山西平遥县和诚2026届数学高一上期末达标检测试题含解析

山西平遥县和诚2026届数学高一上期末达标检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为()A.0 B.1C.2 D.32．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（）A.，0 B.4，C.16，0 D.4，03．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确度）可以是（）A. B.C. D.4．已知函数，若，则实数a的值为（）A.1 B.－1C.2 D.－25．已知实数x，y满足，那么的最大值为（）A. B.C.1 D.26．已知函数f(x)=若f（f（0））=4a，则实数a等于A. B.C.2 D.97．函数的定义域为（）A. B.C. D.R8．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.9．如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（）A.2 B.C.4 D.10．直线和直线的距离是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若将函数的图像向左平移个单位后所得图像关于轴对称，则的最小值为___________.12．已知实数x，y满足条件，则的最大值___________.13．幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（x）的解析式是______14．已知，若存在定义域为的函数满足：对任意，，则___________.15．设函数，若函数满足对，都有，则实数的取值范围是_______.16．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点A，已知点A的纵坐标为.（1）求的值；（2）求的值.18．已知函数，.（1）求函数图象的对称轴的方程；（2）当时，求函数的值域；（3）设，存在集合，当且仅当实数，且在时，不等式恒成立．若在（2）的条件下，恒有（其中），求实数的取值范围.19．求下列各式的值（1）；（2）20．已知函数（1）求的图象的对称轴的方程；（2）若关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围21．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.（1）当时，求海报纸的面积；（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】分别画出函数y＝lnx(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.2、D【解析】利用向量的坐标运算得到|2用θ的三角函数表示化简求最值【详解】解：向量，向量，则2（2cosθ，2sinθ+1），所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），所以|22的最大值，最小值分别是：16，0；所以|2的最大值，最小值分别是4，0；故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性3、C【解析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.【详解】因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度，所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选C.故选：C【点睛】关键点点睛：掌握二分法求零点的步骤以及精确度的概念是解题关键.4、B【解析】首先求出的解析式，再根据指数对数恒等式得到，即可得到方程，解得即可；【详解】解：根据题意，，则有，若，即，解可得，故选：B5、C【解析】根据重要不等式即可求最值，注意等号成立条件.【详解】由，可得，当且仅当或时等号成立.故选：C.6、C【解析】，选C.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.7、D【解析】利用指数函数的性质即可得出选项.【详解】指数函数的定义域为R.故选：D8、A【解析】由题意知原命题为假命题，故命题的否定为真命题，再利用，即可得到答案.【详解】由题意可得“”是真命题，故或.故选：A.9、D【解析】先确定是等腰直角三角形，求出，再确定原图的形状，进而求出.【详解】由题意可知是等腰直角三角形，，其原图形是，，，，则，故选：D.10、A【解析】因为直线即，故两条平行直线和的距离故选A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】利用辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的平移变换及余弦函数的性质计算可得；【详解】解：因，将的图像向左平移个单位，得到，又关于轴对称，所以，，所以，所以当时取最小值；故答案为：12、【解析】利用几何意义，设，则k可看作圆上的动点P到原点的连线的斜率，而相切时的斜率为最大或最小值，即可求解.【详解】由题意作出如下图形：令，则k可看作圆上的动点P到原点的连线的斜率，而相切时的斜率为最大或最小值，当直线与圆相切时，在直角三角形OAB中，,∴，∴.故答案为：13、【解析】根据幂函数的概念设f（x）=xα，将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式【详解】设f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），∴4α=2∴α=这个函数解析式为故答案为【点睛】本题主要考查了待定系数法求幂函数解析式、指数方程解法等知识，属于基础题14、-2【解析】由已知可得为偶函数，即，令，由，可得，计算即可得解.【详解】对任意，，将函数向左平移2个单位得到，函数为偶函数，所以，令，由，可得，解得：.故答案为：.15、【解析】首先根据题意可得出函数在上单调递增；然后根据分段函数单调性的判断方法，同时结合二次函数的单调性即可求出答案.【详解】因为函数满足对，都有，所以函数在上单调递增.当时，，此时满足在上单调递增，且；当时，，其对称轴为，当时，上单调递增，所以要满足题意，需，即；当时，在上单调递增，所以要满足题意，需，即；当时，单调递增，且满足，所以满足题意.综上知，实数的取值范围是.故答案为：.16、【解析】正方体体积8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π故答案为：12π点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为:.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据点A的纵坐标，可求得点A的横坐标，根据正切函数的定义，即可得答案.（2）利用诱导公式进行化简，结合（1）即可得答案.【小问1详解】因为点A纵坐标为，且点A在第二象限，所以点A的横坐标为，所以；【小问2详解】由诱导公式可得：.18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的对称性得解；（2）令，换元，化函数为的二次函数，求出，由此可值域；（3）由题意利用分离参数法、换元法、基本不等式先求出集合，根据（2）中范围得出的范围，再由可得的范围【详解】解：（1）令，得所以函数图象的对称轴方程为：（2）由（1）知，，当时，，∴，，即令，则，，由得，∴当时，有最小值，当时，有最大值1，所以当时，函数的值域为（3）当，不等式恒成立，因为时，，，所以，令，则，所以又，当且仅当即时取等号而，所以，即，所以又由（2）知，，当时，，所以，要使恒成立，只须使，故的取值范围是【点睛】关键点点睛：本题考查两角和的正弦公式，三角函数的对称性，换元法求三角函数的值域，考查不等式恒成立问题，在同时出现和的函数中常常设换元转化为二次函数，再结合二次函数性质求解．不等式恒成立问题仍然采用分离参数转化为求函数的最值19、（1）；（2）.【解析】(1)首先利用公式降幂，然后将写为将化为即可得解；(2)将记为，记为，再用公式展开，然后化简求值.【详解】(1)原式=(2)原式=故答案为：2；-1【点睛】本题考查三角函数诱导公式，二倍角公式，两角和与差的余弦公式，属于基础题.20、（1），（2）【解析】（1）先将解析式化成正弦型函数，然后利用整体代换即可求得对称轴方程.（2）方程有两个不同的实数根转化成图像与有两个交点即可求得实数的取值范围【小问1详解】，由，，得，故的图象的对称轴方程为，【小问2详解】因为，当时，不满足题意；当时，可得．画出函数在上的图象，由图可知或，解得或．综上，实数a的取值范围为21、（1）（2）当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少【解