2026届上海市二中学高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2026届上海市二中学高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知集合，则函数的最小值为（）A.4 B.2C.-2 D.-42．下列命题中正确的是（）A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B.模相等的两个平行向量是相等向量C.若和都是单位向量，则=D.两个相等向量的模相等3．若正实数满足，（为自然对数的底数），则（）A. B.C. D.4．下列向量的运算中，正确的是A. B.C. D.5．“”是“关于的方程有实数根”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．已知函数，方程在有两个解，记，则下列说法正确的是（）A.函数的值域是B.若，的增区间为和C.若，则D.函数的最大值为7．已知函数f(x)＝－log2x，则f(x)的零点所在的区间是（）A.(0，1) B.(2，3)C.(3，4) D.(4，＋∞)8．函数其中（，）的图象如图所示，为了得到图象，则只需将的图象（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度9．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（）A. B.C. D.10．根据表格中的数据，可以判定函数的一个零点所在的区间为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，则的最小值为________.12．在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bienao).已知在鳖臑中,平面,,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____13．已知角的终边过点，求_________________.14．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为__________.15．函数在[1，3]上的值域为[1，3]，则实数a的值是___________.16．已知函数f(x)=(5-a)x-a+1,x<1ax,x≥1，满足对任意都有成立，那么实数三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）18．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足(为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示：已知第天的日销售收入为元（1）求的值；（2）给出以下四个函数模型：①；②；③；④请你根据上表中数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，求的最小值19．已知关于x的不等式：a（1）当a=-2时，解此不等式；（2）当a>0时，解此不等式20．（1）计算：；（2）已知，，求，的值.21．已知函数，，.（1）若，求函数的解析式；（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】因为集合，所以，设，则，所以，且对称轴为，所以最小值为，故选D2、D【解析】考查所给的四个选项：向量是可以平移的，则若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定分别重合，A说法错误；向量相等向量模相等，且方向相同，B说法错误；若和都是单位向量,但是两向量方向不一致，则不满足，C说法错误；两个相等向量的模一定相等，D说法正确.本题选择D选项.3、C【解析】由指数式与对数式互化为相同形式后求解【详解】由题意得：，，，①，又，，，和是方程的根，由于方程的根唯一，，由①知，，故选：C4、C【解析】利用平面向量的三角形法则进行向量的加减运算，即可得解.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，属于基础题.解题时，要注意向量的起点和终点.5、A【解析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】当时，方程的实数根为，当时，方程有实数根，则，解得，则有且，因此，关于的方程有实数根等价于，所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.故选：A6、B【解析】利用函数的单调性判断AB选项；解方程求出从而判断C选项；举反例判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，，为偶函数，当时，，任取，且，，若，则；若，则，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，图像如图示：结合偶函数的性质可知，的值域是，故A选项错误；对于B选项，，当时，，，则为偶函数，当时，，易知函数在区间上单调递减，当时，，易知函数在区间上单调递增，图像如图示：根据偶函数的性质可知，函数的增区间为和，故B选项正确；对于C选项，若，图像如图示：若，则，与方程在有两个解矛盾，故C选项错误；对于D选项，若时，，图像如图所示：当时，则与方程在有两个解矛盾，进而函数的最大值为4错误，故D选项错误；故选：B7、C【解析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案.【详解】由在上单调递减，在上单调递减所以函数在上单调递减又根据函数f(x)在上单调递减，由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点.故选：C8、D【解析】根据图像计算周期和最值得到，，再代入点计算得到，根据平移法则得到答案.【详解】根据图象：，，故，，故，，即，，，当时，满足条件，则，故只需将的图象向左平移个单位即可.故选：D.9、A【解析】根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，所以，则.故选：A.【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，.10、D【解析】函数，满足.由零点存在定理可知函数的一个零点所在的区间为.故选D.点睛：函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,

这个c也就是方程f(x)＝0的根．由此可判断根所在区间.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、9【解析】由x＋4y＝1，结合目标式，将x＋4y替换目标式中的“1”即可得到基本不等式的形式，进而求得它的最小值，注意等号成立的条件【详解】∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1∴当且仅当有时取等号∴的最小值为9故答案为：9【点睛】本题考查了基本不等式中“1”的代换，注意基本不等式使用条件“一正二定三相等”，属于简单题12、【解析】M﹣ABC四个面都为直角三角形，MA⊥平面ABC，MA=AB=BC=2，∴三角形的AC=2，从而可得MC=2，那么ABC内接球的半径r：可得（﹣r）2=r2+（2﹣）2解得：r=2-∵△ABC时等腰直角三角形，∴外接圆半径为AC=外接球的球心到平面ABC的距离为=1可得外接球的半径R=故得：外接球表面积为.由已知，设内切球半径为，，，内切球表面积为，外接球与内切球的表面积之和为故答案为：.点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心.13、【解析】先求出，再利用三角函数定义，即可得出结果.【详解】依题意可得：，故答案为：【点睛】本题考查了利用终边上点来求三角函数值，考查了理解辨析能力和运算能力，属于基础题目.14、【解析】根据扇形面积公式计算即可.【详解】设弧长为，半径为，为圆心角，所以，由扇形面积公式得.故答案为：15、【解析】分类讨论，根据单调性求值域后建立方程可求解.【详解】若，在上单调递减，则，不符合题意；若，在上单调递增，则，当值域为时，可知，解得.故答案为：16、【解析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解【详解】由已知可得函数在R上为单调递增函数，则需满足，解得，所以实数a的取值范围为，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【解析】（1）由题设可得方程，求出，进而写出函数模型；（2）由（1）所得模型，结合题设，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数.【详解】（1）由题意得：，，∴当时，，即，解得，∴，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意得，，整理得：，即，两边同时取常用对数，得：，整理得：，将代入，得，又，∴，综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根据第10天的日销售收入，得到，即可求解；（2）由数据知先增后减，选择②，由对称性求得实数的值，再利用进而列出方程组，求得的值，从而求得函数的解析式；（3）根据（2）求得的解析式，然后利用基本不等式和函数的单调性分别求得各段的最小值，比较得到结论.【详解】（1）因为第10天的日销售收入为505元，所以，即，解得.（2）由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减，函数模型：①；③；④都是单调函数，所以选择模型②：，由，可得，解得，由，解得，所以日销售量与时间的变化的关系式为.（3）由（2）知，所以，即，当时，由基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立，当时，为减函数，所以函数的最小值为，综上可得，当时，函数取得最小值【点睛】求解所给函数模型解决实际问题的关注点：1、认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；2、根据已知利用待定系数法，列出方程，确定函数模型中的待定系数；3、结合函数的基本形式，利用函数模型求解实际问题，19、（1）{x|x<-12（2）当a=13时，解集为∅；当0<a<13时，解集为{x|3<x<【解析】（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；（2）不等式可变形为(x－3)(x－1a)＜0，然后分a＝13、0＜a＜13、a＞【小问1详解】当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－12或x＞3当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－12或x＞【小问2详解】当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0整理得：(x－3)(x－1a)＜0当a＝13时，1a＝当0＜a＜13时，1a＞3，解得3＜x＜当a＞13时，1a＜3，解得1a＜x综上：当a＝13时，解集为当0＜a＜13时，解集为{x|3＜x＜1a当a