全概率考试题及答案

全概率考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设事件A、B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则有（）A.P(A)=1-P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A∪B)=1D.P(AB)=02.已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则E(X²)=（）A.2B.4C.6D.83.设X~N(1,4)，则P{1<X<3}=（）A.Φ(1)-Φ(0)B.Φ(3)-Φ(1)C.Φ(0.5)-Φ(0)D.Φ(1)-Φ(0.5)4.设总体X~N(μ,σ²)，X₁,X₂,...,Xₙ为样本，\(\overline{X}\)为样本均值，S²为样本方差，则（）A.\(\overline{X}\)~N(μ,σ²)B.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)~N(0,1)C.\(\frac{(n-1)S²}{\sigma²}\)~t(n-1)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\)~χ²(n-1)5.设随机变量X的概率密度为f(x)，则Y=2X的概率密度为（）A.\(\frac{1}{2}f(\frac{y}{2})\)B.2f(2y)C.\(\frac{1}{2}f(2y)\)D.2f(\frac{y}{2})6.设事件A与B相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A∪B)=（）A.0.7B.0.58C.0.12D.0.427.设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则F(+∞,+∞)=（）A.0B.1C.0.5D.不确定8.设随机变量X的方差D(X)=4，Y=2X+3，则D(Y)=（）A.8B.16C.20D.259.设总体X的均值为μ，方差为σ²，X₁,X₂是来自总体X的样本，则下列统计量中是μ的无偏估计的是（）A.\(\frac{1}{3}X₁+\frac{2}{3}X₂\)B.\(\frac{1}{2}(X₁-X₂)\)C.\(\frac{1}{4}X₁+\frac{3}{4}X₂\)D.以上都是10.设随机变量X服从区间[0,2]上的均匀分布，则E(X)=（）A.0B.1C.2D.3二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列关于概率的性质，正确的有（）A.0≤P(A)≤1B.P(∅)=0C.P(Ω)=1D.若A⊂B，则P(A)≤P(B)2.设随机变量X与Y相互独立，则（）A.Cov(X,Y)=0B.ρₓᵧ=0C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)D.E(XY)=E(X)E(Y)3.设总体X~N(μ,σ²)，X₁,X₂,...,Xₙ为样本，\(\overline{X}\)为样本均值，S²为样本方差，则（）A.\(\overline{X}\)与S²相互独立B.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)~N(0,1)C.\(\frac{(n-1)S²}{\sigma²}\)~χ²(n-1)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\)~t(n-1)4.设随机变量X的概率密度为f(x)，则（）A.\(\int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1\)B.f(x)≥0C.P{a<X<b}=\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)D.F(x)=\(\int_{-∞}^{x}f(t)dt\)是X的分布函数5.设事件A、B满足P(A)>0，P(B)>0，则（）A.若A与B互斥，则A与B一定不独立B.若A与B独立，则A与B一定不互斥C.若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)D.若A与B独立，则P(AB)=P(A)P(B)6.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则（）A.\(\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dxdy=1\)B.f(x,y)≥0C.P{(X,Y)∈D}=\(\iint_{D}f(x,y)dxdy\)D.\(f_X(x)=\int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy\)是X的边缘概率密度7.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则（）A.E(X)=\(\frac{1}{\lambda}\)B.D(X)=\(\frac{1}{\lambda²}\)C.分布函数F(x)=\(\begin{cases}1-e^{-\lambdax},&x≥0\\0,&x<0\end{cases}\)D.概率密度f(x)=\(\begin{cases}\lambdae^{-\lambdax},&x≥0\\0,&x<0\end{cases}\)8.设总体X的分布函数为F(x;θ)，其中θ为未知参数，X₁,X₂,...,Xₙ为样本，\(\hat{\theta}\)是θ的估计量，则（）A.若E(\(\hat{\theta}\))=θ，则\(\hat{\theta}\)是θ的无偏估计B.若\(\lim_{n→∞}P{|\hat{\theta}-\theta|<\varepsilon}=1\)，则\(\hat{\theta}\)是θ的一致估计C.若\(\hat{\theta}\)是θ的无偏估计，则\(\hat{\theta}\)一定是θ的有效估计D.若\(\hat{\theta}\)是θ的有效估计，则\(\hat{\theta}\)一定是θ的无偏估计9.设随机变量X与Y的相关系数ρₓᵧ=0，则（）A.X与Y一定相互独立B.Cov(X,Y)=0C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)D.E(XY)=E(X)E(Y)10.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，则（）A.样本均值\(\overline{X}\)服从正态分布N(μ,\(\frac{\sigma²}{n}\))B.样本方差S²是σ²的无偏估计C.当μ已知时，\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-μ)²\)是σ²的无偏估计D.当μ未知时，\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})²\)是σ²的无偏估计三、判断题（每题2分，共20分）1.若事件A与B互斥，则P(AB)=P(A)P(B)。（）2.随机变量X的分布函数F(x)是单调不减函数。（）3.设总体X~N(μ,σ²)，X₁,X₂,...,Xₙ为样本，则\(\overline{X}\)与S²相互独立。（）4.若随机变量X与Y相互独立，则D(X-Y)=D(X)-D(Y)。（）5.设事件A与B相互独立，且P(A)>0，P(B)>0，则A与B一定不互斥。（）6.二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)满足F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1。（）7.设随机变量X的概率密度为f(x)，则\(\int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1\)。（）8.若\(\hat{\theta}\)是θ的无偏估计，则\(\hat{\theta}\)一定是θ的有效估计。（）9.设总体X的均值为μ，方差为σ²，X₁,X₂是来自总体X的样本，则\(\frac{1}{2}(X₁+X₂)\)是μ的无偏估计。（）10.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E(X)=D(X)=λ。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述全概率公式。2.什么是随机变量的数学期望？它有什么意义？3.简述参数估计的两种方法。4.简述中心极限定理的内容。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论事件的独立性与互斥性之间的关系。2.讨论随机变量的相关性与独立性之间的关系。3.讨论样本均值\(\overline{X}\)和样本方差S²的性质。4.讨论假设检验中两类错误的含义及关系。答案一、单项选择题1.D2.C3.A4.B5.A6.B7.B8.B9.D10.B二、多项选择题1.ABCD2.ABCD3.ABCD4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ABD9.BCD10.ABD三、判断题1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题1.若事件\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)构成完备事件组，且\(P(B_i)>0\)，则对任一事件\(A\)，有\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)\)。2.随机变量\(X\)的数学期望\(E(X)\)是对\(X\)取值的平均水平的一种度量。它反映了随机变量取值的中心位置，是随机变量的一个重要数字特征。3.参数估计的两种方法是点估计和区间估计。点估计是用样本统计量的值直接作为总体参数的估计值；区间估计是给出总体参数的一个估计区间。4.中心极限定理：设独立同分布的随机变量\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)，且具有有限的均值\(\mu\)和方差\(\sigma²\)，当\(n\)充分大时，\(\sum_{i=1}^{n}X_i\)近似服从正态分布\(N(n\mu,n\sigma²)\)。五、讨论题1.互斥事件是指\(AB=\varnothing\)，独立事件是\(P(AB)=P(A)P(B)\)。若\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，互斥则不独立，独立则不互斥；若\(P(A)=0\)或\(P(B)=0\)，互斥与独立可同时成立。2.若随机变量\(X\)与\(Y\)独立，则一定不相关；但不相关不一定独立。相关系数衡量线性关系，独立表示取值互不影响。3.样本均