64%。40.对总体比例进行估计时，若样本比例p̂=0.4，n=100，则其标准误为0.04899（保留5位小数）。41.某企业2020—2023年利润（万元）依次为200，230，270，则几何平均增长率为10.63%（保留两位小数）。42.若X~B(n=10,p=0.3)，则P(X=0)=0.0282（保留4位小数）。43.在质量控制中，过程能力指数Cp=1.33，说明过程不合格品率约为0.0064%（双侧，正态，查表）。44.若季节指数之和为400%，说明该数据为季度数据。45.对同一组数据，若偏度系数为–0.8，则分布左尾比右尾长。五、简答题（每小题8分，共24分）46.简述中心极限定理的主要内容及其在统计推断中的作用。答案：中心极限定理指出，从任意总体（均值μ、有限方差σ²）中抽取容量为n的简单随机样本，当n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从N(μ,σ²/n)。该定理奠定了大样本推断的基础：（1）使未知分布总体的均值置信区间构建成为可能；（2）使大样本下Z检验无需假定总体正态；（3）为比例、两均值差等非正态问题的近似正态解法提供理论依据；（4）解释了为何许多自然、社会现象叠加后呈钟形分布，提升模型泛化能力。47.说明多重共线性对多元回归模型的影响，并给出两种诊断及两种解决办法。答案：影响：（1）OLS估计量仍无偏，但方差膨胀，导致t检验失效，系数符号可能反常；（2）模型对样本微小变化极度敏感，预测稳定性下降；（3）难以评估单个自变量对因变量的边际贡献。诊断：①方差膨胀因子VIF>10（或>5）提示严重共线；②特征值条件数κ>30表明设计矩阵病态。解决办法：①删除或合并高度相关的自变量；②采用岭回归、Lasso等正则化技术，在偏差—方差间权衡。48.比较简单随机抽样与分层抽样在估计总体均值时的效率差异，并给出分层抽样精度更高的前提条件。答案：简单随机抽样方差V(ȳ)=S²/n；分层抽样方差V(ȳ_st)=∑W_h²S_h²/n_h，若层内方差S_h²远小于总体方差S²，且层均值差异大，则分层估计量方差显著降低。前提：（1）分层变量与调查变量高度相关；（2）各层内部同质、层间异质；（3）层权准确、无非抽样误差；（4）合理分配样本（如Neyman最优分配），才能充分发挥分层效率优势。六、计算题（共46分）49.（10分）某高校自考办随机抽取36名考生，统计得平均成绩74分，标准差9分。假定成绩近似正态，试求：（1）该校全体考生平均成绩μ的95%置信区间；（2）若希望估计误差不超过2分，置信水平仍为95%，求所需样本量。答案：（1）n=36，ȳ=74，s=9，α=0.05，t₀.₀₂₅(35)=2.03标准误=9/√36=1.5区间：74±2.03×1.5=74±3.05→(70.95,77.05)（2）E=2，Z₀.₀₂₅=1.96（大样本用Z）n=(Z²s²)/E²=(1.96²×81)/4≈77.8→至少78人。50.（12分）为比较两种教学方法效果，随机将60名学生均分为两组。实验组采用翻转课堂，对照组传统讲授。期末成绩如下：实验组：n₁=30，ȳ₁=82，s₁²=64对照组：n₂=30，ȳ₂=76，s₂²=49假定两总体近似正态且方差齐性，试在α=0.05下检验两种方法平均成绩是否有显著差异。答案：H₀:μ₁=μ₂，H₁:μ₁≠μ₂合并方差s_p²=[(29×64+29×49)]/58=56.5标准误=√[56.5×(1/30+1/30)]=1.94t=(82–76)/1.94=3.09双侧临界值t₀.₀₂₅(58)=2.00|t|=3.09>2.00，拒绝H₀，两种方法成绩差异显著。51.（12分）某市近10年GDP（亿元）数据如下：年份t：12345678910GDPy：120135150168185205228252278310（1）用最小二乘法拟合线性趋势方程ŷ=a+bt；（2）预测第12年GDP；（3）计算趋势值与实际值的平均绝对误差MAE。答案：（1）n=10，∑t=55，∑y=2031，∑t²=385，∑ty=12455b=[10×12455–55×2031]/[10×385–55²]=2155/825=21.34a=(2031–21.34×55)/10=84.23方程：ŷ=84.23+21.34t（2）t=12，ŷ=84.23+21.34×12=340.31（亿元）（3）计算各ŷ与y绝对差平均：MAE=14.7（亿元）（过程略）。52.（12分）某超市想研究顾客满意度（Y，1~10分）与等候时间（X₁，分钟）、商品价格指数（X₂，%）的关系，抽取25组数据，得到以下部分结果：回归方程：ŷ=8.5–0.35x₁–0.08x₂SSR=60，SSE=40（1）完成方差分析表并检验模型整体显著性（α=0.05）；（2）计算调整后的决定系数R̄²；（3）解释x₁系数含义。答案：（1）SST=SSR+SSE=100dfR=2，dfE=22，dfT=24MSR=30，MSE=1.8