全等三角形二次全等典型习题

全等三角形二次全等典型习题在初中几何的学习旅程中，全等三角形无疑是一座至关重要的桥梁，它不仅是后续学习更复杂几何知识的基础，其蕴含的逻辑推理与转化思想，更是数学思维培养的关键。而在全等三角形的各类问题中，“二次全等”题型常常成为同学们理解和掌握的难点。这类题目并非一眼就能看穿全等条件，往往需要我们进行两次或以上的全等三角形证明，方能抵达目标。本文将结合典型例题，深入剖析二次全等问题的解题思路与技巧，助力同学们更好地驾驭这一几何难点。一、“二次全等”的核心特征与解题要义所谓“二次全等”，顾名思义，是指在一个几何问题中，为了证明最终的目标三角形全等，需要先通过一次（或多次）全等三角形的证明作为铺垫，获取关键的边或角的等量关系，进而为第二次（或后续）全等证明创造充分条件。其核心特征在于“间接性”和“递进性”。第一次全等的结论，往往是第二次全等证明中不可或缺的“钥匙”。破解这类问题的要义在于：1.明确目标：清晰最终需要证明哪两个三角形全等。2.逆向溯源：分析要证明这对目标三角形全等，目前已具备哪些条件，还缺少哪些关键条件。3.顺向推导与桥梁构建：通过已知条件，观察能否先证明其他一对（或几对）三角形全等，从而得到所缺的关键条件，搭建起通往目标全等的桥梁。二、典型例题深度剖析类型一：利用第一次全等获取关键边相等例题1已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点。求证：△AFD≌△CEB。思路分析：要证△AFD≌△CEB，我们先审视已知条件：AD=BC（已知），若能证明AF=CE，DF=BE，或者找到两组对应角相等及一组夹边相等，即可得证。但题目中直接给出的关于AF、CE、DF、BE的关系并不明确，也未提及相关角的信息。已知E、F分别是AB、CD的中点，这提示我们可能需要连接一些辅助线，或者先证明其他三角形全等以获取边或角的关系。注意到AD∥BC且AD=BC，这是一个非常重要的条件，它提示我们四边形ABCD可能是平行四边形，但我们暂不直接使用这个判定。我们可以尝试证明△ADC≌△CBA。证明过程：1.第一次全等：证明△ADC≌△CBA在△ADC和△CBA中，∵AD=BC（已知），∠DAC=∠BCA（∵AD∥BC，内错角相等），AC=CA（公共边），∴△ADC≌△CBA（SAS）。∴DC=AB，∠DCA=∠BAC（全等三角形对应边相等，对应角相等）。2.利用中点及已得结论，准备第二次全等条件∵E、F分别是AB、CD的中点（已知），∴DF=FC=1/2DC，AE=EB=1/2AB。又∵DC=AB（由△ADC≌△CBA所得），∴DF=EB，FC=AE。3.第二次全等：证明△AFD≌△CEB在△AFD和△CEB中，∵AD=BC（已知），∠ADF=∠CBE？（此角关系不明显，换一组条件）我们已证得∠DCA=∠BAC，即∠DCF=∠BAE。且DF=EB（已证），FC=AE（已证）。（若考虑△AFC和△CEA，似乎也可行，但目标是△AFD和△CEB）换个思路，在△AFD和△CEB中：AD=BC（已知），DF=EB（已证），还需AF=CE。如何证AF=CE？可在△AFC和△CEA中考虑。在△AFC和△CEA中，FC=AE（已证），∠FCA=∠EAC（已证∠DCA=∠BAC），AC=CA（公共边），∴△AFC≌△CEA（SAS）。∴AF=CE（全等三角形对应边相等）。现在回到△AFD和△CEB：AD=BC（已知），DF=EB（已证），AF=CE（已证），∴△AFD≌△CEB（SSS）。点评：本题通过第一次证明△ADC≌△CBA，得到了DC=AB以及一组对应角相等，进而利用中点性质得到了DF=EB和FC=AE，为证明AF=CE（通过△AFC≌△CEA）创造了条件，最终达成目标△AFD≌△CEB的证明。第一次全等为后续证明提供了关键的边相等关系。类型二：利用第一次全等获取关键角相等例题2已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE。求证：BD=CE。思路分析：要证BD=CE，最直接的思路是证明BD和CE所在的三角形全等，即△ABD和△ACE。我们来看这两个三角形的已知条件：AB=AC（已知），AD=AE（已知）。若能证明它们的夹角∠BAD=∠CAE，即可利用SAS证明全等。而题目中给出∠BAC=∠DAE，这两个角有公共部分∠DAC，因此可以通过角的和差关系来推导∠BAD=∠CAE。这里的“角的和差”是关键，但如果∠BAC和∠DAE没有公共部分，可能就需要先证明另一对三角形全等以获得这个角相等关系。本题虽然看似可以直接通过角的运算得到，但为了体现“二次全等”的思路，我们可以假设∠BAC和∠DAE是分别位于两个不同顶点的等角，需要通过一次全等过渡。（*此处为了贴合主题，我们略微调整题目的初始呈现，假设图形中∠BAC与∠DAE并非有公共顶点，例如点D在AB上，点E在AC外，此时直接推导∠BAD=∠CAE不直观，需要先证另一对三角形全等*）（调整后题目描述，更贴合二次全等）已知：如图，点A为公共顶点，AB=AC，AD=AE，F为DE中点，G为BC中点，且FG⊥DE，FG⊥BC。求证：BD=CE。(此调整可能略显复杂，我们仍回到原始简单题目，但强调其思想可以延伸)回归原始例题2的核心思想提炼：原始例题中，∠BAC=∠DAE，所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。这是一步到位的角的等量代换。但如果题目条件改为：AB=AC，AD=AE，且∠B=∠C，要证BD=CE。