湖南省衡阳市衡阳县2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

衡阳县2025（考试时间：120分 试卷满分：150分I卷(选择题)II卷(非选择题)4大题，19小题.答卷前，考生务回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效考试结束后，将答题卡上交第I A A∩BAxN2x B2,1,0,1,若集 ，

1

A第一象 B.第二象 C.第三象 D.第四象3已知向量a、bab35ab1,1

→→b（→A. B. C. D.的关系，即CW

1S其中Cbps；WHz

2 N 100MHz依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（）倍.（23.461125.9360.97A. B. C. D.在VABC中，“cosAcosBsinAsinB”是“VABC为锐角三角形”的 充分不必要条 B.必要不充分条C.充要条 D.既不充分也不必要条函数fx ，记af1,bf30.5,cflog1，则（ x2

2 52A.abC.ca

B.baD.cb英国著名物理学家牛顿用“作切线数列xn满足xn1xn fxn牛顿数列，设alnxn2且a1，x2，数列a的前n项和为S，则 220261

xn

1

1若关于x的方程elnx m0有三个不相等的实数解x，x，x，且xxx， elnxln ln ln

1 2 3的取值范围为 0,1

0,

e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.某单位有职工450人，其中男职工150人，现为了解职工健康情况，该单位采取分层随机抽样的方法抽取了一个容量为90的样本，得出体重情况:男职工的平均体重为63kg，女职工的平均体重为54kg.则下列说法正确的是（）抽查的样本中女职工人数为估计该单位职工平均体重为男、女职工被抽中的可能性均为ABCD为边长是4APDABCD.PAD(A点)一个动点.下列说法正确的是 PABDPABDPABD的外接球的表面积为定值 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分．已知C过坐标原点O．且C上的点满足横坐标大于2F20xaa0的距离之积为4．以下结论正确的有 a曲线CPPFP是曲线C第一象限上的点，则VPOF的面积的最大值为当点x0y0在Cx0y02y0503515分.已知直线l:2m1x1mym20与圆O:x2y24相交于A,B两点，则AB的最小值 E

1(a0b0)F1F1M，N两点（F1MN之间MN3F1NF1F1P⊥OMP（O点，且|ON|＝|OP|Ee若关于x的不等式xlnaalnx0对任意x0,1恒成立，则实数a的取值范围 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤在△ABCA，B，Ca，b，ca3c2B45求sinCBCD，使得cosADC4，求tanDACAB1∥DEC1E已知CC1ABCABBC1BC1DEC1所成的角为θ，试在（1）的条件下，求sinθ的最大值．E:

21ab0F1F2PEP EPQEPfxalnx2gxex1aR

fx2cosx已知无穷数列a满足以下条件①a2当n2时，a22aa2 ②若存在某项a4 j123,i1，使得ajai2（i2且iNa21，写出所有满足条件的a4ak2024k8540分．在每小题给出的四个选项中，只有1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.3618分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 10. 11.2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15212.

1 ,∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤（1）由余弦定理得b2a2c22accosB92232

25，所以b 由正弦定理得 sinCcsinB 5sin sin AAEBC，垂足E．在Rt△ABE中，由cEC2

2B=45AEBE1a3在RtVACEAC

，因此sinC1 5AE2AE2EC（2）由于cosADC4ADCππ，所以sinADC

1cos21cos2 2 1sin22由于ADCππ，所以C0,π，所以cos1sin222 2 sinADCcosCcosADCsinC3254

525 1sin211由于DAC0,π，所以cos1sin211 2 所以tanDACsinDAC cos [方法二]几何法+在（1）的方法二的图中，由cosADC4cosADEcos(πADCcosADC4sinDAEcosADE4,tanDAEsin

4又由（1）可得tanEACEC2tanDACtan(EACEAD)

tanEACtan1tanEACtan

2在（1）的方法二中可得AE1,CE2,AC 在RtVADEAD

5,EDADcosADE4所以CDCEDE2在VACD中，由正弦定理可得sinDACCDsinC25 由此可得tanDAC2AEBCEDGAC在（1）的方法二中可得AE1,CE2,AC 由cosADC4，可得cosADE4,sinADE

RtVADEAD

5,DE

4,CDCEDE2AD2AECD2AD2AECD2由（1）知sinC 5，所以在Rt△CDG中，DGCDsinC25,CG

45AGACCG115

在RtVADG中，tanDAG 所以tanDAC2（1）DC1DEABCA1B1C1ABBC2B1C14DACA1C1ADA1C1AD,所以四ADC1A1AA1//DC1,,ABCDEC1DE,DEABDAC的中点,EBCEBCAB1DEC1因为CC1ABCABABC所以CC1AB,ABBC1CC1BC1C1CC1，BC1BCC1B1ABBCC1B1,BCBCC1B1,ABCB由（1）EBCDAC的中点,EDAB,DEBC，B1E,B1C1ECB1C1故CC1B1E,由于CC1ABCB1EABCEDECEB1B1EaE000,B200C200,D020C120a,B100aED020EC120a)EDmy––––→

xama02

sinθ

BC1

a2

a2

a264

2a264 a264a

(ca,0)(ca,0)a2c21PP(0bPF1

(c,b)(c,b)b2c20由②得bc，故a 2b代入①，可得b1，a EE

y21

设|PF1|m,|PF2|nmn22PF1PF2m2n24c24(22)2(mn)2(m2(22)2

于是mn 2，故平行四边 2的面积

V

21mn22P(x0y0x00y000y21 因

l

x01，则

:yx01(x1)

x0

x1

l

x01，则

:yx01(x1)

x0

yx01(x

x 由

x21x

yQ y (x1)

x2

因点Q在椭圆E上，则得x22( )22，将y210代入化简得：x42x20 x23y3PP233

3 （1）Qfxalnx2fxa2 Q切线平行于直线lyx1a21a1ex gx

ex(x1)h(x)ex(x11hx)xex，当0x1h(x0，故hx在0,1上单调递增，h(0)0，故当0x1h(x)h(0)0，x0h(xex(x11hxxexx0h(x0，故hx在∞0上单调递减，h(0)0x0h(x)h(0)0，gx0gx在∞0ex

fx2cosx lnx

ex

lnxcosxxlnxexcosx1当0x1xlnx0，又excosx11cosx1cosxcos10xlnxexcosx1，x1H(xexcosxxlnx1H(xexsinxlnx1m(xH(xexsinxlnx1m(xexcosx1Qx1，m(x)excosx1ex11e110 x1H(xH(x)H(1)esin110H(xx1H(x)H(1ecos110xlnxexcosxx0∞gx

fx2cosx（1）n2a22a1

1，a12a

12

a2a124a2a12Qa21，a22a3a220a4a322a4a30②若a3a22a4a324或a4a32；a4可能为2042；k2a1a2a3,ak2为首项，2ak4①由（1）a24或2，又Qa21，a24k2a1a22为首项，2a24②假设当ki（i2且iN）a1a2a3,ai2为首项，2ai4，ai1aiai14，j123,ia