函数的零点与方程的解+高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章指数函数与对数函数4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的近似解复习回顾

二次函数的零点二次函数的零点与方程的解的关系

对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。注意：零点是点吗?问题

如何求函数的零点？函数y=f(x)的零点，就是方程f(x)=0的实数根也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标(2)函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有公共点(1)零点是一个实数，不是点；与二次函数的零点一样，1、函数零点的概念学习新知1代数法几何法应用新知1求下列函数的零点：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.(2)f(x)＝(lgx)2－lgx.函数f(x)的零点是1,10.探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.反思感悟

知识探究3.函数零点的存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是

的一条曲线,并且有

,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内

,即存在c∈(a,b),使得

,这个c也就是方程f(x)=0的根.连续不断f(a)·f(b)<0有零点f(c)=0对零点存在性定理的再探究(1)“连续不断”或“”可以去掉一个吗？

OyxbaOyxba（2）函数y=f(x)在[a,b]上连续不间断,当f(a)·f(b)<0时,函数零点个数是否唯一?

推论一（3）函数y=f(x)在[a,b]上连续不间断,当f(a)·f(b)>0时,函数是否存在零点?Oyxba使用零点存在定理的条件：①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线②f(a)·f(b)<0存在c∈(a,b)，使得f(c)=0存在c∈(a,b)，使得f(c)=0①②？/充分不必要条件①②（4）逆定理成立吗？11C

题型二

判断零点所在区间12C

例1.(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是（

）A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点ABD14151617反思感悟判断函数零点个数的四种常用方法(1)直接解方程，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点.(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.1920应用新知1、函数零点个数的问题例1求方程lnx+2x－6=0的实数解的个数.解：设f(x)=lnx+2x－6，用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象

－4

－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972123456789xf（x）

由表和图象可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。即方程lnx+2x－6=0的只有一个实数解.........x0－2－4－6105y241086121487643219这种做法你认为方便判断吗？你还有其他办法判断吗？xy01y=ln

x3应用新知1、函数零点个数的问题例1求方程lnx+2x－6=0的实数解的个数.【解析】方程lnx+2x－6=0的实数解的个数，等价于方程lnx=－2x+6的实数解的个数，等价于方程组y=lnx，y=－2x+6的实数解的个数，等价于函数y=lnx与函数y=－2x+6图象交点的个数，如图，两个函数的图象交点个数为1，即方程lnx+2x－6=0有1个实数解．对于实数解的个数转化