统计基础知识第2章试题及答案

统计基础知识第2章试题及答案1.（单选）某企业2023年各月销售额（万元）依次为：320，335，318，342，356，371，365，358，347，339，325，314。若采用“首尾折半法”计算全年月平均销售额，结果应保留一位小数，其数值为A.342.5B.343.7C.344.9D.345.2答案：B解析：首尾折半法公式为x代入数据：=注意首尾折半后分子为3573，分母为11，得324.8，但题目问的是“全年月平均”，需把结果还原到12个月尺度，即324.8故选B。2.（单选）在抽样调查中，若总体大小N=1200，样本量n=60，采用不重复简单随机抽样，样本均值的方差公式为A.B.·C.·D.答案：B解析：有限总体修正系数为，故选B。3.（单选）某高校新生体检，测得男生身高服从N(175,6²)。若随机抽取一人，其身高超过188cm的概率约为A.1.5%B.2.5%C.3.5%D.4.5%答案：A解析：Z=(188-175)/6=2.17，查标准正态表得P(Z>2.17)=0.0150，即1.5%。4.（单选）下列关于众数的说法，正确的是A.一组数据众数唯一B.众数一定大于中位数C.众数不受极端值影响D.众数必为原始数据中的某个值答案：C解析：众数可以多个，也可不存在；A错。众数与中位数无固定大小关系；B错。众数只与频次有关，极端值不改变频次分布时不受影响；C正确。分组数据众数可用插值公式，未必是原始值；D错。5.（单选）若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E(X²)等于A.λB.λ²C.λ+λ²D.λ²−λ答案：C解析：泊松分布Var(X)=λ，E(X)=λ，由Var(X)=E(X²)−[E(X)]²得E(X²)=λ+λ²。6.（单选）对同一总体，若置信水平由95%提高到99%，则置信区间的宽度将A.变窄B.不变C.变宽D.可能变宽也可能变窄答案：C解析：置信水平↑→临界值↑→区间半宽↑→宽度↑。7.（单选）在假设检验中，若减小显著性水平α，则A.第一类错误概率减小，第二类错误概率减小B.第一类错误概率减小，第二类错误概率增大C.第一类错误概率增大，第二类错误概率减小D.两类错误概率均增大答案：B解析：α↓→第一类错误↓，但接受域变宽→第二类错误↑。8.（单选）对两组独立样本进行t检验，若两组样本量均为10，显著性水平0.05（双侧），则临界t值约为A.2.101B.2.228C.2.086D.2.576答案：A解析：自由度df=10+10−2=18，查t分布表得t₀.₀₂₅,18=2.101。9.（单选）若两变量X与Y的样本相关系数r=−0.85，则下列说法正确的是A.X与Y存在因果B.每增加1个单位X，Y一定减少0.85单位C.回归直线斜率必为负D.决定系数为−0.7225答案：C解析：r为负仅说明线性关系方向，斜率b=r·(Sy/Sx)符号与r一致；C正确。A无法推出因果；B混淆相关与回归系数；D决定系数为r²=0.7225，非负。10.（单选）在单因素方差分析中，若组间均方MSB=240，组内均方MSE=60，则F值与结论为（α=0.05）A.4.0，拒绝原假设B.0.25，不拒绝C.4.0，不拒绝D.0.25，拒绝答案：A解析：F=MSB/MSE=240/60=4.0，查F表临界值小于4.0（典型df），故拒绝。11.（单选）某时间序列预测模型为=120+0.6A.131B.133C.135D.137答案：B解析：=120+0.6×13512.（单选）若随机变量X服从B(n=8,p=0.4)，则P(X=3)等于A.0.124B.0.232C.0.278D.0.356答案：C解析：=5613.（单选）对某批产品进行不放回抽检，每次抽1件，直到出现次品停止。若批次中次品率p=0.05，则期望抽检件数E(N)为A.20B.21C.22D.23答案：A解析：几何分布E(N)=1/p=20。14.（单选）若X~N(0,1)，Y~χ²(10)且独立，则T=X/√(Y/10)服从A.t(10)B.t(9)C.N(0,1)D.χ²(10)答案：A解析：t分布定义。15.（单选）在回归模型Y=β₀+β₁X+ε中，若ε~N(0,σ²)，则β₁的最小二乘估计b₁的抽样分布为A.N(β₁,σ²/Σx²)B.N(β₁,σ²/Σ(x−x̄)²)C.t(n−2)D.χ²(n−2)答案：B解析：Var(b₁)=σ²/Σ(x−x̄)²，且b₁正态。16.（单选）若将一组数据全部乘以常数k（k≠0），则其标准差将A.不变B.乘以kC.乘以k²D.增加k答案：B解析：σ_new=|k|σ。17.