2025-2026学年北京市门头沟区初三（上期）期末考试数学试卷（含答案）

第1页/共1页2026北京门头沟初三（上）期末数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.B.C. D.2.下列事件中，属于随机事件的是（）A.三角形两边之和大于第三边B.射击运动员射击一次，命中靶心C.圆内接四边形的对角互补D.在装有3个红球的袋子中摸到蓝球3.已知的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在(

)A.在内 B.在上 C.在外 D.不能确定4.将抛物线向下平移1个单位后得到的拋物线的解析式为（）A. B.C. D.5.如图，，与分别相切于点A，B．如果，，那么的长度是（）A.2 B.3 C. D.6.如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，如果，，那么下列结论错误的是（）A. B. C. D.7.南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列方程正确的是（）A. B.C. D.8.已知二次函数（）图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：…………给出下面四个结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的开口向下；③是关于的一元二次方程（）的一个根；④如果点，在此二次函数图象上，那么．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____________．10.抛物线y＝2（x﹣3）2+5的顶点坐标为_________．11.如图，正六边形的周长为18，则它的外接圆的半径为____________．12.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为______．13.如图，是的直径，C，D在上，，如果，那么____________．14.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是______．15.“莱洛三角形”是机械学家莱洛发现的一种曲边三角形，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图，等边的边长为6，那么此“莱洛三角形”的周长是____________．16.某校组织学生参加“永定河文化节”实践活动，该活动设有“生态保护”、“历史溯源”、“民俗体验”、“红色教育”、“地质探索”五个主题，每位学生必须参加其中的两个主题活动（不考虑主题顺序）．以下是报名情况的统计表：活动主题生态保护历史溯源民俗体验红色教育地质探索报名人数（人）18814812该校参加此次实践活动的学生共有____________人；若同时报名参加“历史溯源”和“红色教育”主题的学生刚好有人，则同时报名参加“生态保护”和“民俗体验”主题的学生有____________人．三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17.已知二次函数的图象经过点．（1）求此二次函数的解析式；（2）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；（3）当时，结合图象，直接写出的取值范围．18.近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就．下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其它均相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从这四张卡片中随机抽取1张卡片，正面图案恰好是“神州22”飞行任务标识的概率是；（2）从这四张卡片中随机同时抽取2张卡片，用列举法求出正面图案恰好是“神州19”和“神舟20”飞行任务标识的概率．19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，当筒车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，已知被水面截得的弦长为6米，点C为运行轨道的最低点，于D，点C到水面的距离是1米，求的半径．20.下面是小明设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，及上一点P．求作：直线，使得与相切．作法：如图2，①作射线，在射线上截取；②分别以点O和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在射线上方交于点M；③作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，．∵由作图可知，，，∴（）（填推理依据）．∵为的半径，∴是的切线（）（填推理依据）．21.已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个实数根为2，求的值．22.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点O逆时针旋转得到，其中点A，B，C的对应点分别为，，．（1）在图中画出旋转后的；（2）点的坐标为，点的坐标为；（3）如果为边上一点，那么点P的对应点的坐标为．23.如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线交于点E．（1）求证：；（2）如果，，求的长．24.元旦联欢会上，小宇设计了一项抛掷乒乓球的游戏．如图1，向斜坡抛掷一个乒乓球，乒乓球从斜坡弹起，第一次落地后再一次弹起，第二次又落在地面上，如果把乒乓球看成点，乒乓球两次的飞行路线都可以近似看成某条抛物线的一部分．如图2，小宇以斜坡底端为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，记弹起点为A，两次落地点分别为B，C，乒乓球飞行过程中距斜坡底端O的水平距离为，距地面的竖直高度为．如果乒乓球的弹起点为，第一次弹起时的最高点为，请帮助小宇求解下列问题：（1）求乒乓球第一次飞行路线对应的抛物线的解析式；（2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离；（3）若乒乓球第二次飞行路线和第一次飞行路线的抛物线形状相同，且第二次落地点C距离第一次落地点B的水平距离是，如果规定乒乓球第二次弹起时达到的最高点距地面的竖直高度超过，则挑战成功，否则挑战失败，判断此次游戏小宇是否挑战成功，并说明理由．25.在平面直角坐标系中，已知抛物线（）．（1）求该抛物线的对称轴；（2）点和在该抛物线上，如果，且，那么；（3）已知点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，当线段的长随的增大而减小时，求的取值范围．26.在中，，，点D为平面内任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，取的中点F，连接．