临川一中实验学校2026届高二上数学期末达标检测试题含解析

临川一中实验学校2026届高二上数学期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列中，且满足，则（）A.2 B.﹣1C. D.2．已知椭圆，则它的短轴长为（）A.2 B.4C.6 D.83．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则（）A. B.C. D.4．已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（）A B.C. D.5．与空间向量共线的一个向量的坐标是（）A. B.C. D.6．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（）A. B.C. D.7．已知且，则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.8．已知点，在双曲线上，线段的中点，则（）A. B.C. D.9．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（如图1）.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（如图2）.已知，则由其中一个圆心向另一个小圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为（）A. B.3C. D.10．曲线的离心率为（）A. B.C. D.11．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（）A. B.C. D.12．某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为=6.3x+6.8，下列说法正确的是（）x23456y1925★4044A.看不清的数据★的值为33B.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨C.据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨D.回归直线=6.3x+6.8恰好经过样本点（4，★）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．写出一个同时满足下列条件①②③的圆C的标准方程：__________①圆C的圆心在第一象限；②圆C与x轴相切；③圆C与圆外切14．已知数列的通项公式，则数列的前5项为______.15．某古典概型的样本空间，事件，则___________.16．已知数列满足0，，则数列的通项公式为____，则数列的前项和______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，，，的对边分别是，，，已知.（1）求；（2）若，且的面积为4，求的周长18．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，且，，三角形为等腰直角三角形，且，.（1）若点为棱的中点，证明：平面平面；（2）若平面平面，点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）在等差数列中，设前项和为，已知，.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.20．（12分）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）（1）求的解析式及单调递减区间；（2）若函数无零点，求的取值范围21．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，E为BP的中点，，（1）证明：平面PAD；（2）求平面EAC与平面PAC夹角的余弦值22．（10分）某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数的分布列为567.表示2台设备使用期间需更换的零件数，代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.（1）求的分布列；（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选哪一个？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】首先根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可得到数列的周期性，即可得解；【详解】解：因为且，所以，，，所以是周期为的周期数列，所以，故选：C2、B【解析】根据椭圆短轴长的定义进行求解即可.【详解】由椭圆的标准方程可知：，所以该椭圆的短轴长为，故选：B3、B【解析】根据空间向量基本定理求解【详解】由已知故选：B4、B【解析】将题目转化为函数的图像与的图像只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出的取值范围.【详解】由函数只有一个零点，等价于函数的图像与的图像只有一个交点，，求导，令，得当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；故当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；作出函数图像，如图所示，由图可知，实数的取值范围是故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5、C【解析】根据空间向量共线的坐标表示即可得出结果.【详解】.故选：C.6、D【解析】将用基底表示，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，，则.故选：D7、C【解析】∵且，∴∴选C8、D【解析】先根据中点弦定理求出直线的斜率，然后求出直线的方程，联立后利用弦长公式求解的长.【详解】设，，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为，故直线的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，，则故选：D9、C【解析】作出图形，进而根据勾股定理并结合圆与圆的位置关系即可求得答案.【详解】如示意图，由题意，，则，又，，所以，所以.故选：C.10、C【解析】由曲线方程直接求离心率即可.【详解】由题设，，，∴离心率.故选：C.11、A【解析】利用空间向量基本定理进行计算.【详解】.故选：A12、D【解析】根据回归直线方程的性质和应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：因为，将代入，故，∴，故A错误；对，回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，故错误；对，当时，，故错误；对，因为，故必经过，故正确.故选：.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)【解析】首先设圆的圆心和半径，根据条件得到关于的方程组，即可求解.【详解】设圆心坐标为，由①可知，半径为，由②③可知，整理可得，当时，，，所以其中一个同时满足条件①②③的圆的标准方程是.故答案为：(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)14、【解析】根据数列的通项公式可得答案.【详解】因为，所以数列的前5项为.故答案为：15、##0.5【解析】根据定义直接计算得到答案.【详解】.故答案为：.16、①.②.【解析】第一空：先构造等比数列求出，即可求出的通项公式；第二空：先求出，令，通过错位相减求出的前项和为，再结合等差数列的求和公式及分组求和即可求解.【详解】第一空：由可得，又，则是以1为首项，2为公比的等比数列，则，则；第二空：，设，前项和为，则，，两式相减得，则，又，则.故答案为：；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理及题中条件，可得，化简整理，即可求解（2）由的面积为4，结合（1）中结论，可得，结合余弦定理，可得，从而可求的周长【详解】解：（1）由及正弦定理得，，又，∴，∴，∴.（2）∵的面积为，∴.由余弦定理得，∴.故的周长为.【点睛】本题考查正弦定理应用，余弦定理解三角形，三角形面积公式，考查计算化简的能力，属基础题18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先证明，，进而证明平面，即可证明平面，从而证明平面平面.（2）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求解即可【小问1详解】因为为等腰直角三角形，点为棱的中点，所以，又因为，，所以，又因为在中，，，所以，所以，所以，又因为，所以平面，又因为为平行四边形，所以，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为，以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，则由，，可得令，得，设直线与平面所成角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为.19、（1）（2）【解析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求解公差，再计算通项公式；（2）根据（1）的结果，利用裂项相消法求和.【小问1详解】设的公差为，由已知得，解得，所以.【小问2详解】所以.20、（1）单调减区间为和；（2）的取值范围为：或【解析】（1）先求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得，求得的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；（2）先求得，要使函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.构造函数，对其求导，然后对进行分类讨论，运用单调性和函数零点存在性定理，即可得到的取值范围.【详解】(1)，又由题意有：，故.此时，，由或，所以函数的单调减区间为和.(2)，且定义域为，要函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.构造函数.①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减.又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件；②当时，⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增.又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增.又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件；⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增.又，所以在及内均无零点.又易知，而，又易证当时，，所以函数在内有一零点，故不满足条件.综上可得：的取值范围为：或.【点睛】本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过作辅助线，构造平行四边形，在平面PAD找到线并证明，根据线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，进而求得相关的向量坐标，求出平面EAC与平面PAC的法向量，根据向量的夹角公式求得答案.【小问1详解】证明：取PA的中点F，由E为PB的中点，则，，而，，所以且，则四边形CDFE为平行四边形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD【小问2详解】∵平面ABCD，，∴AP，AB，AD两两垂直，以A为原点，，，向量方向分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如下：，，，，，设平面APC的法向量为，由，，有，取，则，，即，设平面EAC的法向量为，由，，有，取，则，，即，所以，由原图可