（单选）对同一数据，若分别计算皮尔逊相关系数r与斯皮尔曼等级相关系数ρ，当数据严格单调增非线性时A.r=ρB.r>ρC.r<ρD.无法确定大小答案：A解析：严格单调变换不改变秩，ρ只依赖秩，r与ρ相等。18.（单选）在指数平滑预测中，平滑系数α越大，则A.预测序列越平滑B.对新数据反应越迟缓C.预测方差越小D.对新数据反应越灵敏答案：D解析：α↑→权重衰减慢→近期权重高→灵敏。19.（单选）若X~Exp(λ)，则P(X>1/λ)等于A.e⁻¹B.1−e⁻¹C.λe⁻¹D.1−λe⁻¹答案：A解析：P(X>t)=e^(−λt)，代入t=1/λ得e⁻¹。20.（单选）对正态总体均值进行双侧检验，若样本量n→∞，则t分布趋近于A.χ²B.FC.N(0,1)D.t保持不变答案：C解析：df→∞时t→N(0,1)。21.（多选）下列哪些统计量具有“无偏性”A.样本均值作为总体均值的估计B.样本方差s²=Σ(x−x̄)²/(n−1)作为总体方差σ²的估计C.样本标准差s作为总体标准差σ的估计D.样本比例p̂作为总体比例p的估计E.样本极差R作为总体极差估计答案：ABD解析：s²与x̄、p̂无偏；s有偏；极差估计总体极差亦有偏。22.（多选）关于中心极限定理，以下说法正确的是A.要求总体必须正态B.样本均值分布随n增大趋近正态C.样本量足够大时，样本均值分布的均值等于总体均值D.样本均值分布的方差为σ²/nE.适用于任意分布的总体答案：BCDE解析：A错，总体无需正态。23.（多选）若两变量X与Y的协方差为0，则A.X与Y一定独立B.X与Y无线性相关C.回归系数b₁必为0D.相关系数r必为0E.E(XY)=E(X)E(Y)答案：BCDE解析：协方差为0仅保证线性无关，不蕴含独立，除非联合正态；BCDE均成立。24.（多选）下列哪些方法可用于检验正态性A.Q-Q图B.Shapiro-Wilk检验C.Kolmogorov-Smirnov检验D.Anderson-Darling检验E.Levene检验答案：ABCD解析：Levene检验用于方差齐性。25.（多选）在多元线性回归中，若出现多重共线性，则A.回归系数估计方差增大B.t检验容易失效C.判定系数R²必然很小D.VIF>10通常认为严重E.可通过主成分分析缓解答案：ABDE解析：共线性使系数不稳定，但R²仍可很高；C错。26.（填空）若一组数据的中位数为42，下四分位数Q₁=35，上四分位数Q₃=50，则其四分位距IQR=____。答案：15解析：IQR=Q₃−Q₁=50−35=15。27.（填空）设X~N(μ,σ²)，若P(X≤μ+0.52σ)=0.70，则标准正态分布的70%分位数约为____。（保留两位小数）答案：0.52解析：题设直接给出。28.（填空）对某总体进行重复抽样，样本量n=49，样本均值x̄=28.5，样本标准差s=3.5，则总体均值的95%置信区间为[____,____]。（保留一位小数）答案：[27.5,29.5]解析：σ未知，n大，用z₀.₀₂₅=1.96，SE=3.5/√49=0.5，28.5±1.96×0.5→[27.5,29.5]。29.（填空）若随机变量X的概率密度函数为f(x)=2x,0≤x≤1，则E(X)=____。答案：2/3解析：E(X)=∫₀¹x·2xdx=2∫₀¹x²dx=2/3。30.（填空）在单因素方差分析中，若组数为4，每组样本量为5，则误差自由度为____。答案：16解析：df_error=N−k=20−4=16。31.（计算）某市调查居民月网购支出，随机抽取100户，得样本均值x̄=1850元，样本标准差s=420元。（1）求总体均值μ的99%置信区间；（2）若希望估计误差不超过50元，置信水平95%，求所需最小样本量。答案与解析：（1）大样本，z₀.₀₀₅=2.576，SE=420/√100=42，1850±2.576×42→[1741.8,1958.2]元。（2）E=50，z₀.₀₂₅=1.96，n=(z²s²)/E²=(1.96²×420²)/50²=3.8416×176400/2500≈271，向上取整272户。32.（计算）某生产线产品重量服从正态分布，历史σ=5g。现抽取16件，测得x̄=248g，检验H₀:μ=250vsH₁:μ≠250，α=0.05。（1）写出检验统计量并计算；（2）给出结论。答案与解析：（1）Z=(x̄−μ₀)/(σ/√n)=(248−250)/(5/4)=−1.6。（2）双侧临界值±1.96，|−1.6|<1.96，故不拒绝H₀，无充分证据表明均值偏离250g。33.（计算）为比较两种肥料对作物产量的影响，随机分配10块地，得数据（kg/亩）：A肥：82，85，78，86，89，84，87，83，85，86B肥：79，84，82，80，83，81，84，82，85，80假定方差齐且正态，检验H₀:μA=μBvsH₁:μA≠μB，α=0.05。