（1）如图1，当点D在线段上时，点E恰好落在上，求证：；（2）如图2，当点D在内部时，①依题意补全图2；②用等式表示的数量关系，并证明．27.在平面直角坐标系中，已知两定点M，N及动点P，给出如下定义：如果以P为顶点的的两边经过点M，N，且，那么称点P为点M，N的“相关等角点”．如图，已知：，．（1）在，，中，是点M，N的“相关等角点”的是；（2）如果点是点M，N的“相关等角点”，那么；（3）已知点，，如果线段AB上存在点M，N的“相关等角点”，且，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．题号12345678答案DBCDACBA二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】解：∵点关于原点的对称点为，∴点关于原点的对称点为，故答案为：．10.【答案】解：因为y＝2（x﹣3）2+5是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，5）；故答案为：（3，5）．11.【答案】解：连接，∵正六边形∴，∴是等边三角形，∴，∵正六边形的周长为18，∴，即它的外接圆的半径为3．故答案为3．12.【答案】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，∴，解得：，故答案为：．13.【答案】解：连接，如图所示：∵是的直径，∴，∴，∵，，∴∴，故答案为：．14.【答案】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），∴a＜0，c=2，∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）．故答案为y=-x2+2（答案不唯一）．15.【答案】解：∵等边，∴，∴的长相等，∴此“莱洛三角形”的周长是故答案为：．16.【答案】解：依题意，各主题报名人数之和为，∵每位学生参加两个主题，∴总学生人数为，设同时报名参加“生态保护”和“民俗体验”主题的学生有人，设同时报名参加“生态保护”和“历史溯源”主题的学生有人，设同时报名参加“生态保护”和“红色教育”主题的学生有人，设同时报名参加“生态保护”和“地质探索”主题的学生有人，设同时报名参加“民俗体验”和“历史溯源”主题的学生有人，设同时报名参加“民俗体验”和“红色教育”主题的学生有人，设同时报名参加“民俗体验”和“地质探索”主题的学生有人，设同时报名参加“历史溯源”和“地质探索”主题的学生有人，设同时报名参加“红色教育”和“地质探索”主题的学生有人，∵同时报名参加“历史溯源”和“红色教育”主题的学生刚好有人，结合各主题报名人数列出方程：，∴，∵人数不为负数，故，依题意，得，∴，同理得，依题意，得，∴，∴依题意，得∴依题意，∵，，∴，∴，∵，∵，∴，即，∵，，，∴，解得，则同时报名参加“生态保护”和“民俗体验”主题的学生有人．故答案为：．三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，第23～26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17.【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点．∴把代入得，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：由（1）得，当时，，解得，∴抛物线与x轴的交点坐标为，则，∴抛物线的顶点坐标为，如图，（3）解：结合（2）得抛物线与x轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为，依题意，把代入，得，∴当时，y的取值范围为．18.【答案】（1）解：从这四张卡片中随机抽取1张卡片，正面图案恰好是“神州22”飞行任务标识的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中正面图案恰好是“神州19”和“神州20”飞行任务标识的结果数为2，所以正面图案恰好是“神州19”和“神州20”飞行任务标识的概率．19.【答案】解：如图1，连接，由题意得：，，∴，∴（米），，在中，，∴，∴（米），即的半径为米．20.【答案】（1）解：如图所示；（2）证明：∵连接，．∵由作图可知，，，∴（线段垂直平分线的性质）（填推理依据）．∵为的半径，∴是的切线，（切线的判定定理），故答案为：，线段垂直平分线的性质，切线的判定定理．21.【答案】（1）证明：由可知：，∴一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵的一个实数根为2，∴，解得，；∴m的值为或．22.【答案】（1）解：如图，即为所求．（2）解：由图可得，点的坐标为，点的坐标为．故答案为：；．（3）解：点P与点的位置如图所示，分别过点P、作x轴的垂线，垂足分别为Q、H，则有：，由旋转可得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴点的坐标为，即点的对应点的坐标为．故答案为：．23.【答案】（1）证明：连接，则，∴，∵，∴，∴，∴，∵与相切于点E，∴，∴，∴．（2）解：连接，∵是的直径，∴，∵，，于点D，∴，，∴，∵，∴，∴的长是．24.【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：，∵经过点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）解：∵，∴当时，，解得：（不合题意，舍去）．∴点B坐标为，∴．答：乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的水平距离为；（3）小宇挑战成功．理由：∵点C距离点B的水平距离是，点B坐标为，∴点C坐标为，∴乒乓球第二次飞行路线的对称轴为：直线，∵乒乓球第二次飞行路线和第一次飞行路线的抛物线形状相同，∴设抛物线的解析式为：，∵经过点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：，∵，∴小宇挑战成功．25.【答案】（1）解：∵；∴对称轴为直线x1；（2）解：∵，∴点A、B关于对称轴对称，∵对称轴为直线，，∴，故答案为：2；（3）由题可知，∴，画出函数图象，要使得线段的长随m的增大而减小，由图可知，或．26.【答案】（1）见解析（2）①见解析，②，证明见解析【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）由直角三角形斜边中线定理即可得解；（2）①依据题意补全图形即可；②先理解题意，证明，得故，又因为，得，即，，进而可求出，又根据为中点，得．（1）证明：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段，∴，∴，∵为中点，∴在中，，在中，，∴；（2）解：①补全图如图所示；②，证明如下：延长至点，使得，连接，延长与交于点，∵为中点，∴，又∵∴，∴∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，即，又∵为中点，∴