此时，直接证明△ABD≌△ACE缺少∠BAD=∠CAE。我们可能需要先证明△ABE≌△ACD（AAS或ASA），得到∠BAE=∠CAD，然后∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE，即∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE（SAS）。这就是典型的通过第一次全等获取关键角相等，进而进行第二次全等证明。证明过程（调整后的假设情景，以体现二次全等）：已知AB=AC，AD=AE，∠B=∠C。求证BD=CE。1.第一次全等：证明△ABE≌△ACD在△ABE和△ACD中，∠B=∠C（已知），AB=AC（已知），∠BAE=∠CAD？（未知，若已知∠BAC是公共角则可，但此处假设不知）（此处为了构造二次全等，我们假设已知∠ADB=∠AEC）若已知∠ADB=∠AEC，则∠AEB=180°-∠AEC，∠ADC=180°-∠ADB，故∠AEB=∠ADC。在△ABE和△ACD中，∠B=∠C（已知），∠AEB=∠ADC（已证），AB=AC（已知），∴△ABE≌△ACD（AAS）。∴∠BAE=∠CAD（全等三角形对应角相等）。2.获取关键角相等∵∠BAE=∠CAD（已证），∴∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE（等式性质），即∠BAD=∠CAE。3.第二次全等：证明△ABD≌△ACE在△ABD和△ACE中，AB=AC（已知），∠BAD=∠CAE（已证），AD=AE（已知），∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE（全等三角形对应边相等）。点评：此调整后的情景更能体现“二次全等”中通过第一次全等获取关键角相等的思路。第一次全等（△ABE≌△ACD）的目的是为了得到∠BAE=∠CAD，通过角的等量代换（作差）得到△ABD和△ACE的夹角相等，从而为第二次全等证明铺平道路。类型三：利用线段和差构建全等条件的二次全等例题3已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC中点，AF⊥BD于E，交BC于F。求证：∠ADB=∠CDF。思路分析：要证∠ADB=∠CDF，直接证明所在三角形△ABD与△CFD全等条件不足。考虑构造辅助线，过点C作AC的垂线，交AF延长线于G。这样可以构造出与△ABD全等的直角三角形，通过第一次全等得到对应边和对应角相等，再以此为基础证明△CDF与△CGF（或其他三角形）全等，从而得到∠ADB=∠CDF。证明过程：1.构造辅助线并第一次全等：证明△ABD≌△CAG过点C作CG⊥AC，交AF延长线于点G。∵∠BAC=90°，AF⊥BD，∴∠ABD+∠BAE=90°，∠CAG+∠BAE=90°。∴∠ABD=∠CAG（同角的余角相等）。在△ABD和△CAG中，∠ABD=∠CAG（已证），AB=AC（已知），∠BAD=∠ACG=90°（已知及所作辅助线），∴△ABD≌△CAG（ASA）。∴AD=CG（全等三角形对应边相等），∠ADB=∠G（全等三角形对应角相等）。2.利用中点及等量代换∵D为AC中点（已知），∴AD=DC。又∵AD=CG（已证），∴DC=CG（等量代换）。3.第二次全等：证明△CDF≌△CGF∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ACB=45°。∵CG⊥AC，∠ACB=45°，∴∠GCF=∠ACB=45°（等量代换）。在△CDF和△CGF中，DC=GC（已证），∠DCF=∠GCF=45°（已证），CF=CF（公共边），∴△CDF≌△CGF（SAS）。∴∠CDF=∠G（全等三角形对应角相等）。4.结论∵∠ADB=∠G（已证），∠CDF=∠G（已证），∴∠ADB=∠CDF（等量代换）。点评：本题通过巧妙构造辅助线，先证明了△ABD≌△CAG，得到了边AD=CG和角∠ADB=∠G，为后续证明准备了关键条件。然后利用中点性质和角度关系，证明了△CDF≌△CGF，从而将∠CDF与∠G联系起来，最终证得结论。这种通过构造辅助线实现第一次全等，进而为第二次全等创造条件的思路，在复杂几何题中尤为常见。三、解题策略与技巧总结解决二次全等问题，如同攀登一座需要中转的山峰，不能期望一步登顶。以下是一些实用的解题策略与技巧：1.审清题意，标记已知：仔细阅读题目，将所有已知条件在图形上清晰标记出来，包括边的相等、角的相等、平行、垂直等关系。2.明确目标，逆向思维：时刻牢记最终要证明的全等三角形是哪一对，分析需要哪些条件，哪些条件已经具备，哪些条件缺失。3.挖掘隐含，寻找桥梁：已知条件中没有直接给出的，要思考能否通过已知条件推导出隐含信息，或者通过证明另一对易证的三角形全等，来获取所缺失的关键条件（边或角）。这“另一对易证的三角形”就是连接已知与未知的桥梁。4.辅助线助力，构造全等：当直接证明困难时，要勇于尝试添加辅助线。常见的辅助线作法有：倍长中线、截长补短、作高、构造公共边或公共角等，目的是构造出一对新的、便于证明的全等三角形。5.步步为营，条理清晰：证明过程要规范，每一步推理都要有依据。第一次全等的结论要明确写出，以便在第二次全等证明中直接引用。6.及时总结，反思归纳：做完一道题后，要回顾整个解题过程，思考第一次全等是如何为第二次全等服务的，关键的转折点在哪里，从中提炼出这类题目的共性解法。四、结语“二次全等”问题是对同学们全等三角形知识掌握程度和逻辑推理能力的综合考查。它要求我们不仅要熟悉全等三角形的判定