贵州省毕节市黔西市2025-2026学年高二上学期教学质量监测试卷数学试题（有解析）

教学质量监测试卷高二数学注意事项：1．全卷共4页，四个大题，共19题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．4．考试结束后，交回答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，集合，则（）A. B.C D.2.已知为虚数单位，为复数共轭复数，且，则（）A. B. C. D.3.已知是不共线向量，且，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线4.已知是两个正数，且，则的最小值为（）A.8 B. C.4 D.5.下面情况中，更适合用抽样调查的有（）①某学校全体学生体质健康检测②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查③一批待售袋装牛奶细菌数调查④调查一个县各村的粮食播种面积⑤调查一条河流的水质⑥某连锁酒店顾客满意度的调查A.②③④ B.②③⑤⑥ C.③④⑤⑥ D.③⑤⑥6.已知都是锐角，且，则（）A. B. C. D.7.已知圆，直线，若要圆上有3个点到直线的距离为，则的值为（）A. B.0 C. D.8.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列关于该函数的说法正确的是（）A.最小正周期B.单调递减区间为C.一个对称中心为点D.把函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象10.在直三棱柱中，分别是的中点，，则下列说法正确的是（）A.直三棱柱的体积为4B.与所成角的正弦值为C.直线与平面所成角的余弦值为D.平面与平面的夹角的余弦值为11.已知分别是椭圆上的左、右焦点，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，连接，，则下列说法正确的是（）A.的周长为B.线段的长为C.的面积为D.椭圆上存在一点到直线的距离最大，最大距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知为奇函数，且当时，则_____．13.一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____．14.设是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点关于点的对称点是，若，，则该椭圆的离心率是_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校为了解学校食堂对学生的服务情况，随机访问了50名学生，并根据这50名学生对学校食堂的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为．（1）求频率分布直方图中的值；（2）若该校有学生3000人，请估计该校学生对学校食堂评分不低于80分的人数；（3）从评分在的受访学生中随机抽取2人，求此2人评分来自不同组的概率．16.已知圆和直线．（1）若直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，求的值；（2）求直线被圆截得的最短弦长及此时的直线方程．17.如图，在四棱锥中，平面底面，平面底面，．（1）证明：平面底面；（2）设，求平面与平面的夹角的正弦值．18.在中，内角的对边分别为，且满足．（1）求角大小；（2）若是线段上的一点，且满足，求的面积．19.阅读材料：椭圆的第三定义（一）椭圆第三定义与几何性质探究在平面直角坐标系中，已知椭圆长轴的两个端点分别为和．若是椭圆上异于端点，的任意一点，则，这一性质称为椭圆的第三定义（斜率积定义）．（二）已知平面内两个定点，，动点满足，其中，分别表示直线，的斜率．（1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）设直线与轨迹交于，两点（，都不是点B），且以为直径的圆过点，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标；（3）在（2）的条件下，求面积的取值范围．教学质量监测试卷高二数学注意事项：1．全卷共4页，四个大题，共19题，满分150分．考试时长120分钟．考试形式为闭卷．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．4．考试结束后，交回答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求解一元二次不等式化简两个集合，再根据交集的概念运算.【详解】，即，得，即，，即，得或，即或，则.故选：B2.已知为虚数单位，为复数的共轭复数，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由复数除法运算求出即可由共轭复数定义得解.【详解】由题，所以.故选：C3.已知是不共线向量，且，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线【答案】C【解析】【分析】求出即可得解.【详解】由题可得，又线段BD与线段AB有公共点B，所以三点共线.故选：C4.已知是两个正数，且，则的最小值为（）A.8 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】利用不等式的乘“1”法即可求解.【详解】由于是两个正数，故，当且仅当，即时取到等号，故选：A5.下面情况中，更适合用抽样调查的有（）①某学校全体学生体质健康检测②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查③一批待售袋装牛奶的细菌数调查④调查一个县各村的粮食播种面积⑤调查一条河流的水质⑥某连锁酒店顾客满意度的调查A.②③④ B.②③⑤⑥ C.③④⑤⑥ D.③⑤⑥【答案】D【解析】【分析】根据抽样调查与全面调查（普查）的适用条件，判断各情况适合的调查方式即可.【详解】①某学校全体学生体质健康检测学校学生人数有限，且体质健康检测需要准确结果，适合普查；②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查关系到住户生命财产安全，必须确保全覆盖，适合普查；③一批待售袋装牛奶的细菌数调查检测细菌数需要破坏牛奶样本（具有破坏性），无法对所有牛奶进行检测，适合抽样调查；④调查一个县各村的粮食播种面积数据需要精确统计，且县内村庄数量有限，适合普查；⑤调查一条河流的水质河流范围广，无法对全部水体进行检测，只需抽取不同点位的水样即可推断整体水质，适合抽样调查；⑥某连锁酒店顾客满意度调查连锁酒店顾客数量庞大，全面调查成本高，只需抽取部分顾客即可反映整体满意度，适合抽样调查.故选：D.6.已知都锐角，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由平方和求出，再由商数关系和两角差正切公式即可计算求解.【详解】因为都是锐角，且，所以，所以，所以.故选：C7.已知圆，直线，若要圆上有3个点到直线的距离为，则的值为（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】由圆心到直线距离d、半径r以及题设要求得到等量关系，解该方程即可得解.【详解】圆的圆心为，半径，所以圆心到直线即距离为，若要圆上有3个点到直线的距离为，则即，解得.故选：D8.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先说明的单调性，再结合可解不等式.