2026年数学建模方法论数据建模与分析题库

2026年数学建模方法论数据建模与分析题库一、数据预处理与特征工程（3题，每题10分）1.数据清洗与缺失值处理某市环保部门收集了2020-2025年每日空气质量监测数据（PM2.5、PM10、SO2、NO2、CO、O3浓度及天气状况），其中部分数据存在缺失。假设某研究者需构建空气质量预测模型，请回答：（1）若PM2.5数据缺失比例低于5%，可采用哪些方法填充？简述其优缺点。（2）若缺失比例超过10%，结合天气状况特征，设计一种更合理的缺失值处理方案。2.特征工程与变量选择某电商平台需预测用户购买行为，收集了用户历史交易记录（商品类别、购买频率、客单价）及社交网络数据（好友数量、互动强度）。问题：（1）如何通过特征构造（如时间特征、关联特征）提升预测精度？（2）若数据维度高达2000，试提出两种降维方法并说明适用场景。3.异常值检测与处理某银行信贷部门统计了2023-2025年贷款用户数据（年龄、收入、负债率），发现部分负债率数值远超正常范围。分析：（1）若异常值仅占1%，是否建议直接剔除？说明理由。（2）设计一种基于箱线图的异常值检测方法，并说明如何修正异常值影响。二、统计建模与预测分析（4题，每题12分）4.线性回归模型应用某城市交通部门需预测早晚高峰期拥堵指数，收集了2020-2025年数据（车流量、天气温度、道路施工情况）。问题：（1）建立多元线性回归模型，解释系数的经济意义。（2）若发现残差存在异方差性，如何修正模型？5.时间序列预测某连锁超市需预测生鲜商品月销量，历史数据呈现明显的季节性波动。问题：（1）选择ARIMA模型或LSTM模型进行建模，说明选择依据。（2）如何评估模型预测误差（如MAPE指标）？6.分类模型与风险评估某金融机构需识别高风险信贷用户，收集了用户征信数据（逾期次数、负债比例、收入稳定性）。问题：（1）比较逻辑回归与支持向量机在该场景下的适用性。（2）若需可视化决策边界，如何操作？7.聚类分析与应用某运营商分析用户套餐使用行为，数据包含通话时长、流量消耗、月均费用。问题：（1）使用K-means聚类用户群体，如何确定最优K值？（2）如何解释不同簇的特征（如“低价敏感型”“重度数据用户”）？三、机器学习优化与评估（3题，每题10分）8.模型超参数调优某电商需优化推荐系统准确率，当前使用随机森林模型，参数设置混乱。问题：（1）如何通过网格搜索（GridSearch）调整n_estimators和max_depth？（2）若训练集准确率99%，但测试集仅70%，可能存在什么问题？9.模型集成与Bagging某气象局需预测暴雨概率，现有3个基于不同算法的模型（决策树、XGBoost、LightGBM）。问题：（1）如何通过Bagging集成模型提升稳定性？（2）若某个模型在山区数据表现较差，如何修正？10.模型可解释性某医疗公司开发了疾病预测模型，需向医生解释其决策依据。问题：（1）如何使用SHAP值解释模型预测结果？（2）若医生质疑模型对罕见病的误诊率高，应如何改进？四、大数据分析与应用（2题，每题15分）11.地理空间数据分析某外卖平台需优化配送路线，收集了全市餐厅分布、订单密度及实时路况数据。问题：（1）如何使用地理加权回归分析订单密度与配送时间的关系？（2）若需可视化配送效率热力图，应选择哪些工具？12.社交网络分析某舆情监测机构分析突发事件传播路径，收集了社交媒体转发数据（转发层级、用户属性、内容关键词）。问题：（1）如何使用PageRank算法识别关键传播节点？（2）若发现虚假信息传播速度快但层级浅，如何修正模型？答案与解析一、数据预处理与特征工程1.数据清洗与缺失值处理（1）填充方法：均值/中位数填充（适用于正态分布）、众数填充（分类变量）、KNN填充（考虑相似样本）、多重插补（模拟不确定性）。优缺点：均值填充简单但可能扭曲分布；KNN填充效果好但计算量大；多重插补能反映不确定性但操作复杂。（2）方案：结合天气状况，使用条件插补——若PM2.5缺失且当天为晴天，用历史晴天日均值填充；若为雨天，用历史雨天均值填充。2.特征工程与变量选择（1）特征构造：构造时间特征（如工作日/周末、节假日）、交互特征（如“生鲜+外卖”订单频率）、价格弹性特征（客单价/商品均价）。（2）降维方法：主成分分析（PCA）适用于线性关系数据；随机森林特征重要性排序后进行递归特征消除（RFE）。3.异常值检测与处理（1）不建议直接剔除，可能反映真实极端情况（如高负债企业）。可使用1.5IQR规则识别，但异常值需标注并分析原因。（2）箱线图检测后，将异常值替换为所在分箱的中位数，并记录修正原因。二、统计建模与预测分析4.线性回归模型应用（1）系数意义：车流量系数反映每增加100辆汽车拥堵指数上升0.3，温度系数显示高温使拥堵加剧。（2）修正方法：使用加权最小二乘法（WLS）或对残差平方根做变换（如log或平方根）。5.时间序列预测（1）选择ARIMA因数据量小且需解释性；LSTM适用于长期复杂关系但需大量数据。（2）MAPE计算：|（预测值-真实值）/真实值|平均，适用于百分比误差场景。6.分类模型与风险评估（1）逻辑回归计算简单但可能过拟合；SVM对小样本高维度效果好。（2）使用核密度估计绘制决策边界，或用等高线图展示不同概率区域。7.聚类分析与应用（1）肘部法则或轮廓系数确定K值，如K=3时聚类效果最佳。（2）通过簇内均值比较，如簇1客单价低但通话时长高（“商务差旅客”）。三、机器学习优化与评估8.模型超参数调优（1）网格搜索需设置参数范围（如n_estimators=50-200,step=10），避免过拟合时调整max_depth。（2）问题可能源于过拟合或数据偏差，需增加验证集或采用交叉验证。9.模型集成与Bagging（1）Bagging可减少方差，但需保证模型间独立性，可先对每个模型微调。（2）山区数据可添加地理权重，或训练区域特定的子模型。10.模型可解释性（1）SHAP值通过归因法解释每个特征对预测的贡献，如“年龄”对疾病概率的+0.15分影响。（2）增加罕见病样本或使用集成学习（如Stacking）综合各模型判断。四、大数据分析与应用11.地理空间数据分析（1）地理加权回归考虑空间依赖性，如餐厅密度每增加10家，配送时间缩短2分钟。（2）使用ArcGIS或Python