第一章第2节常用逻辑用语

第2节常用逻辑用语考试要求考题分析1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷2022年--2023年T7-2024年-T2【主干梳理基础落实】【知识梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2.全称量词和存在量词(1)全称量词:所有的、任意一个等,用符号“∀”表示.(2)存在量词:存在一个、至少有一个等,用符号“∃”表示.(3)含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x).(4)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x).3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)∃x∈M,¬p(x)∃x∈M,p(x)∀x∈M,¬p(x)【常用结论】1.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},则(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;(2)若B⊆A,则p是q的必要条件;(3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件;(4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件;(5)若A=B,则p是q的充要条件.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.3.命题p和¬p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题的否定的真假.【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号213,41.(多选题)下列结论正确的是()A.p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件B.“三角形的内角和为180°”是全称量词命题C.已知集合A,B,A∪B=A∩B的充要条件是A=BD.命题“∃x∈R,sin2x2+cos2x2=1【解析】选ABC.A选项,充分条件与必要条件是相对而言的,正确;B选项,任意三角形的内角和为180°,正确;C选项,由集合的运算知,正确;D选项,由同角基本关系式易知,对任意实数x,sin2x2+cos2x2=1,2.(必修第一册P18例1变条件)已知a∈R,则“a>1”是“a2>1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的性质,当a>1时,一定有a2>1;当a2>1时,有a>1或a<-1,不能得到a>1.则“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件.3.(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1,命题q:∃x>0,x3=x,则()A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题【解析】选B.由x=0时p不成立知p是假命题,由x=1时q成立知q是真命题,所以B选项正确.4.关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要不充分条件是()A.m<12 B.m≤C.m<-12 D.m<【解析】选A.因为一元二次方程x2+x+m=0有实根,所以Δ=1-4m≥0,解得m≤14.又(-∞,14]是(-∞,12)的真子集,所以“(-∞,12)”是“(-∞,1【考点探究核心突破】考点一充分、必要条件的判定【例1】(1)(2025·天津模拟)设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由|x-2|<1可得-1<x-2<1,解得1<x<3,所以由1<x<2推得出|x-2|<1,故充分性成立;由|x-2|<1推不出1<x<2,故必要性不成立,所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分不必要条件.(2)(2023·北京卷)若xy≠0,则“x+y=0”是“xy+yx=-2”的(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为xy≠0,x+y=0,所以y=-x≠0,所以xy+yx=-2;令xy=t,则t+1t=-2,化为t2+2t+1=0,解得t=-1,即xy=-1.故“x+y=0”是“x【思维升华】判断充分条件、必要条件的三种方法定义法直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件是什么、结论是什么集合法利用集合中包含思想判定的特点,抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分性、必要性问题等价转化法对于带有否定性词语的命题,要判断p是q的什么条件,只需判断¬q是¬p的什么条件[提醒]定义法适用于推理判断性问题;集合法适用于涉及字母范围的推断问题.【对点训练】1.对于实数x,“x≠5”是“|x-3|≠2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为|x-3|≠2,等价于x≠1且x≠5,且(-∞,1)∪(1,5)∪(5,+∞)是(-∞,5)∪(5,+∞)的真子集,所以“x≠5”是“|x-3|≠2”的必要不充分条件.2.明罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公,宜用火攻;万事倶备,只欠东风”,比喻一切都准备好了,只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件,但不是充分条件.【加练备选】(2025·连云港模拟)已知a,b,m是正数,“a<b”是“ba>b+ma+A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由ba-b+ma+m=b(a+m)-a(b+m)a可得ba>b+ma+m等价于b-a所以“a<b”是“ba>b+m考点二充分、必要条件的应用【例2】(1)(2025·济南模拟)已知p:1<2x<4,q:x2-ax-1<0,若p是q的充分不必要条件,则()A.a≥32 B.0<a≤C.a>2 D.0<a≤2【解析】选A.命题p:1<2x<4,即p:0<x<2,因为p是q的充分不必要条件,显然当x=0时满足q:x2-ax-1<0,所以当0<x<2时,x2-ax-1<0恒成立,则a>x-1x在0<x<2上恒成立又函数f(x)=x-1x在(0,2)上单调递增,且f(2)=32,所以a≥(2)金榜原创·易错对对碰①已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围是___________.

【解析】由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P,则1-m≤1+m,所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].答案:[0,3]②已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m},若¬P是¬S的必要不充分条件,则m的取值范围是___________.

