2025-2026学年四川省资阳市安岳中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年四川省资阳市安岳中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知顶点在坐标原点、准线方程为x=−2的抛物线的标准方程为(

)A.y2=4x B.y2=8x C.2.圆x2+y2A.(0,−2)，2 B.(0,−2)，4 C.(−2,0)，2 D.(2,0)，23.下列说法正确的是(

)A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场

B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈

C.随机试验的频率与概率相等

D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是4.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，kA.k1<k2<k3

B.5.与向量a=(1,0,−2)共线且方向相同的向量的坐标可以为(

)A.(2,0,−1) B.(2,0,−4) C.(2,−1,1) D.(−2,0,4)6.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的横坐标是(

)A.3 B.6 C.9 D.127.如图，在四面体ABCD中，点E为棱CD的中点，点G为△ABC的重心，则EG=(

)A.13AB−16AC−128.下图中的曲线C经过坐标原点O，曲线C上的任意一点到两定点F1(−a,0)，F2(a,0)(a>0)的距离之积为定值，当a=3时，曲线C上第一象限内的点P满足△PF1F2A.30° B.45° C.60° D.90°二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则(

)A.事件A与事件B相互独立 B.事件A与事件B互为对立

C.事件A与事件B−相互独立 D.事件A与事件B10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1A.若P为棱CC1的中点，则AP⋅AC=4

B.若P为棱CC1上运动，则向量AP在向量AB上的投影向量为AB

C.若P为棱C1D1的中点，则异面直线AP与BB1所成的角的正切值为11.设椭圆C：x22+y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，F为C的一个焦点，过坐标原点O的动直线l与A.|PQ|的最小值为2

B.△PFQ的面积的最大值为1

C.设线段OP的中点为M，则点M的轨迹方程为x2+2y2=1

D.当P与A1，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.假设P(A)=0.7，P(B)=0.8，且A，B相互独立，则P(AB)=

．13.已知n=(−1,−2,2)是平面α的一个法向量，点A(−6,3,3)，B(k,−2k,0)均在平面α内，则k=

．14.已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一焦点.如下图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若从F1射出的光线经椭圆C上的点A，B反射后分别过点D，E，且四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

假设有5个条件类似的大学毕业生(分别记为A，B，C，D，E)到某单位应聘工作，但只有2个岗位，每人只能应聘一个岗位，每个岗位只聘用1人，5个人中有且仅有2人能被录用.假设5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：

(1)毕业生A获得一个岗位；

(2)毕业生A和B至少有一人获得岗位．16.(本小题15分)

已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)．

(1)当k变化时，求直线l经过定点P的坐标；

(2)求点Q(1,2)到直线l距离的最大值，并求此时直线l的方程；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，求△AOB的面积S的最小值，并求此时直线的方程．17.(本小题15分)

已知圆C1经过点A(2,2)，半径小于5，圆心在直线x+y−1=0上，直线l：3x−4y+5=0与C1相切；圆C2与圆C1关于直线y=x对称．

(1)求圆C2的方程；

(2)求圆18.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D．

(1)求证：A1C⊥平面BDE；

(2)若点F为棱B1C1的中点，求点F到平面BDE的距离；19.(本小题17分)

已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为32．

(1)求双曲线E的方程；

(2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点，

(ⅰ)若交点A，B在双曲线E的右支，点P(参考答案1.B

2.A

3.D

4.D

5.B

6.B

7.A

8.D

9.AC

10.BCD

11.ABD

12.0.56

13.2

14.515.(1)根据题意，设事件M=“毕业生A获得一个岗位”，

毕业生A获得一个岗位，需要在其他4人中再选出1人，

则P(M)=C11C41C52=410=25；16.解：(1)由题l：kx−y+1+2k=k(x+2)−y+1=0，

令x+2=0−y+1=0，

解得x=−2y=1，

即定点P(−2,1)；

(2)由题知当线段PQ⊥l时，距离最大，此时最大距离为PQ=[1−(−2)]2+(2−1)2=10，

又可得kl=k,kPQ=2−11−(−2)=13，

则kl⋅kPQ=kl⋅13=−1，解得kl=−3，

则直线l：3x+y+5=0，

(3)由题可知k>0，则A(−2−1k,0),B(0,2k+1)，则OA=2+1k,OB=2k+1，

所以S△AOB=12⋅OA⋅OB=12(2+1k)(2k+1)=2+2k+12k≥2+22k⋅12k17.解：(1)设圆C1的圆心为C1(a,1−a)，

可得圆C1的半径r=(a−2)2+(1−a−2)2，

圆心C1(a,1−a)到直线l：3x−4y+5=0的距离d=|3a−4(1−a)+5|9+16=r，

化简得|7a+1|5=r，

所以(a−2)2+(1−a−2)2=|7a+1|5，解得a=2(根据r<5可知a=62不符合题意，舍去)．

可得C1的坐标为(2,−1)，半径r=3，

结合圆C1(2,−1)关于直线y=x的对称点为C2(−1,2)，

且圆C2的半径也为3，可得圆C2的方程为：(x+1)2+(y−218.解：(1)证明：如图，连接AC1，

因为△ABC为等边三角形，D为AC的中点，

所以BD⊥AC，

又C1D⊥面ABC，BD⊂面ABC，

所以C1D⊥BD，

因为AC∩C1D=D，AC，C1D⊂面AA1C1C，

所以BD⊥面AA1C1C，

又A1C⊂面AA1C1C，

所以BD⊥A1C，

由题意可知设四边形AA1C1C为菱形，

所以A1C⊥AC1，

因为D，E分别为AC，CC1的中点，

所以DE//AC1，

所以A1C⊥DE，

因为BD∩DE=D，BD∩DE=D，BD⊂面BDE，DE⊂面BDE，

所以A1C⊥面BDE．

(2)因为C1D⊥面ABC，BD，AC⊂面ABC，

所以C1D⊥BD，C1D⊥AC，

又△ABC为等边三角形，D为AC的中点，

所以BD⊥AC，所以DB，DA，DC1两两垂直，

则以D为坐标原点，DB，DA，DC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系：

则D(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,−1,0)，C1(0,0,3)，E(0,−12,32)，B1(3,1,3)，A1(0,2,3)，F(32,12,3)，

平面BDE的一个法向量m=CA1=(0,3,3)，DF=(32,12,3)，

19.解：(1)因为双曲线E的实轴长为2，因此2a=2，解得a=1．

双曲线E的渐近线方程为y=±bx，即bx±y=0，右顶点坐标为(1,0)．

因此右顶点(1,0)到渐近线bx±y=0的距离为|b×1±0|b2+1=32，即|b|b2+1=32．

两边平方可得b2b2+1=34，解得b2=3．

将a=1，b2=3代入双曲线x2a2−y2b2=1，

可得双曲线E为x2−y23=1．

(2)(ⅰ)证明：根据第一问可知双曲线E