答案与解析：n₁=n₂=10，x̄A=84.5，x̄B=81.0，s_A²=7.17，s_B²=3.33，合并方差s_p²=(9×7.17+9×3.33)/18=5.25，s_p=2.29，SE=2.29×√(1/10+1/10)=1.025，t=(84.5−81.0)/1.025=3.41，df=18，临界值±2.101，3.41>2.101，拒绝H₀，A肥显著增产。34.（计算）某电商记录日订单量Y（百单）与推广费X（万元）数据，得：Σx=120，Σy=180，Σx²=2200，Σy²=4800，Σxy=3100，n=10。（1）求回归方程；（2）当X=15万元时，预测订单量；（3）求判定系数R²。答案与解析：x̄=12，ȳ=18，S_xx=2200−10×12²=2200−1440=760，S_xy=3100−10×12×18=3100−2160=940，S_yy=4800−10×18²=4800−3240=1560，b₁=940/760=1.237，b₀=18−1.237×12=3.156，回归方程：Ŷ=3.156+1.237X。X=15，Ŷ=3.156+1.237×15=21.71（百单）。R²=(S_xy)²/(S_xxS_yy)=940²/(760×1560)=0.883，即88.3%变异被解释。35.（综合）某工厂质检部门连续30天记录每日缺陷件数：3，5，2，4，6，1，0，2，5，7，4，3，2，6，5，4，3，1，0，2，4，5，3，6，4，2，3，5，4，2。（1）绘制频数分布表（组距2）；（2）计算均值、方差；（3）以α=0.05检验缺陷数是否服从泊松分布。答案与解析：（1）分组：[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8]频数：5，11，12，2（2）均值x̄=Σx/n=90/30=3.0，方差s²=Σ(x−x̄)²/(n−1)=138/29≈4.76。（3）泊松拟合：λ̂=3.0，理论概率：P(X=0)=e⁻³=0.0498，P(X=1)=0.1494，P(X=2)=0.2240，P(X=3)=0.2240，P(X=4)=0.1680，P(X=5)=0.1008，P(X=6)=0.0504，P(X≥7)=0.0386，合并尾段确保期望≥5，得期望频数：[0,1]：5.97，[2]：6.72，[3]：6.72，[4]：5.04，[5]：3.02，[6,∞]：2.52，再合并为四组：5.97，6.72，6.72，10.59，χ²=Σ(O−E)²/E=(5−5.97)²/5.97+…≈2.18，df=4−1−1=2，临界值5.99，2.18<5.99，不拒绝，可认为近似泊松。36.（证明）设X₁,…,X_n独立同分布，E(X_i)=μ，Var(X_i)=σ²，证明样本方差S²=Σ(X_i−X̄)²/(n−1)是σ²的无偏估计。答案与解析：E[Σ(X_i−X̄)²]=E[ΣX_i²−nX̄²]=nE(X₁²)−nE(X̄²)，E(X₁²)=σ²+μ²，E(X̄²)=Var(X̄)+[E(X̄)]²=σ²/n+μ²，代入得n(σ²+μ²)−n(σ²/n+μ²)=nσ²−σ²=(n−1)σ²，故E(S²)=σ²，无偏得证。37.（证明）若X~N(0,1)，Y~N(0,1)且独立，证明Z=X/Y服从柯西分布。答案与解析：联合密度f(x,y)=1/(2π)e^(−(x²+y²)/2)，令Z=X/Y，W=Y，雅可比|J|=|w|，边缘密度f_Z(z)=∫_{-∞}^{∞}|w|f(zw,w)dw=∫_{-∞}^{∞}|w|1/(2π)e^(−w²(z²+1)/2)dw=2∫₀^{∞}w/(2π)e^(−w²(z²+1)/2)dw=1/π·1/(z²+1)，即柯西密度。38.（应用）某城市交通部门欲估计早高峰时段公交车平均载客量，已知历史σ≈18人。若希望估计误差不超过3人，置信水平95%，求最小样本量。若采用分层抽样，将线路分为快速、普通、支线三层，层内方差分别为12²、16²、22²，层权重0.3、0.5、0.2，求奈曼分配下所需总样本量及各层样本量。答案与解析：简单随机：n=(1.96×18/3)²=138.3→139辆。分层奈曼：总方差分解，S_w²=ΣW_hS_h²=0.3×144+0.5×256+0.2×484=43.2+128+96.8=268，n₀=(z²S_w²)/E²=1.96²×268/9≈114.2，有限总体修正忽略，总n=115，各层：n_h=n·(W_hS_h)/Σ(W_hS_h)，分母=0.3×