湖南省祁阳市第一中学2025-2026学年高二上学期0月月考数学试题含解析

祁阳一中2025年下学期高二十月月考数学试题（时量120分钟满分150分）第I卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知点、，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量坐标运算法则直接求解．【详解】解：∵点、，∴．故选：C．2.若圆的半径为2，则实数的值为（）A.-9 B.-8 C.9 D.8【答案】D【解析】【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.【详解】由，得，所以，解得.故选：D.3.已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（）A. B.C.l与α相交但不垂直 D.或【答案】A【解析】【分析】由和的位置关系即可判断.【详解】，，所以，所以，故选：A4.椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由求出即可得方程.【详解】由椭圆定义可知，，得，又椭圆的两个焦点是和，所以椭圆焦点在x轴上，且，所以，所以，所求椭圆的标准方程为.故选：C5.如图，在平行六面体中，为与的交点．若，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算即得.【详解】由图知，.故选：A6.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意求的重心和外心，结合直线的两点式方程可得欧拉线方程.【详解】因为的顶点，，，可知重心为点，即点，由题意，可知，所以的外心为斜边的中点，即点，所以的欧拉线方程为，即.故选：C.7.已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用点关于直线的对称点的求法，以及数形结合，即可求解.【详解】直线的方程为，设点关于的对称点为，则，得，即点关于轴的对称点为，由题意可知，如图，点都在光线上，并且利用对称性可知，，，所以光线经过路程.故选：C8.已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出点的轨迹为直线，再根据点到直线的距离公式即可得到最值.【详解】由题意得，，因为，又，即，即，化简得点的轨迹为，即在直线上，表示的几何意义为点到原点距离的平方，故只需计算原点到直线的距离再平方就可得最小值，即最小值为.故选：B.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知直线l的倾斜角等于，且l经过点，则下列结论中正确的有（）A.直线l在y轴上的截距为 B.l的一个方向向量为C.l与直线垂直 D.l与直线平行【答案】ABC【解析】【分析】先求出直线的方程，然后逐项判断计算即可.【详解】因为直线倾斜角为，所以斜率为.因为直线经过点，所以该直线方程为，即.对于A：令，则，所以该直线与轴上的截距为，所以A正确；对于B：因为，与斜率相等，所以B正确；对于C：因为直线的斜率为，而，所以与该直线垂直，所以C正确；对于D：因为直线的斜率为，所以两直线不平行，所以D错误.故选：ABC.10.已知圆与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（）A.－4 B.－2 C. D.3【答案】AD【解析】【分析】根据题意可知，两圆外离，即圆心距大于两圆半径之和，解不等式即可得解．【详解】圆心，半径，圆心，半径．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距，所以，解得或．故选：AD．11.在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则（）A.当时，点P到平面距离为B.当时，点P到平面的距离为C.当时，存在点P，使得D.当时，存在点P，使得平面【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点平面距离向量求法求解判断AB；利用空间位置关系的向量证明判断CD.【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，对于A，当时，，，，点P到平面的距离，A错误；对于B，当时，，，，点P到平面的距离，B正确；对于C，当时，，则，，当时，显然，方程无实根，即与不垂直，C错误；对于D，当时，，则，，显然，即，由，得，即当时，，而平面，因此平面，D正确.故选：BD第Ⅱ卷三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.点到直线：的距离为_________.【答案】【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】点到直线：的距离为，故答案为：.13.已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点，则的周长_______．【答案】【解析】【分析】由椭圆定义计算即可得.【详解】由椭圆可得，则的周长.故答案为：.14.曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】明确曲线的几何意义，作出其表示的图象，结合直线曲线与直线有两个交点，数形结合，即可求得答案.【详解】方程可化为且，所以曲线的轨迹为以为圆心，1为半径的圆上纵坐标大于等于1的点的集合，直线表示过点且斜率存在的直线，作图可得:因为曲线与直线有两个交点,观察图象可得，又，，所以，所以实数的取值范围为，故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知的三个顶点分别为，求：（1）边所在直线的方程；（2）边的垂直平分线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两点求斜率，由点斜式方程即可求解；（2）根据中垂线的性质，利用垂直直线的斜率关系，结合点斜式方程，可得答案.【小问1详解】，边所在直线的方程，即；【小问2详解】，所以又中点坐标，所以边的垂直平分线的方程，即.16.如图，长方体中，，E，F分别在上，且，（1）求证：平面AEF；（2）求异面直线AE与所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得与平面的法向量为，易得，从而得到平面；（2）由（1）的条件，得到，，再根据向量夹角余弦公式求解即可.【小问1详解】依题意，建立以D为原点，以DA，DC，分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，所以，故，所以面.【小问2详解】由（1）知，，则，即异面直线AE与所成角的余弦值为．17.已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上．（1）求圆C的标准方程；（2）直线与圆C相交于M，N两点，且，求实数a的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由圆心所在的直线设出圆心坐标，再利用两点间距离公式求解；（2）由（1）的结论及已知求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求出参数值.【小问1详解】由圆心在直线上，设圆心，由，得，解得，因此圆心，半径，所以圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，圆的圆心，半径，由，得圆心到直线的距离为，则，即，解得或，18.已知圆，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，且点满足线段，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点斜率为的直线与曲线交于，两点，试探究：①设为坐标原点，若，这样的直线是否存在，若存在求出；若不存在说明理由；②求线段的中点的轨迹方程.【答案】（1）（2）①直线不存在，理由见解析；②【解析】【分析】（1）运用相关点代入法求解轨迹方程即可；（2）根据向量等式，求解直线的斜率k,结合联立方程组法确定k的取值范围，进而确定直线是否存在；根据中点坐标公式，再运用参数法求解点D的轨迹方程.【小问1详解】设，则，设，，，即.【小问2详解】①设存在满足条件的直线l，设直线l方程为，则设，直线与圆交于两点，则，由韦达定理得：，，则即，与不符，所以满足条件的直线不存在；②MN中点坐标为：，设MN中点D为则，即所以中点的轨迹方程为：.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，且，以为邻边作平行四边形，为的中点，为的中点．（1）证明：平面；（2）若，四点在同一个球面上，设该球面的球心O．（i）证明：球心O在平面内；（ii）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析（ii）0【解析】【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即.（2）（i）根据外接球的定义，找出到四个顶点距离相等的球心的位置；（ii）先建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量的坐标，最后根据向量的夹角的余弦公式求出余弦值即可.【小问1详解】取的中点，连接.因为分别为的中点，所以.因为为平行四边形，所以.又，所以.所以四边形为平行四边形，所以.又平面，而不在平面内，所以平面.【小问2详解】（