【详解】的定义域为，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以等价于，则，得，故不等式的解集为.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列关于该函数的说法正确的是（）A.最小正周期B.单调递减区间为C.一个对称中心为点D.把函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象【答案】ABC【解析】【分析】由周期公式即可求解判断A；解不等式即可求解判断B；计算即可判断C；由周期变换求解解析式即可判断D.【详解】函数，所以函数最小正周期为，故A正确；令，解得，所以函数单调递减区间为，故B正确；因为，所以函数的一个对称中心为点，故C正确；把函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到的函数为，故D错误.故选：ABC10.在直三棱柱中，分别是的中点，，则下列说法正确的是（）A.直三棱柱的体积为4B.与所成角的正弦值为C.直线与平面所成角的余弦值为D.平面与平面的夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】【分析】根据长度不确定即可判断A，建立空间直角坐标系，求解向量的坐标，进而可求解法向量，根据向量的夹角公式，即可判断BCD.【详解】对于A,由于没有给长度，所以三棱柱的体积无法确定，A错误，建立空间直角坐标系如图：设,则,，对于B，设与所成角为，则，故，B正确，对于C,平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，则，C正确，对于D,设平面的一个法向量为，,则令，则，而平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，故D正确，故选：BCD11.已知分别是椭圆上的左、右焦点，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，连接，，则下列说法正确的是（）A.的周长为B.线段的长为C.的面积为D.椭圆上存在一点到直线的距离最大，最大距离为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求解判断A；求出直线的方程并与椭圆方程联立求出弦长及三角形面积判断BC；求出平行于直线且与椭圆相切的直线方程，再求出它们间的距离判断D.【详解】椭圆的长半轴长，焦点，直线的方程为，对于A，的周长为，A正确；对于B，由消去得，设，则，，B错误；对于C，点到直线的距离，，C正确；对于D，设平行于直线且与椭圆相切的直线方程为，由，得，由，解得，直线与直线的距离为，直线与直线的距离为，因此椭圆上存在一点到直线的距离最大，最大距离为，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知为奇函数，且当时，则_____．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质，把函数的值代入计算即可.【详解】因为是奇函数，所以，当时，，代入则，所以，故答案为：.13.一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____．【答案】【解析】【分析】先根据题意得出入射光线的方程，求出入射光线与x轴的交点，结合反射的性质得出反射光线的斜率，即可得出答案.【详解】由题意知，入射光线所在直线的斜率为，则入射光线方程为，化简整理可得，则入射光线和轴交点为，由对称性知反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为，化简整理可得.故答案为：14.设是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点关于点的对称点是，若，，则该椭圆的离心率是_____．【答案】【解析】【分析】利用对角线相互平分判断四边形为平行四边形，利用，中的余弦定理，面积公式列方程，得关于，，的方程，构造出离心率，求解即可.【详解】如图：由题意，点关于点的对称点是，所以点是线段的中点，根据椭圆的对称性知，点是线段（为椭圆的右焦点）的中点，则四边形为平行四边形；由，得，则，在平行四边形中，由，得，所以，即，在中，由余弦定理得，所以，由题意，，又，所以，则，即，得，所以离心率.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校为了解学校食堂对学生的服务情况，随机访问了50名学生，并根据这50名学生对学校食堂的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为．（1）求频率分布直方图中的值；（2）若该校有学生3000人，请估计该校学生对学校食堂评分不低于80分的人数；（3）从评分在的受访学生中随机抽取2人，求此2人评分来自不同组的概率．【答案】（1）0.008；（2）1140；（3）.【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为求出.（2）利用频率分布直方图求出50名受访学生评分不低于80的频率，进而估计出人数.（3）受访学生评分在的有4人，记为，受访学生评分在的有2人，记为，列出从这4人中选出2人所有基本事件，即可求相应的概率.【小问1详解】由频率分布直方图，得，所以.【小问2详解】由频率分布直方图，得50名受访学生评分不低于80的频率为，所以该校学生对学校食堂评分不低于80分的人数估计为.【小问3详解】受访学生评分在的有人，设为，受访学生评分在的有人，设为，从这6名受访学生中随机抽取2人，不同结果共有：，，共15种，此2人评分来自不同组的结果有，共8种，所以所求的概率为.16.已知圆和直线．（1）若直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，求的值；（2）求直线被圆截得的最短弦长及此时的直线方程．【答案】（1）；（2）最短弦长为；直线方程为.【解析】分析】(1)分析直线不过原点，由题意得到且，求出两截距建立等量关系即可求解；(2)先求出直线所过定点得到圆心到直线最大距离，进而可求出最短弦长和直线的斜率，从而求出直线方程.【小问1详解】若直线过原点，则有，不成立，所以直线不过原点，又因为直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，所以且，令，，则.【小问2详解】直线即，所以直线过定点，且，即该点在圆内，圆C的圆心为，半径为，所以圆心到直线距离最大为.直线被圆截得的弦长最短时，圆心到直线距离最大，此时得到最短弦长为，此时直线斜率为，所以此时直线方程为即.17.如图，在四棱锥中，平面底面，平面底面，．（1）证明：平面底面；（2）设，求平面与平面的夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，平面，即可得线线垂直，进而根据线面垂直的判断即可求证，（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解.【小问1详解】由于平面底面，且两平面的交线为,,平面，故平面，平面，故,同理：平面底面，可得平面，平面，故,平面，故平面，平面，故平面底面.【小问2详解】由（1）知：两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，设，则,设平面的法向量为，平面的法向量为，则令，则，则令，则，设平面与平面的夹角为，则，故18.在中，内角的对边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）若是线段上的一点，且满足，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角为边，