椭圆考试题目及答案

椭圆考试题目及答案

单项选择题（每题2分，共20分）1.椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的长轴长为（）A.5B.10C.3D.62.椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1$的焦距为2，则m的值为（）A.3B.5C.3或5D.63.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率$e=\frac{1}{2}$，则$\frac{b}{a}$的值为（）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$4.已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（）A.2B.3C.5D.75.椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点坐标为（）A.$(±5,0)$B.$(0,±5)$C.$(±\sqrt{7},0)$D.$(0,±\sqrt{7})$6.椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的离心率是（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{16}{25}$7.椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的焦距为2，则m的值为（）A.5B.3C.5或3D.28.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_1$作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，若$\triangleABF_2$为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{1}{2}$9.已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，点P在椭圆上，若$|PF_1|=3$，则$|PF_2|$等于（）A.1B.3C.5D.710.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\frac{a^2+b^2}{a^2}$的值为（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$多项选择题（每题2分，共20分）1.下列关于椭圆的说法正确的有（）A.平面内到两个定点$F_1,F_2$的距离之和等于常数（大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹是椭圆B.椭圆的标准方程中，$a$表示长半轴长，$b$表示短半轴长C.椭圆的离心率$e$越大，椭圆越扁D.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦点在x轴上2.已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，则（）A.焦点坐标为$(±3,0)$B.长轴长为10C.离心率为$\frac{3}{5}$D.短轴长为83.椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的焦距为2，则m的值可能为（）A.3B.5C.6D.74.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率$e$的取值范围是（）A.$(0,1)$B.$(0,\frac{1}{2})$C.$(\frac{1}{2},1)$D.$[\frac{1}{2},1)$5.已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上一点P到椭圆一个焦点的距离为2，则（）A.P到另一个焦点的距离为6B.椭圆的焦距为$2\sqrt{7}$C.椭圆的长轴长为8D.椭圆的短轴长为66.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的性质有（）A.范围是$-a\leqx\leqa$，$-b\leqy\leqb$B.关于x轴、y轴和原点对称C.顶点坐标为$(±a,0)$，$(0,±b)$D.离心率$e=\frac{c}{a}$（$c$为半焦距）7.已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1$，则（）A.当$m>4$时，焦点在y轴上B.当$m<4$时，焦点在x轴上C.当$m=4$时，是圆D.离心率可能为$\frac{1}{2}$8.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$中，若$a=2b$，则（）A.离心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$B.短轴长是长轴长的一半C.焦点坐标为$(±\sqrt{3}b,0)$D.顶点坐标为$(±2b,0)$，$(0,±b)$9.下列椭圆中，离心率相同的有（）A.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$B.$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$C.$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$D.$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{12}=1$10.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，$F_1,F_2$为焦点，P为椭圆上一点，则（）A.$|PF_1|+|PF_2|=2a$B.$\trianglePF_1F_2$的周长为$2a+2c$C.当P为短轴端点时，$\angleF_1PF_2$最大D.若$\angleF_1PF_2=90^{\circ}$，则$S_{\trianglePF_1F_2}=b^2$判断题（每题2分，共20分）1.平面内到两个定点$F_1,F_2$的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆。（）2.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦点在y轴上。（）3.椭圆的离心率越大，椭圆越圆。（）4.椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的长轴长为10。（）5.椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$，当$m>4$时，焦点在y轴上。（）6.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$中，$a$越大，椭圆越扁。（）7.已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上一点P到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为5。（）8.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率$e\in(0,1)$。（）9.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的顶点坐标为$(±a,0)$，$(0,±b)$。（）10.椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$和$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$的离心率相同。（）简答题（每题5分，共20分）1.简述椭圆的定义。平面内到两个定点$F_1,F_2$的距离之和等于常数（大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫椭圆，两定点为焦点，两焦点距离为焦距。2.已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，求其长轴长、短轴长、焦距和离心率。由椭圆方程知$a=5$，$b=3$，则$c=\sqrt{a^2-b^2}=4$。长轴长$2a=10$，短轴长$2b=6$，焦距$2c=8$，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$。3.椭圆的离心率有什么意义？离心率$e=\frac{c}{a}$反映椭圆扁平程度，$e$越接近1，椭圆越扁；$e$越接近0，椭圆越圆。4.已知椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的焦距为2，求m的值。当焦点在x轴时，$a^2=m$，$b^2=4$，$2c=2$，$c=1$，$m-4=1$，$m=5$；当焦点在y轴时，$a^2=4$，$b^2=m$，$4-m=1$，$m=3$。所以m为3或5。讨论题（每题5分，共20分）1.讨论椭圆的标准方程与焦点位置的关系。焦点在x轴时，椭圆标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$；焦点在y轴时，方程为$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$，可根据$x^2$与$y^2$分母大小判断焦点位置。2.谈谈椭圆离心率的变化对椭圆形状的影响。离心率$e=\frac{c}{a}$，$e$越接近1，$c$越接近$a$，$b$越小，椭圆越扁；$e$越接近0，$c$越接近0，$b$越接近$a$，椭圆越圆。3.若椭圆上一点P与两焦点构成的三角形面积为$b^2$，讨论点P的位置。当$\angleF_1PF_2=90^{\circ}$时，$S_{\trianglePF_1F_2}=b^2$，此时点P在以$F_1F_2$为直径的圆与椭圆的交点上。4.讨论椭圆与圆的关系。当椭圆的长半轴$a$等于短半轴$b$时，椭圆方程变为$x^2+y^2=a^2$，此时椭圆就变成了圆，圆可看作特殊