【解析】由已知可得P={x|-2≤x≤10},因为¬P是¬S的必要不充分条件,所以S是P的必要不充分条件,所以x∈P⇒x∈S且x∈Sx∈P.所以[-2,10]⫋[1-m,1+m].所以1-m所以m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).答案:[9,+∞)【思维升华】由充分条件、必要条件求参数范围的策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形.(2)在求参数范围时,要注意端点值的检验,处理不当容易造成漏解或增解.【对点训练】1.(2025·南昌模拟)已知p:“x>2”,q:“x2-x-a>0”,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()A.[-14,2] B.C.(-14,+∞) D.【解析】选B.若p是q的充分不必要条件,故x2-x-a>0在x>2时恒成立,故得a<x2-x,令f(x)=x2-x,由二次函数性质得f(x)在(2,+∞)上单调递增,则f(x)>f(2)=2,可得a∈(-∞,2].2.设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为________,若p是q的必要条件,则m的最小值为________.

【解析】因为|x|≤m(m>0),所以-m≤x≤m.①由p是q的充分条件,得-m解得0<m≤1,所以m的最大值为1,②由p是q的必要条件,得-m解得m≥4,所以m的最小值为4.答案:14【加练备选】(多选题)(2024·东莞模拟)已知关于x的方程x2+(m-3)x+m=0,下列结论正确的是()A.方程有一个正根一个负根的充要条件是m<0B.方程有两个正根的充要条件是0<m≤1C.方程无实数根的充要条件是m>1D.当m=3时,方程的两个实数根之和为0【解析】选AB.关于x的方程x2+(m-3)x+m=0中,Δ=(m-3)2-4m=m2-10m+9,两根和为3-m、两根积为m.若方程有一个正根和一个负根,则m2-10m+9>0m<0,若方程有两个正根,则m2解得0<m≤1,故B对;若方程无实数根,则Δ=m2-10m+9<0,解得1<m<9,故C错;当m=3时,方程x2+(m-3)x+m=0可化为x2+3=0,显然无实数解,故D错.考点三全称量词与存在量词角度1含量词命题的否定【例3】(2025·郑州模拟)命题“∃x>0,x2+x-1>0”的否定是()A.∀x>0,x2+x-1>0 B.∀x>0,x2+x-1≤0C.∃x≤0,x2+x-1>0 D.∃x≤0,x2+x-1≤0【解析】选B.根据存在量词命题的否定为全称量词命题,即命题“∃x>0,x2+x-1>0”的否定为“∀x>0,x2+x-1≤0”.【对点训练】(2025·青岛模拟)已知命题p:∀x∈(0,π2),sinx<x,则¬p为(A.∃x∉(0,π2),sinx>x B.∃x∈(0,π2),sinxC.∃x∉(0,π2),sinx≥x D.∃x∈(0,π2),sinx【解析】选D.命题p:∀x∈(0,π2),sinx<x为全称量词命题,则¬p为∃x∈(0,π2),sinx≥角度2含量词命题的真假判断【例4】命题p:∀x>1,x+2x-3>0,命题q:∃x∈R,2x2-4x+3=0,则()A.p真q真 B.p假q假C.p假q真 D.p真q假【解析】选D.对于命题p:令t=x>1,则y=t+2t2-3=2t2+t-3开口向上,对称轴为t=-14,且y|x=1=0,则y=2t2+t-3所以∀x>1,x+2x-3>0,即命题p为真命题;对于命题q:因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以方程2x2-4x+3=0无解,即命题q为假命题.【对点训练】(2025·蚌埠模拟)下列四个命题中,是假命题的是()A.∀x∈R,且x≠0,x+1xB.∃x∈R,使得x2+1≤2xC.若x>0,y>0,则x2+D.若x≥52,则x2【解析】选A.对于A,∀x∈R,且x≠0,x+1x≥2对x<0时不成立对于B,当x=1时,x2+1=2,2x=2,x2+1≤2x成立,B正确;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,化为x2+y22≥2xyx+y,对于D,设y=x2-4x+52x-4=(x-2)2+12(x12[(x-2)+1x-2]≥12×2(x-2)·1x-2=1,当且仅当x-2=角度3由含量词命题的真假求参数的值(范围)【例5】(2025·漳州模拟)若∃α∈[0,+∞),cosα<m为真命题,则实数m的取值范围为()A.m≥1 B.m>1C.m≥-1 D.m>-1【解析】选D.若∃α∈[0,+∞),cosα<m为真命题,则m>(cosα)min.因为cosα在[0,+∞)上的最小值为-1,所以m>-1.【思维升华】根据命题的真假求参数取值范围的步骤(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(2)